宜春市重点中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．某班有50名学生，按男女生分层抽样，从男、女生中各取样6人和9人，则这个班男生人数是班级总人数的（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知命题，都有，则命题p的否定为（ ）
A．，都有 B． ，使得
C．，都有 D．，使得
5．为了解学生体育锻炼情况，宜春中学随机抽取甲，乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了数据统计，得到如下折线图：下列说法正确的是（ ）
A．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的小；
B．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72；
C．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30；
D．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大．
6．某同学在用二分法研究函数的零点时，得到如下函数值的参考数据：
x 1 1.25 1.375 1.40625 1.4375 1.5
－1 －0.3716 －0.0313 0.0567 0.1460 0.3284
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
7．函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（ ）A．或 B．或
C．或 D．前面三个答案都不对
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．根据茎叶图，能得到的结论有（ ）．
A．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温
B．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温
C．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差
D．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为4 B．xy的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
11．下列说法中正确的为（ ）
A．若函数的定义域为［0，2］，则函数的定义域为［0，4］
B．若，则，
C．若定义在R上的奇函数在上有最小值－1，则在上有最大值1
D．若，，，则
12．设函数，其中表示x，y，z中的最小者，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的最小值为0
C．函数的最大值为3 D．当时，
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设函数，则________
14．已知幂函数是R上的增函数，则m的值为________．
15．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为，乙的命中率为，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为________．
16．，记为不大于x的最大整数，，若，则关于x的不等式的解集为________．
四、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）；
（2） ．
18．（12分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（12分）设函数
（1）若不等式的解集为（1，2），求实数a，b的值；
（2）若，且存在，使成立，求实数a的取值范围．
20．（12分）今年11月份宜春中学组织120名青年教职工参加健康知识竞赛，现将120名教工的竞赛成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示：
（1）求实数a的值，并求70分是成绩的多少百分位数？
（2）试利用频率分布直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；
（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间［90，100］内的教职工中，随机选取2名教工到翰林社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间［90，100］内的教工中恰有2名男性，求至少有1名男性教工被选中的概率．
21．（12分）宜春市旅游资源丰富，知名景区众多，如袁州区的明月山风景区、三阳镇的酌江风景区、万载县的万载古城景区、铜鼓县的天柱峰国家森林公园景区、樟树市的阁皂山风景区、上高县的白云峰漂流景区等等．近年来的新冠疫情对旅游业影响很大，但随着防疫政策优化，旅游业迎来复苏．某旅游开发公司计划2024年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本200万元，若该项目在2024年有游客x万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为100元．为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动．当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元．
（1）求2024年该项目的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式（利润＝收入－成本）；
（2）当2024年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
22．（12分）已知函数是奇函数．
（1）求实数t的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数k取值范围；
（3）设，，若，问是否存在实数m使函数在上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
数学试卷参考答案
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B D C D A C
二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9 10 11 12
AD BCD BCD AB
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．11 14．3 15． 16．
四、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．（10分）（1）原式；
（2）原式．
18．（12分）（1）当时，集合，可得或
因为，所以；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
①当时，即时，满足P是Q的真子集；
②当时，即时，
满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为
19．（12分）（1）因为的解集为（1，2），
所以，解得，；
（2）因为，所以，
因为存在，成立，
即存在，成立，
当时，，成立；
当时，函数图象开口向下，成立；
当时，，即，解得或
综上：实数a的取值范围或
20．（12分）（1），解得；
，所以70分是成绩的45百分位数．
(2)
所以这次知识竞赛的平均成绩是71分．
（3）这次知识竞赛成绩落在区间［90，100］内的教工有名．
记“至少有一个男性教工被选中”为事件A，记这6人为1，2，3，4，5，6号，
其中男性教工为1，2号，则样本空间
，所以．
答：至少有1名男性教工被选中的概率为．
21．（12分）（1）该项目的门票收入为50x万元，财政补贴收入10x万元，共60x万元收入，
则利润
化简得
（2）当时，此时单调递增，
；
当时，二次函数开口向下，对称轴为，
则；
当时，，当且仅当，即时等号成立，
；
综上，游客人数为30万时利润最大，最大利润为300万元．
22．（12分）（1）函数的定义域为R，且为奇函数
所以，即解得；
（2）由（1）可知当时，
因为，即解不等式可得
所在R上单调递减，且
所以不等式可转化为
根据函数在R上单调递减，不等式可化为
即不等式在恒成立
所以恒成立，化简可得
当时，
所以；
（3）不存在实数m．理由如下：
因为，代入可得，解得或（舍）
则，
令，易知在R上为单调递增函数
所以当时，，
则
根据对数定义域的要求，所以满足在上恒成立
即在上恒成立
令，，所以，即
又因为，，所以
对于二次函数，开口向上，对称轴为
因为，所以
所以对称轴一直位于的左侧，即二次函数在内单调递增
所以，
假设存在满足条件的实数m，则：
当时，由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数，所以根据可知，即
解得，所以舍去
当时，复合函数单调性的判断方法可知为增函数，所以根据可知，即
解得，所以舍去
综上所述，不存在实数m满足条件成立．
