山西省太原市实验中学2019-2020学年高二上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·太原月考）命题“在 中，若 ，则 ， 都是锐角”的否命题为（ ）
A．在 中，若 ，则 ， 都不是锐角
B．在 中，若 ，则 ， 不都是锐角
C．在 中，若 ，则 ， 都不是锐角
D．在 中，若 ，则 ， 不都是锐角
2．（2019高二上·太原月考）已知命题 ，则命题 为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019高二上·太原月考）若直线 的方向向量与平面 的法向量夹角为 ，则直线 与平面 所成角为（ ）
A．30° B．120° C．150° D．60°
4．（2019高二上·太原月考）平面内有两定点 ，且 ，动点P满足 ，则点P的轨迹是（ ）
A．线段 B．半圆 C．圆 D．椭圆
5．（2019高二上·太原月考）已知A，B，C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019高二上·太原月考）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，∠ = ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高二上·太原月考）已知向量 是平面 内两个不相等的非零向量，非零向量 在直线l上，则“ ，且 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2019高二上·太原月考）已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 在该椭圆上，若 ，则 的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
9．（2020高二下·六安月考）已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2019高二上·太原月考）已知空间四个点 ， ， ， ，则直线AD与平面ABC所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
11．（2019高二上·太原月考）若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为
12．（2019高二上·太原月考）如图，已知三棱锥 中，AD，BD，CD两两垂直， ， ，E，F分别为AC，BC的中点，则点C到平面DEF的距离为 ．
13．（2019高二上·太原月考）曲线C的方程为x2＋ ＝1，其上一点P(x，y)，则3x＋y的最大值为 .
14．（2019高二上·太原月考）在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若 ，则MN长度的最小值是 ．
三、解答题
15．（2019高二下·鹤岗期末）命题p：关于x的不等式 对一切 恒成立； 命题q：函数 在 上递增，若 为真，而 为假，求实数 的取值范围。
16．（2019高二上·太原月考）已知 ，若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
17．（2019高二上·太原月考）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，以对角线 为折痕把 折起，使点 到图2所示点 的位置，使得 .
（Ⅰ）求证:平面 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
18．（2019高二上·太原月考）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“在 中，若 ，则 ， 都是锐角”的否命题为“在 中，若 ，则 ， 不都是锐角”
故答案为：B
【分析】根据否命题的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题
所以命题
故答案为：B
【分析】由全称命题的否定的定义即可判断.
3．【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设直线 与平面 所成角为 ，则
因为 ，所以
故答案为：D
【分析】根据直线与平面所成角的正弦值等于150°的余弦值的绝对值，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】设 ， ，
，即
则点P的轨迹是圆
故答案为：C
【分析】设 ， ， ，由向量的加法以及模长公式得出点P的轨迹是圆.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】设 ，若点 与点 共面，则 ，只有D满足，.
故答案为：D.
【分析】根据点 与点 共面，可得 ，验证选项，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故椭圆的离心率e＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和焦距公式，可设|PF2|＝m，可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，再利用椭圆的离心率公式变形求出椭圆的离心率。
7．【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】
若直线 在平面 内时，此时也能找到向量 与 垂直，不能得到
反过来， ，则直线 垂直于平面 内所有直线，则 ，且
故“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义可得 ，所以 ，解得 ，
， ， .
因此， 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】由椭圆的定义得出 ，结合 ，可求出 和 ，利用勾股定理可得出 ，可得出 ，然后利用三角形的面积公式可计算出 的面积.
9．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由条件 ，解得 或 ，故 ： ，
由条件 得 ： ，
∵ 是 的充分不必要条件，
∴ ，
故选：A.
【分析】由题意，可先解出 ： 与 ： ，再由 是 的充分不必要条件列出不等式即可得出a的取值范围.
10．【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】设平面 的法向量为 ，直线AD与平面ABC所成的角为
令 ，则
则
故答案为：A
【分析】根据向量法求出线面角即可.
11．【答案】[3，+∞）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】∵“a＜x＜a+2”是“x＞3”的充分不必要条件
∴{x|a＜x＜a+2} {x|x＞3}
∴a≥3，
故答案为[3，+∞）
【分析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出a的范围．
12．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】原题如图所示：
两两互相垂直
平面
又 为 中点 到底面 距离为
， ，
为 中点
， ，
在 中，根据余弦定理可知：
设 到平面 距离为h
则
即
故答案为：
【分析】利用体积桥 的方式，求解出三棱锥 的体积；根据题目中的长度和垂直关系，求解出 ，然后再求解出所求的距离.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】令3x＋y＝n，代入x2＋ ＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，
Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－2 ≤n≤2 .
答案：2 .
【分析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，由Δ≥0即可得最值.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】 平面ABCD 平面ABEF
平面ABCD，平面ABCD与平面ABEF相交于 ，
平面ABEF
平面ABEF，
则以 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系
则 时， 取最小值
故答案为：
【分析】利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明 ，建立空间直角坐标系，写出 坐标，利用空间中两点的距离公式结合二次函数的性质得出最小值.
15．【答案】解：命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；
②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增 a＞1，
∵p∨q为真，而p∧q为假，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，有 ，
∴﹣2＜a≤1；
当p假q真时，有 ，
∴a≥2
∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．
即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．
16．【答案】解：设动点 ，则 ， ，
由已知得： ，化简得 ，即 ，
故动点P的轨迹C的方程是
【知识点】轨迹方程
【解析】【分析】设动点 ，得出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积公式以及模长公式，化简即可点 的轨迹方程.
17．【答案】解：（Ⅰ）图1中， ，
由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ，
即 ，
同理 .
图2中，在 中， ，
∴ ，∴ ，即
又 ，∴ 平面 .
平面 ，∴ ，
又 .∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 .
(Ⅱ)如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
过点 在平面 内平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ，
设平面 的法向量为
由 得 令 ，得平面 的一个法向量为
同理可得平面 的一个法向量
∴ .
又二面角 的平面角为锐角，
所以，二面角 的余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（Ⅰ）在图1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，图2中，在△PAD中，求解三角形可得AD⊥PD，结合PD⊥BD，得到PD⊥平面ABD，进一步得到PD⊥AB，又AB⊥BD，可得AB⊥平面PBD，由面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBD；（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DB，DP所在直线为y，z轴，过点D在平面ABD内平行于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值．
18．【答案】解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为： ．
由题意 ， 所求椭圆方程为： ．
（Ⅱ）若过点 的斜率不存在，则 ．
若过点 的直线斜率为 ，即 时，直线 的方程为 ．
由 ．
于是 ．
因为 和椭圆 交于不同两点，所以 ， ，所以 ．
①
设 ．由已知 ，则 ．
②
， 所以 ③
将③代入②， 得 ．整理得 ．
所以 ， 代入①式， 得 ．
即 ，解得 ．所以 或 ． 综上可得，实数 的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，且离心率为 ，结合 ，求得 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求．设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，因交于两点故 ，得 的不等式，设交点 ，代入向量式得交点横坐标关系 ，再结合韦达定理列方程得 的方程 ，与上述不等式联立求实数 的取值范围．
山西省太原市实验中学2019-2020学年高二上学期理数12月月考试卷
一、单选题
1．（2019高二上·太原月考）命题“在 中，若 ，则 ， 都是锐角”的否命题为（ ）
A．在 中，若 ，则 ， 都不是锐角
B．在 中，若 ，则 ， 不都是锐角
C．在 中，若 ，则 ， 都不是锐角
D．在 中，若 ，则 ， 不都是锐角
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】命题“在 中，若 ，则 ， 都是锐角”的否命题为“在 中，若 ，则 ， 不都是锐角”
故答案为：B
【分析】根据否命题的定义判断即可.
2．（2019高二上·太原月考）已知命题 ，则命题 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】因为命题
所以命题
故答案为：B
【分析】由全称命题的否定的定义即可判断.
3．（2019高二上·太原月考）若直线 的方向向量与平面 的法向量夹角为 ，则直线 与平面 所成角为（ ）
A．30° B．120° C．150° D．60°
【答案】D
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】设直线 与平面 所成角为 ，则
因为 ，所以
故答案为：D
【分析】根据直线与平面所成角的正弦值等于150°的余弦值的绝对值，即可得出答案.
4．（2019高二上·太原月考）平面内有两定点 ，且 ，动点P满足 ，则点P的轨迹是（ ）
A．线段 B．半圆 C．圆 D．椭圆
【答案】C
【知识点】圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【解答】设 ， ，
，即
则点P的轨迹是圆
故答案为：C
【分析】设 ， ， ，由向量的加法以及模长公式得出点P的轨迹是圆.
5．（2019高二上·太原月考）已知A，B，C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】设 ，若点 与点 共面，则 ，只有D满足，.
故答案为：D.
【分析】根据点 与点 共面，可得 ，验证选项，即可得到答案.
6．（2019高二上·太原月考）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，∠ = ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故椭圆的离心率e＝ ，
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合椭圆的定义和焦距公式，可设|PF2|＝m，可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，再利用椭圆的离心率公式变形求出椭圆的离心率。
7．（2019高二上·太原月考）已知向量 是平面 内两个不相等的非零向量，非零向量 在直线l上，则“ ，且 ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与直线的位置关系
【解析】【解答】
若直线 在平面 内时，此时也能找到向量 与 垂直，不能得到
反过来， ，则直线 垂直于平面 内所有直线，则 ，且
故“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件
故答案为：B
【分析】根据向量的性质以及线面垂直的性质即可作出判断.
8．（2019高二上·太原月考）已知椭圆 的两个焦点是 、 ，点 在该椭圆上，若 ，则 的面积是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由椭圆的定义可得 ，所以 ，解得 ，
， ， .
因此， 的面积为 .
故答案为：A.
【分析】由椭圆的定义得出 ，结合 ，可求出 和 ，利用勾股定理可得出 ，可得出 ，然后利用三角形的面积公式可计算出 的面积.
9．（2020高二下·六安月考）已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由条件 ，解得 或 ，故 ： ，
由条件 得 ： ，
∵ 是 的充分不必要条件，
∴ ，
故选：A.
【分析】由题意，可先解出 ： 与 ： ，再由 是 的充分不必要条件列出不等式即可得出a的取值范围.
10．（2019高二上·太原月考）已知空间四个点 ， ， ， ，则直线AD与平面ABC所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】设平面 的法向量为 ，直线AD与平面ABC所成的角为
令 ，则
则
故答案为：A
【分析】根据向量法求出线面角即可.
二、填空题
11．（2019高二上·太原月考）若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为
【答案】[3，+∞）
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】∵“a＜x＜a+2”是“x＞3”的充分不必要条件
∴{x|a＜x＜a+2} {x|x＞3}
∴a≥3，
故答案为[3，+∞）
【分析】将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出a的范围．
12．（2019高二上·太原月考）如图，已知三棱锥 中，AD，BD，CD两两垂直， ， ，E，F分别为AC，BC的中点，则点C到平面DEF的距离为 ．
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】原题如图所示：
两两互相垂直
平面
又 为 中点 到底面 距离为
， ，
为 中点
， ，
在 中，根据余弦定理可知：
设 到平面 距离为h
则
即
故答案为：
【分析】利用体积桥 的方式，求解出三棱锥 的体积；根据题目中的长度和垂直关系，求解出 ，然后再求解出所求的距离.
13．（2019高二上·太原月考）曲线C的方程为x2＋ ＝1，其上一点P(x，y)，则3x＋y的最大值为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】令3x＋y＝n，代入x2＋ ＝1，消去y化简整理，得12x2－6nx＋n2－3＝0，
Δ＝36n2－4×12(n2－3)≥0，解得－2 ≤n≤2 .
答案：2 .
【分析】令3x＋y＝n，与椭圆联立得12x2－6nx＋n2－3＝0，由Δ≥0即可得最值.
14．（2019高二上·太原月考）在图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，若 ，则MN长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】平面内两点间的距离公式；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】 平面ABCD 平面ABEF
平面ABCD，平面ABCD与平面ABEF相交于 ，
平面ABEF
平面ABEF，
则以 为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系
则 时， 取最小值
故答案为：
【分析】利用面面垂直和线面垂直的性质定理证明 ，建立空间直角坐标系，写出 坐标，利用空间中两点的距离公式结合二次函数的性质得出最小值.
三、解答题
15．（2019高二下·鹤岗期末）命题p：关于x的不等式 对一切 恒成立； 命题q：函数 在 上递增，若 为真，而 为假，求实数 的取值范围。
【答案】解：命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；
②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增 a＞1，
∵p∨q为真，而p∧q为假，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，有 ，
∴﹣2＜a≤1；
当p假q真时，有 ，
∴a≥2
∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2．
即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）．
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【分析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．
16．（2019高二上·太原月考）已知 ，若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
【答案】解：设动点 ，则 ， ，
由已知得： ，化简得 ，即 ，
故动点P的轨迹C的方程是
【知识点】轨迹方程
【解析】【分析】设动点 ，得出 ， ， 的坐标，根据向量的数量积公式以及模长公式，化简即可点 的轨迹方程.
17．（2019高二上·太原月考）如图1，在平行四边形 中， ， ， ，以对角线 为折痕把 折起，使点 到图2所示点 的位置，使得 .
（Ⅰ）求证:平面 平面 ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
【答案】解：（Ⅰ）图1中， ，
由余弦定理得 ，
∴ ，∴ ，
即 ，
同理 .
图2中，在 中， ，
∴ ，∴ ，即
又 ，∴ 平面 .
平面 ，∴ ，
又 .∴ 平面 ， 平面 ，
∴平面 平面 .
(Ⅱ)如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
过点 在平面 内平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系.
则 ，
设平面 的法向量为
由 得 令 ，得平面 的一个法向量为
同理可得平面 的一个法向量
∴ .
又二面角 的平面角为锐角，
所以，二面角 的余弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（Ⅰ）在图1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，图2中，在△PAD中，求解三角形可得AD⊥PD，结合PD⊥BD，得到PD⊥平面ABD，进一步得到PD⊥AB，又AB⊥BD，可得AB⊥平面PBD，由面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBD；（Ⅱ）以D为坐标原点，分别以DB，DP所在直线为y，z轴，过点D在平面ABD内平行于AB的直线为x轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PAD与平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值．
18．（2019高二上·太原月考）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率为 ，椭圆 上的点到焦点距离的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 ，求实数 的取值范围．
【答案】解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为： ．
由题意 ， 所求椭圆方程为： ．
（Ⅱ）若过点 的斜率不存在，则 ．
若过点 的直线斜率为 ，即 时，直线 的方程为 ．
由 ．
于是 ．
因为 和椭圆 交于不同两点，所以 ， ，所以 ．
①
设 ．由已知 ，则 ．
②
， 所以 ③
将③代入②， 得 ．整理得 ．
所以 ， 代入①式， 得 ．
即 ，解得 ．所以 或 ． 综上可得，实数 的取值范围为
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（Ⅰ）椭圆 上的点到焦点距离的最大值为 ，且离心率为 ，结合 ，求得 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求．设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立得 ，因交于两点故 ，得 的不等式，设交点 ，代入向量式得交点横坐标关系 ，再结合韦达定理列方程得 的方程 ，与上述不等式联立求实数 的取值范围．
