河南省郑州市第一中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高二上·郑州期中）等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）
A．-1 B． C．1 D．0
2．（2020高二上·郑州期中）设 ，且 ，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020高二下·长春月考）设命题p: >1,n2>2n,则 p为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高二上·郑州期中）已知集合 ，则集合 中元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2020高二上·郑州期中）已知 中， ， ， ，则 等于（ ）．
A．60°或120° B．30° C．60° D．30°或150°
6．（2020高二上·郑州期中）已知椭圆 ( )的一个焦点是圆 的圆心，且短轴长为 ，则椭圆的左顶点为（ ）
A． B． C． D．
7．（2019高三上·禅城月考） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2020高二上·郑州期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ，则方程 无实数根
B．“矩形的两条对角线相等”的逆命题
C．“若 ，则 ， 全为0”的否命题
D．“若 ，则 ”的逆否命题
9．（2020高二上·郑州期中）数列 的前 项和为 ，若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2020高二上·郑州期中）已知椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 ，点 是线段 的中点， 为坐标原点，则 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．14
11．（2020高三上·西安月考）设 ： ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2020高一下·元氏期中）函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
二、填空题
13．（2020高二上·郑州期中）已知数列 满足 ， ，则 .
14．（2020高二上·郑州期中）设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
15．（2020高二上·郑州期中）已知p：“ ”为真命题，则实数a的取值范围是 .
16．（2020高二上·郑州期中）已知 内角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ，且 ，则c的最小值为 .
三、解答题
17．（2020高二上·郑州期中）已知 内角A，B，C的对边为a，b，c，且满足 .
（1）求C；
（2）若 ， ，求 的面积.
18．（2020高二上·郑州期中）已知数列 是等差数列，且 ， ．
（Ⅰ） 求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）若数列 是递增的等比数列且 ， ，求 ．
19．（2020高二上·郑州期中）已知不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的真子集，求实数 的取值范围.
20．（2020高二上·郑州期中）设椭圆 的离心率为 ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点 作直线l与E交于A，B两点，O为坐标原点，求 面积是 时直线l的方程.
21．（2020高二上·郑州期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量， ．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
22．（2020高二上·郑州期中）已知数列 的前n项和 满足 且 .数列 满足 .
（1）当 时，求数列 的前n项和 ；
（2）若对一切 都有 ，求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】根据等差数列的通项公式即可求出。
2．【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，若 ，显然不成立；
对于B，若 ，显然不成立；
对于C，若 ，显然不成立；
对于D，因为 ，所以 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据命题的否定，可以写出 ： ，
故答案为：C.
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而推出命题p的否定。
4．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】由 得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据不等式性质求出集合A，由此能求出集合A中元素个数。
5．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴由 得 ，
，
∴B＝ 或 .
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理和大边对大角，即可得到答案。
6．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为圆 即为 ，所以圆心为 ，
所以椭圆的一个焦点坐标为 ，故 ，又因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以左顶点为 .
故答案为：D.
【分析】由圆方程得到圆心坐标，从而得椭圆一个焦点为 ，所以 ，结合 可计算出，可得椭圆的左顶点坐标。
7．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故答案为：C.
【分析】利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得。
8．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，当m＜1时，4﹣4m＞0，∴方程x2﹣2x+m＝0有实数根，命题是假命题；
对于B，“矩形的两条对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题；
对于C，“若x2+y2＝0，则x，y全为0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
对于D，“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，如m＝0时命题不成立，∴它的逆否命题也是假命题．
故答案为：C．
【分析】根据题意对每一个选项中的每个命题进行分析判断即可得到答案。
9．【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】 则 ，解得
所以： ，故 ．
故答案为：B
【分析】根据已知条件可得，可以得到此数列是等比数列，即可得出通项公式进而得出答案。
10．【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义得
因为 ,所以
故答案为：C
【分析】先根据椭圆的定义得 的长度，再利用中位线定理求出 的长度。
11．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由非 是非 的必要而不充分条件，可知 是 的必要而不充分条件，即 是 充分而不必要条件，解不等式 ，得 ，解不等式 得 ，由题意知 是 的真子集，所以 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再利用命题与命题的否定之间的关系，从而利用集合间的关系借助数轴，再利用分类讨论的方法求出实数a的取值范围。
12．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴ （3m+n）（ ）＝5 5+2 5+2 ，当且仅当n m时取等号，
故最小值为5+2 ，
故答案为：C
【分析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝1，结合基本不等式可得 的最小值．
13．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知： ，即 ，而 ，
∴数列 是首项为1，公差为1的等差数列，有 ，
∴ ，则 .
故答案为：
【分析】首先利用构造新数列求出数列的通项公式，进一步求出结果即可。
14．【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】x，y满足约束条件 ，满足的可行域如图：
则 的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值．
由 可得A（﹣2，3），
则 的最大值是： ．
故答案为5．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可。
15．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为“ ”为真命题，所以不等式 在 上有解，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】因为“ ”为真命题，可得不等式 在 上有解，得出 ，解得实数的取值范围。
16．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】
，
即 ，又
，
当 最大时，即 ， 最小，且为
由正弦定理得： ，
当 时，c的最小值为
故答案为：
【分析】先利用正弦定理边化角得到，再利用正弦定理求出，根据与 的关系，求得最小，且为 ，即可得出 c的最小值 。
17．【答案】（1）解：由正弦定理得： ，
又 ， ，即 ，
又 ，故 .
（2）解： ， ，
由余弦定理得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）.
所以 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 ， 由此求得C；
（2）利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式，求解即可。
18．【答案】解：（Ⅰ）有已知得：
，
.
（Ⅱ）解：由已知得： ,
又 是递增的等比数列，故解得： ,
,
∴
=
=
= .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知可得： 即可求出 数列 的通项公式 ；
（Ⅱ） 由已知得： , 可得 , 再分组求和即可。
19．【答案】（1）解：由题意，当 时，不等式 ，即 ，
即 ，解得 ，所以集合 .
（2）解：由 ，可得 ，
当 时，不等式 的解集为 .
由集合 是集合 的真子集可得 ，所以 ，
当 时，不等式 的解集为 满足题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
由集合 是集合 的真子集，可得 ，所以 ，
综上可得： ，即实数 的取值范围为 .
【知识点】子集与真子集；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）代入的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；
（2）对分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解。
20．【答案】（1）解：∵以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 ，
∴ ，即 ①，
又 ②，
③，
由①②③联立可求得： ， ， ，
∴椭圆E的方程为： .
（2）解：①当直线AB斜率不存在时，则方程为 ，
∴ ，
∴ ，舍去；
②当直线AB斜率存在时，可设其方程为： ，
由题意可知： ，
由 ，得： ，
设 ， ，则
， ，
∴ ，
∴
，
整理得： ，即 ， .
综上所述： 面积为 时，直线l的方程为： .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆四个顶点构成的四边形面积、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2） ①当直线AB斜率不存在时，易求得； ②当直线AB斜率存在时，假设直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得， 利用点到直线距离公式求出，从而得到，利用面积相等可得答案。
21．【答案】（1）解：在△ABC中，因为cos A＝ ，cos C＝ ，
所以sin A＝ ，sin C＝ .
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝ × ＋ × ＝ .
由正弦定理 ＝ ，得AB＝ ×sin C＝ × ＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
（2）解：假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤ ，即0≤t≤8，
故当t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长。
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m ， 由余弦定理可求得 。
22．【答案】（1）解：当 时， ， ，解得 .
当 时，∵ ，
∴ ，可得 ，
上述两式相减得 ，
即 ，所以 .
所以数列 是首项为a，公比为a的等比数列，
∴ ，
从而 .
当 时， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
所以 .
（2）解：由 ，可得 .
①当 时，由 ，可得 ， ，
∴ ，∴ ，对一切 都成立，此时的解为 ；
②当 时，由 ，可得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，对一切 都成立，
∴ .
由①，②可知，对一切 都有 的a的取值范围是 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）首先求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和；
（2）利用函数的单调性和函数的恒成立问题的应用求出结果。
河南省郑州市第一中学2020-2021学年高二上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2020高二上·郑州期中）等差数列 中， ，公差 ，则 （ ）
A．-1 B． C．1 D．0
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】 ．
故答案为：D．
【分析】根据等差数列的通项公式即可求出。
2．（2020高二上·郑州期中）设 ，且 ，则下列各不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A，若 ，显然不成立；
对于B，若 ，显然不成立；
对于C，若 ，显然不成立；
对于D，因为 ，所以 ，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的性质即可得到答案。
3．（2020高二下·长春月考）设命题p: >1,n2>2n,则 p为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】根据命题的否定，可以写出 ： ，
故答案为：C.
【分析】利用全称命题和特称命题互为否定的关系，从而推出命题p的否定。
4．（2020高二上·郑州期中）已知集合 ，则集合 中元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】由 得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据不等式性质求出集合A，由此能求出集合A中元素个数。
5．（2020高二上·郑州期中）已知 中， ， ， ，则 等于（ ）．
A．60°或120° B．30° C．60° D．30°或150°
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴由 得 ，
，
∴B＝ 或 .
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理和大边对大角，即可得到答案。
6．（2020高二上·郑州期中）已知椭圆 ( )的一个焦点是圆 的圆心，且短轴长为 ，则椭圆的左顶点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为圆 即为 ，所以圆心为 ，
所以椭圆的一个焦点坐标为 ，故 ，又因为 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以左顶点为 .
故答案为：D.
【分析】由圆方程得到圆心坐标，从而得椭圆一个焦点为 ，所以 ，结合 可计算出，可得椭圆的左顶点坐标。
7．（2019高三上·禅城月考） 的内角 的对边分别为 ， ， ，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题可知
所以
由余弦定理
所以
故答案为：C.
【分析】利用面积公式 和余弦定理 进行计算可得。
8．（2020高二上·郑州期中）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若 ，则方程 无实数根
B．“矩形的两条对角线相等”的逆命题
C．“若 ，则 ， 全为0”的否命题
D．“若 ，则 ”的逆否命题
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质
【解析】【解答】解：对于A，当m＜1时，4﹣4m＞0，∴方程x2﹣2x+m＝0有实数根，命题是假命题；
对于B，“矩形的两条对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题；
对于C，“若x2+y2＝0，则x，y全为0”的否命题是“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题；
对于D，“若a＜b，则am2＜bm2”是假命题，如m＝0时命题不成立，∴它的逆否命题也是假命题．
故答案为：C．
【分析】根据题意对每一个选项中的每个命题进行分析判断即可得到答案。
9．（2020高二上·郑州期中）数列 的前 项和为 ，若 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】 则 ，解得
所以： ，故 ．
故答案为：B
【分析】根据已知条件可得，可以得到此数列是等比数列，即可得出通项公式进而得出答案。
10．（2020高二上·郑州期中）已知椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 ，点 是线段 的中点， 为坐标原点，则 （ ）
A．3 B．4 C．7 D．14
【答案】C
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】由椭圆的定义得
因为 ,所以
故答案为：C
【分析】先根据椭圆的定义得 的长度，再利用中位线定理求出 的长度。
11．（2020高三上·西安月考）设 ： ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由非 是非 的必要而不充分条件，可知 是 的必要而不充分条件，即 是 充分而不必要条件，解不等式 ，得 ，解不等式 得 ，由题意知 是 的真子集，所以 ，即 ，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，再利用命题与命题的否定之间的关系，从而利用集合间的关系借助数轴，再利用分类讨论的方法求出实数a的取值范围。
12．（2020高一下·元氏期中）函数y=loga（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则 的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，
当x+4＝1时，即x＝﹣3，y＝﹣1，则A（﹣3，﹣1），
∴﹣3m﹣n+1＝0，
∴3m+n＝1，
∴ （3m+n）（ ）＝5 5+2 5+2 ，当且仅当n m时取等号，
故最小值为5+2 ，
故答案为：C
【分析】函数y＝loga（x+4）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（﹣3，﹣1），进而可得3m+n＝1，结合基本不等式可得 的最小值．
二、填空题
13．（2020高二上·郑州期中）已知数列 满足 ， ，则 .
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知： ，即 ，而 ，
∴数列 是首项为1，公差为1的等差数列，有 ，
∴ ，则 .
故答案为：
【分析】首先利用构造新数列求出数列的通项公式，进一步求出结果即可。
14．（2020高二上·郑州期中）设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是 .
【答案】5
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】x，y满足约束条件 ，满足的可行域如图：
则 的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值．
由 可得A（﹣2，3），
则 的最大值是： ．
故答案为5．
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可。
15．（2020高二上·郑州期中）已知p：“ ”为真命题，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】因为“ ”为真命题，所以不等式 在 上有解，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【分析】因为“ ”为真命题，可得不等式 在 上有解，得出 ，解得实数的取值范围。
16．（2020高二上·郑州期中）已知 内角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ，且 ，则c的最小值为 .
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理
【解析】【解答】
，
即 ，又
，
当 最大时，即 ， 最小，且为
由正弦定理得： ，
当 时，c的最小值为
故答案为：
【分析】先利用正弦定理边化角得到，再利用正弦定理求出，根据与 的关系，求得最小，且为 ，即可得出 c的最小值 。
三、解答题
17．（2020高二上·郑州期中）已知 内角A，B，C的对边为a，b，c，且满足 .
（1）求C；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1）解：由正弦定理得： ，
又 ， ，即 ，
又 ，故 .
（2）解： ， ，
由余弦定理得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）.
所以 的面积 .
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得 ， 由此求得C；
（2）利用余弦定理求得，再根据三角形的面积公式，求解即可。
18．（2020高二上·郑州期中）已知数列 是等差数列，且 ， ．
（Ⅰ） 求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）若数列 是递增的等比数列且 ， ，求 ．
【答案】解：（Ⅰ）有已知得：
，
.
（Ⅱ）解：由已知得： ,
又 是递增的等比数列，故解得： ,
,
∴
=
=
= .
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和
【解析】【分析】 （Ⅰ） 由已知可得： 即可求出 数列 的通项公式 ；
（Ⅱ） 由已知得： , 可得 , 再分组求和即可。
19．（2020高二上·郑州期中）已知不等式 的解集为 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若集合 是集合 的真子集，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，当 时，不等式 ，即 ，
即 ，解得 ，所以集合 .
（2）解：由 ，可得 ，
当 时，不等式 的解集为 .
由集合 是集合 的真子集可得 ，所以 ，
当 时，不等式 的解集为 满足题意；
当 时，不等式 的解集为 ，
由集合 是集合 的真子集，可得 ，所以 ，
综上可得： ，即实数 的取值范围为 .
【知识点】子集与真子集；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）代入的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；
（2）对分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解。
20．（2020高二上·郑州期中）设椭圆 的离心率为 ，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的右焦点 作直线l与E交于A，B两点，O为坐标原点，求 面积是 时直线l的方程.
【答案】（1）解：∵以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 ，
∴ ，即 ①，
又 ②，
③，
由①②③联立可求得： ， ， ，
∴椭圆E的方程为： .
（2）解：①当直线AB斜率不存在时，则方程为 ，
∴ ，
∴ ，舍去；
②当直线AB斜率存在时，可设其方程为： ，
由题意可知： ，
由 ，得： ，
设 ， ，则
， ，
∴ ，
∴
，
整理得： ，即 ， .
综上所述： 面积为 时，直线l的方程为： .
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆四个顶点构成的四边形面积、离心率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆方程；
（2） ①当直线AB斜率不存在时，易求得； ②当直线AB斜率存在时，假设直线方程与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得， 利用点到直线距离公式求出，从而得到，利用面积相等可得答案。
21．（2020高二上·郑州期中）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量， ．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
【答案】（1）解：在△ABC中，因为cos A＝ ，cos C＝ ，
所以sin A＝ ，sin C＝ .
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C＝ × ＋ × ＝ .
由正弦定理 ＝ ，得AB＝ ×sin C＝ × ＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
（2）解：假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m
所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)× ＝200(37t2－70t＋50)，
因0≤t≤ ，即0≤t≤8，
故当t＝ (min)时，甲、乙两游客距离最短.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长。
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m ， 由余弦定理可求得 。
22．（2020高二上·郑州期中）已知数列 的前n项和 满足 且 .数列 满足 .
（1）当 时，求数列 的前n项和 ；
（2）若对一切 都有 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：当 时， ， ，解得 .
当 时，∵ ，
∴ ，可得 ，
上述两式相减得 ，
即 ，所以 .
所以数列 是首项为a，公比为a的等比数列，
∴ ，
从而 .
当 时， ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
所以 .
（2）解：由 ，可得 .
①当 时，由 ，可得 ， ，
∴ ，∴ ，对一切 都成立，此时的解为 ；
②当 时，由 ，可得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，对一切 都成立，
∴ .
由①，②可知，对一切 都有 的a的取值范围是 .
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）首先求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和；
（2）利用函数的单调性和函数的恒成立问题的应用求出结果。
