2025届名校教育联合体高二12月质量检测数学试卷
考试时间：2023年12月28日上午8:00-10:00 试卷满分：120分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.在等差数列中，若，，则公差（ ）
A.2 B.4 C.3 D.5
2.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.冰榶葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰榶葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰榶葫芦的山楂都相切的直线方程为（ ）
图1 图2
A. B.
C. D.
4.三棱柱中，为棱的中点，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.双曲线（，）的一条渐近线经过，则该双曲线离心率为（ ）
A. B.2 C. D.4
6.已知点，是圆：上的两个动点，点在直线：上，若的最大值为90°，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C.1 D.2
8.已知点为椭圆：的右焦点，点是椭圆上的动点，点是圆：上的动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分）
9.若方程所表示的曲线为，则（ ）
A.曲线可能是圆
B.若，则为椭圆
C.若为椭圆，且焦点在轴上，则
D.若为双曲线，且焦点在轴上，则
10.已知直线与曲线，下列说法正确的是（ ）
A.当时，直线与曲线有且仅有一个交点
B.当时，直线与曲线有且仅有一个交点
C.当时，直线与曲线有两个交点
D.当或时，直线与曲线没有交点
11.设抛物线的顶点为，焦点为.点是抛物线上异于的一动点，直线交抛物线的准线于点，下列结论正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则为线段的中点
C.若，则 D.若，则
12.如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A.为中点时，过，，三点的平面截正方体所得的截面的周长为
B.不存在点，使得平面平面
C.存在点使得的值为
D.三棱锥外接球体积最大值为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.设直线与圆相交于，两点，且弦的长为2，则实数的值是______.
14.如图，某高脚杯的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯中的水深为时，水面宽度为，当水面再上升时，水面宽度为______.
15.已知正方体的所有棱长均为1，为线段上的动点，则到平面的最大距离为______.
16.已知直线与椭圆（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则此椭圆的离心率为______.
四、解答题（共6题，共70分）
17.（10分）已知数列.
（1）写出这个数列的第8项和第20项；
（2）63是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
18.（12分）已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边、的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）求三棱柱的侧棱长；
（2）求与夹角的余弦值.
19.（12分）已知圆：（），两点、.
（1）若，直线过点且被圆所截的弦长为6，求直线的方程；
（2）若圆上存在点，使得，求圆半径的取值范围.
20.（12分）如图，地在地东偏北45°方向，相距处，地与东西走向的高铁线（近似看成直线）相距已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向地、地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路所在曲线的方程；
（2）问变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
21.（12分）如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若为上的一点，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.
22.（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点，，若点，是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
2025届名校教育联合体高二12月质量检测
数学参考答案
1. BCDDB ABB 9. AC 10. BCD 11. ABD 12. BD
13. 14. 6 15. 16.
17.（1）由题意，，
（2）令，则，
因为，故，即63是这个数列中的第7项
18.（1）设（），则、、
、、、，
∴，，
∵，则，解得，
故正三棱柱的侧棱长为.
（2）由（1）可知，，，
则，
故与夹角的余弦值为.
19.（1）解：当时，圆的标准方程为，圆心为，
因为直线过点且被圆所截的弦长为6，
则圆心到直线的距离为，
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，没有直线的斜率不存在，
所以，直线的方程为或.
（2）解：设点，则，
整理可得，
因为点在圆上，则圆与圆有公共点，
且圆的圆心为，半径为2，
则，且，故，
因为，解得，故的取值范围是.
20.（1）如图，以经过点且垂直于（垂足为）的直线为轴，线段的中点为原点，
建立直角坐标系，则，
因为曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，
所以所在的曲线是以为焦点，为准线的抛物线.
设抛物线方程为（），则，
故曲线形公路所在曲线的方程为.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即值最小.
如图所示，过作，垂足为，依题意得，
所以，故当，，三点共线时，
取得最小值，即取得最小值，此时，
变电房应建在地正南方向且与地相距时，所用电线长度最短，最短长度为.
21.（1）证明：在梯形中，取中点，连接，
∵，，∴四边形为平行四边形，∴，
∴，∴；
∵，，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）解：分别取，中点，，连接，，
∵，为中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵，分别为，中点，∴，∴平面，
则以为坐标原点，，，正方向为，，轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，，，
设（），
则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
∴；
∴点到平面的距离，解得：，∴；
∵平面轴，∴平面的一个法向量，
∴
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
22.（1）因为，所以，则，
所以的标准方程为，
因为点在上，所以，
解得，从而，.
所以的标准方程为.
（2）设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，，，
由椭圆对称性可知：，
又，所以为平行四边形，
所以：，，则：，且，，三点共线，
所以：四边形的面积
，
（或者把三角形拓展成四边形平行四边形，的面积是平行四边形的一半），
设直线：，，（），
由，得：，
∴，
所以：，
又，所以：点到直线的距离即为点到直线的距离，
因为：点到直线的距离，
所以.
设：，则：，，
所以：，
又因为：，所以当时，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3.
