河北省博野中学2019-2020学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高二下·唐山期中）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2020高二下·唐山期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020高二下·河北开学考）定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递减，设 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·唐山期中）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高三上·凉州期中）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020高二下·唐山期中）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
8．（2020高二下·唐山期中）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2016·浙江理）命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
10．（2019高二下·南海期末）已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ，若方程 有8个相异实根，则实数b的取值范围（ ）
A． B． C． D．
12．（2020高二下·唐山期中）一个五位自然数 ，当且仅当 时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110 B．137 C．145 D．146
二、填空题
13．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
14．（2019高二上·郑州期中）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则 的最小值为 ．
15．（2020高二下·唐山期中）若 展开式中的常数项是60，则实数a的值为 ．
16．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ．
三、解答题
17．（2020高二上·福建期中）已知 ，命题 ，命题 ．
（1）若 ，“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
18．（2020高二下·唐山期中）已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数.
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 在 上有解，求k的取值范围.
19．（2020高二下·河北开学考）设函数 .
（1）若 在 上存在单调递减区间，求 的取值范围；
（2）若 是函数的极值点，求函数 在 上的最小值.
20．（2020高二下·河北开学考）北京市政府为做好 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响.
（1）求该海产品不能销售的概率.
（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利 元，求 的分布列，并求出数学期望 .
21．（2020高二下·唐山期中）已知函数 （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数.
（Ⅰ）当 时，求证 ；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得 对一切 恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.
22．（2020高二下·河北开学考）为了研究某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
参考公式：
（1）根据散点图，判断 与 哪一个适合作为y关于x的回归方程类型；（给出判断即可，不用说明理由）
（2）根据（1）中的判断及表中数据，求y关于x的回归方程 参考数据： ， ， ， ， ，
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为：A．
【分析】首先解得集合A，B，再根据补集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，则共轭复数为 在第四象限，
故答案为：D
【分析】先化简复数 ，再求它的共轭复数。
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
4．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵偶函数 满足 ，∴函数的周期为2，
由于 ， ， ，
且函数 在 上单调递减，∴ 。
故答案为：D
【分析】利用函数 满足 ，∴函数的周期为2，再利用已知条件结合偶函数的定义和函数的周期性，从而推出 ， ， ，再利用 且函数 在 上单调递减，从而比较出a,b,c的大小。
5．【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则 ；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为 ；
故答案为：A.
【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
6．【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ，定义域为 ，∵ ，∴函数 为偶函数，当 时， 函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 成立，∴ ，∴ ，∴x的取值范围为 。
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性，再结合偶函数的性质，用解绝对值不等式的平方法求出x的取值范围。
7．【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有 =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有 =24种选择方案，综上所述，所有参赛方案有72+24=96种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分步加法计数原理，再利用组合数和排列数公式，从而求出不同的参赛方案种数。
8．【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的定义域是（0，+∞），
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
9．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是： x∈R， n∈N*，使得n＜x2．
故选：D．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
10．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在定义域 上为增函数，
在不等式 两边同时乘以 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，在不等式 两边同时乘以 化为 ，即 ，然后利用函数 在 上的单调性进行求解即可.
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】画出函数 的图象如下图所示．由题意知，当 时， ；当 时， ．
设 ，则原方程化为 ，
∵方程 有8个相异实根，
∴关于 的方程 在 上有两个不等实根，
令 ， ，
则 ，解得 ，
∴实数b的取值范围为 。
故答案为：D．
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，令 ， ，进而求出函数的图象，再利用函数图象与x轴交点结合方程 有8个相异实根，再利用根与系数的关系，从而求出实数b的取值范围。
12．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；进行简单的合情推理
【解析】【解答】分四种情况进行讨论：（1）当 时， 和 有 种排法， 和 有 种排法，此时共 个；（2）当 时，有 个；（3）当 时，有 个；（4）当 时，有 个，由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有 个。
故答案为：D
【分析】利用凹数的定义结合分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理结合组合数公式，从而求出满足条件的五位自然数中“凹数”的个数。
13．【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
14．【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2， ＝ ＝ ＝x－y＋ ≥4，则 的最小值为4.
【分析】由已知得到xy＝2，由 =x－y＋ ，利用基本不等式即可求出最小值.
15．【答案】±2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 的通项公式为 ，
若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，
解得 或 （舍），
所以 ，
因为 展开式的常数项为60，
所以 ，
解得 ．
故答案为：±2
【分析】先得到 的通项公式为 ，若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，解得r，再根据常数项为60求解.
16．【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为 ，故至少有一人去北京旅游的概率为 .
【分析】至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．
17．【答案】（1）解：当 时，命题 ；命题 ．
“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，
一真一假，
①当 真 假时， ，且 或 ， 无解；
②当 假 真时， 或 ，且 ，
或 ，
综上得， 的范围是 或
（2）解：命题 ，命题 ，
是 的必要条件， 是q的必要条件，
又 ， ，
.
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将 ，代入命题 ，求出 的取值范围，由“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，可知 与 一真一假，分类讨论当 真 假和当 假 真时，解不等式进行求解即可；（2） ， ， ，分别求出 和 ，根据 是 的必要条件，可得 是 的必要条件，从而求出 的范围．
18．【答案】（1）解：∵函数 的图象关于原点对称，∴函数 为奇函数，
∴ ，
即 ，解得 或 （舍）.
（2）解：
当 时， ，
∵当 时， 恒成立，
∴ .
（3）解：由（1）知， ，即 ，即 即 在 上有解，
在 上单调递减
的值域为 ，
∴
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ （x﹣1）= （1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．
19．【答案】（1）解： ，
由题可知， 在 上有解，
所以 ，
则 ，即 的取值范围为 .
（2）解：因为 ，所以 .
所以 ，令 ，解得： 或 .
所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间，再利用函数 在 上存在单调递减区间， 从而 在 上有解，所以 ，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出实数m的取值范围。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数的极值点， 从而求出m的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最小值。
20．【答案】（1）解：记“该产品不能销售”为事件 ，
则 （A） ，
所以，该产品不能销售的概率为 ；
（2）解：由已知， 的可能取值为 ， ， ，40，160
计算 ，
，
，
，
；
所以 的分布列为
-320 -200 -80 40 160
；
所以均值 为40．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1） 记“该产品不能销售”为事件 ， 再利用实际问题的已知条件，从而结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出事件A的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量 的可能取值为 ， ， ，40，160 ，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合随机变量X的数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
21．【答案】解：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 时取得最小值，
在 上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由 ，得 对一切 恒成立，
当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取1，2.
下面证明当 时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上是减函数，在 上是增函数，
，
当 时，不等式恒成立
所以a的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）要证明函数不等式 （ ），注意到 ，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式 为 ，注意到特殊情形， 时，不等式为 ，因此a的值只有为1或2，因此只要证 时，不等式 恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为 ，因此只要研究函数 的单调性，求得最小值即可.
22．【答案】（1）解：作出散点图如图1所示：
由散点图可以看出， 适合作为y关于x的回归方程类型.
（2）解：令 ， ，则 .
变换后的样本数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图2所示：
从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合.
又 ， .
故 ，
，故线性回归方程为 .
故 ，因此细菌的繁殖个数y关于时间x的非线性回归方程为 .
【知识点】线性回归方程；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况而收集的数据表，作出散点图；再利用散点图结合代入法，判断出 适合作为y关于x的回归方程类型 。
（2） 根据（1）中的判断及表中数据， 结合最小二乘法求出 y关于x的回归方程 。
河北省博野中学2019-2020学年高二下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2020高二下·唐山期中）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解： ， ， ，
故答案为：A．
【分析】首先解得集合A，B，再根据补集的定义求解即可.
2．（2018·北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，则共轭复数为 在第四象限，
故答案为：D
【分析】先化简复数 ，再求它的共轭复数。
3．（2020高二下·唐山期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.
4．（2020高二下·河北开学考）定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递减，设 ， ， ，则 ， ， 大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】∵偶函数 满足 ，∴函数的周期为2，
由于 ， ， ，
且函数 在 上单调递减，∴ 。
故答案为：D
【分析】利用函数 满足 ，∴函数的周期为2，再利用已知条件结合偶函数的定义和函数的周期性，从而推出 ， ， ，再利用 且函数 在 上单调递减，从而比较出a,b,c的大小。
5．（2020高二下·唐山期中）甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,
则 ；
则在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为 ；
故答案为：A.
【分析】根据题意,记甲击中目标为事件A,乙击中目标为事件B,目标被击中为事件C,由相互独立事件的概率公式,计算可得目标被击中的概率,进而计算在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率,可得答案.
6．（2019高三上·凉州期中）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ，定义域为 ，∵ ，∴函数 为偶函数，当 时， 函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 成立，∴ ，∴ ，∴x的取值范围为 。
故答案为：A.
【分析】利用函数的单调性，再结合偶函数的性质，用解绝对值不等式的平方法求出x的取值范围。
7．（2020高二下·唐山期中）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．48 B．72 C．90 D．96
【答案】D
【知识点】简单计数与排列组合
【解析】【解答】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有 =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有 =24种选择方案，综上所述，所有参赛方案有72+24=96种。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分步加法计数原理，再利用组合数和排列数公式，从而求出不同的参赛方案种数。
8．（2020高二下·唐山期中）若函数 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】 的定义域是（0，+∞），
，
若函数 有两个不同的极值点，
则 在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故 ，解得： ，
故答案为：D．
【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
9．（2016·浙江理）命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（ ）
A． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 B． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N*，使得n＜x2 D． x∈R， n∈N*，使得n＜x2
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是： x∈R， n∈N*，使得n＜x2．
故选：D．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
10．（2019高二下·南海期末）已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在定义域 上为增函数，
在不等式 两边同时乘以 得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，
故答案为：D.
【分析】构造函数 ，利用导数分析函数 在 上的单调性，在不等式 两边同时乘以 化为 ，即 ，然后利用函数 在 上的单调性进行求解即可.
11．（2020高二下·唐山期中）已知函数 ，若方程 有8个相异实根，则实数b的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】画出函数 的图象如下图所示．由题意知，当 时， ；当 时， ．
设 ，则原方程化为 ，
∵方程 有8个相异实根，
∴关于 的方程 在 上有两个不等实根，
令 ， ，
则 ，解得 ，
∴实数b的取值范围为 。
故答案为：D．
【分析】利用分段函数解析式画出分段函数的图象，令 ， ，进而求出函数的图象，再利用函数图象与x轴交点结合方程 有8个相异实根，再利用根与系数的关系，从而求出实数b的取值范围。
12．（2020高二下·唐山期中）一个五位自然数 ，当且仅当 时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（ ）
A．110 B．137 C．145 D．146
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；进行简单的合情推理
【解析】【解答】分四种情况进行讨论：（1）当 时， 和 有 种排法， 和 有 种排法，此时共 个；（2）当 时，有 个；（3）当 时，有 个；（4）当 时，有 个，由分类加法原理得满足条件的五位自然数中“下凸数”共有 个。
故答案为：D
【分析】利用凹数的定义结合分类讨论的方法，再利用分类加法计数原理结合组合数公式，从而求出满足条件的五位自然数中“凹数”的个数。
二、填空题
13．（2020高二下·唐山期中）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】1-ln2
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得 。
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，结合直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，从而求出b的值。
14．（2019高二上·郑州期中）若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则 的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由log2x＋log2y＝1，得xy＝2， ＝ ＝ ＝x－y＋ ≥4，则 的最小值为4.
【分析】由已知得到xy＝2，由 =x－y＋ ，利用基本不等式即可求出最小值.
15．（2020高二下·唐山期中）若 展开式中的常数项是60，则实数a的值为 ．
【答案】±2
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】因为 的通项公式为 ，
若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，
解得 或 （舍），
所以 ，
因为 展开式的常数项为60，
所以 ，
解得 ．
故答案为：±2
【分析】先得到 的通项公式为 ，若得到常数项，当 取1时，令 ，当 取x时，令 ，解得r，再根据常数项为60求解.
16．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率分别为 、 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 ．
【答案】
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为 ，故至少有一人去北京旅游的概率为 .
【分析】至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互独立事件和对立事件的概率得到结果．
三、解答题
17．（2020高二上·福建期中）已知 ，命题 ，命题 ．
（1）若 ，“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：当 时，命题 ；命题 ．
“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，
一真一假，
①当 真 假时， ，且 或 ， 无解；
②当 假 真时， 或 ，且 ，
或 ，
综上得， 的范围是 或
（2）解：命题 ，命题 ，
是 的必要条件， 是q的必要条件，
又 ， ，
.
【知识点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）将 ，代入命题 ，求出 的取值范围，由“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，可知 与 一真一假，分类讨论当 真 假和当 假 真时，解不等式进行求解即可；（2） ， ， ，分别求出 和 ，根据 是 的必要条件，可得 是 的必要条件，从而求出 的范围．
18．（2020高二下·唐山期中）已知函数 的图象关于原点对称，其中a为常数.
（1）求a的值；
（2）当 时， 恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程 在 上有解，求k的取值范围.
【答案】（1）解：∵函数 的图象关于原点对称，∴函数 为奇函数，
∴ ，
即 ，解得 或 （舍）.
（2）解：
当 时， ，
∵当 时， 恒成立，
∴ .
（3）解：由（1）知， ，即 ，即 即 在 上有解，
在 上单调递减
的值域为 ，
∴
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）求出f（x）+ （x﹣1）= （1+x），根据函数的单调性求出m的范围即可；（3）问题转化为k= ﹣x+1在[2，3]上有解，即g（x）= ﹣x+1在[2，3]上递减，根据函数的单调性求出g（x）的值域，从而求出k的范围即可．
19．（2020高二下·河北开学考）设函数 .
（1）若 在 上存在单调递减区间，求 的取值范围；
（2）若 是函数的极值点，求函数 在 上的最小值.
【答案】（1）解： ，
由题可知， 在 上有解，
所以 ，
则 ，即 的取值范围为 .
（2）解：因为 ，所以 .
所以 ，令 ，解得： 或 .
所以当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
所以函数 在 上的最小值为 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调递减区间，再利用函数 在 上存在单调递减区间， 从而 在 上有解，所以 ，再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出实数m的取值范围。
（2）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值点，再利用 是函数的极值点， 从而求出m的值，进而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间的最小值。
20．（2020高二下·河北开学考）北京市政府为做好 会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否合格相互没有影响.
（1）求该海产品不能销售的概率.
（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利 元，求 的分布列，并求出数学期望 .
【答案】（1）解：记“该产品不能销售”为事件 ，
则 （A） ，
所以，该产品不能销售的概率为 ；
（2）解：由已知， 的可能取值为 ， ， ，40，160
计算 ，
，
，
，
；
所以 的分布列为
-320 -200 -80 40 160
；
所以均值 为40．
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1） 记“该产品不能销售”为事件 ， 再利用实际问题的已知条件，从而结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出事件A的概率。
（2）利用已知条件求出随机变量 的可能取值为 ， ， ，40，160 ，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合随机变量X的数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
21．（2020高二下·唐山期中）已知函数 （ 为自然对数的底数）， 是 的导函数.
（Ⅰ）当 时，求证 ；
（Ⅱ）是否存在正整数a，使得 对一切 恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）当 时， ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 时取得最小值，
在 上为增函数，
，
（Ⅱ） ，
由 ，得 对一切 恒成立，
当 时，可得 ，所以若存在，则正整数 的值只能取1，2.
下面证明当 时，不等式恒成立，
设 ，则 ，
由（Ⅰ） ， ，
当 时， ；当 时， ，
即 在 上是减函数，在 上是增函数，
，
当 时，不等式恒成立
所以a的最大值是2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（Ⅰ）要证明函数不等式 （ ），注意到 ，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式 为 ，注意到特殊情形， 时，不等式为 ，因此a的值只有为1或2，因此只要证 时，不等式 恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的正负的方便性，把不等式变为 ，因此只要研究函数 的单调性，求得最小值即可.
22．（2020高二下·河北开学考）为了研究某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况，收集数据如下：
天数x 1 2 3 4 5 6
繁殖个数y 6 12 25 49 95 190
参考公式：
（1）根据散点图，判断 与 哪一个适合作为y关于x的回归方程类型；（给出判断即可，不用说明理由）
（2）根据（1）中的判断及表中数据，求y关于x的回归方程 参考数据： ， ， ， ， ，
【答案】（1）解：作出散点图如图1所示：
由散点图可以看出， 适合作为y关于x的回归方程类型.
（2）解：令 ， ，则 .
变换后的样本数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25
相应的散点图如图2所示：
从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合.
又 ， .
故 ，
，故线性回归方程为 .
故 ，因此细菌的繁殖个数y关于时间x的非线性回归方程为 .
【知识点】线性回归方程；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用某种细菌的繁殖个数y随天数x的变化情况而收集的数据表，作出散点图；再利用散点图结合代入法，判断出 适合作为y关于x的回归方程类型 。
（2） 根据（1）中的判断及表中数据， 结合最小二乘法求出 y关于x的回归方程 。
