甘肃省武威市凉州区双城镇南安九年制学校2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
3．（2023·衢江模拟）用配方法解方程x2 +4x+1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x-2)2=5 B．(x-2) 2=3 C．(x+2) 2=5 D．(x+2) 2=3
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2 +4x+1=0
∴ x2 +4x+4=-1+4，
∴（x+2）2=3.
故答案为：D
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的左边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方式.
4．（2022九上·上杭期中）若方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当时，方程为，
解得：，方程有实数根，
当时，方程为一元二次方程，而方程有实数根，则
，
解得：，
综上：方程有实数根，则的取值范围是
故答案为：A.
【分析】分两种情况：当时，方程为一元一次方程，有实根；当时，方程为一元二次方程，可得△≥0，据此求解即可.
5．直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
6．（2021九上·淮南月考）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞﹣
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜ 且k≠0，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围即可。
7．（2021九上·上城期中）将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝-（x+2）2 B．y＝-（x-2）2
C．y＝-x2-2 D．y＝-x2+2
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为y=-x2+2.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
8．已知二次函数（m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．已知点A是抛物线图象的顶点，点A和点关于原点成中心对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
10．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为( )
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2022九上·铁锋期中）一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程变形为，
二次项系数为6、一次项系数为2、常数项为2，
二次项系数、一次项系数、常数项之和为．
故答案为：10．
【分析】根据题意先求出二次项系数为6、一次项系数为2、常数项为2， 再求解即可。
12．（2022·四川模拟）已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两根，则x12＋x22＝ .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝-1，
所以x12＋x22＝（x1＋x2）2 2x1x2＝4 2×（-1）＝6.
故答案为：6.
【分析】根据根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝-1，然后根据x12+x22＝(x1＋x2)2 2x1x2进行计算.
13．（2022九上·长泰期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得到，
解得k≤.
故答案为：k≤.
【分析】根据方程有实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
14．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的根与系数的关系
15．（2022九上·津南期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ．
【答案】98
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
故答案为：98
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据题意列出方程，再求解即可。
16．二次函数的顶点坐标是 .
【答案】(3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
17．（2022九上·大兴期中）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 .
【答案】，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴是：，
关于的对称点是：，
则抛物线与x轴的交点是：和，
关于x的一元二次方程的两根为：，
故答案为：，．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线与一元二次方程的关系可得答案。
18．（2022九上·慈溪期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为 .
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：为14，
令，
解得，
，，
，
故答案为：9.
【分析】令y=14，求出x的值，可得点A、C的坐标，据此不难求出AC的值.
三、计算题
19．用适当的方法解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
即
解得，；
（2）解：∵，
∴，
则或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
四、解答题(共8题；共58分)
20．（2022九上·龙马潭期中）已知关于x的一元二次方程有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．
【答案】解：关于x的一元二次方程有一个实根为-2，
∴，解得：；
∴方程为：，
，
解得：，
∴方程的另一个根为：1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=-2代入方程中可求出m的值，据此可得关于x的方程，然后利用因式分解法求解即可.
21．（2022九上·通榆期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意先求出△=32-4×1×(k-2)≥0，再求解即可。
22． 若二次函数图像经过，两点，求b、c的值.
【答案】解：将，代入中得，
解得：
∴b=-3，c=-4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
23． 将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【答案】解：，
，
，
∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
24．（2022九上·广州期中）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为，且它经过点，求该二次函数的解析式和顶点坐标．
【答案】解：二次函数的对称轴为，且它经过点，
，
解得，
二次函数的解析式为，
，
抛物线顶点坐标为（1，-4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】根据题意列出方程组，求出，可得函数解析式，再利用配方法求出二次函数的顶点式可得抛物线的顶点坐标。
25．（2020九上·常熟期中）某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台.若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
【答案】解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴ ，即
解得： ， （舍去），
所以应减少10条生产线.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设减少x台生产线，根据减少的条数在总条数的20%以内可得x的范围，由题意可得，求解即可.
26．（2021九上·上城期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则x为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？
【答案】（1）解：∵围墙的总长为50米，2间饲养室合计长x米，
∴饲养室的宽＝米，
∴总占地面积为y＝x ＝-x2+x，（0＜x＜50）；
（2）解：当两间饲养室占地总面积达到200平方米时，则-x2+x＝200，
解得：x＝20或30；
∴当面积达到200平方米时，各道墙长分别为20米、10米或30米、米；
当占地面积达到210平方米时，则-x2+x＝210，
方程的Δ＜0，所以此方程无解，
∴占地面积不可能达到210平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用围墙的总长为50米，可表示出饲养室的宽，再根据矩形的面积公式可得到y与x的函数解析式.
（2）利用已知分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值
27． 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕原点顺时针旋转，得到矩形，设直线与轴交于点、与轴交于点，抛物线的图象经过点、、.
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求的面积.
【答案】（1）（-1，3）；（3，1）
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为；
直线与轴交于点、与轴交于点，
∵当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；
抛物线的图象经过点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：，，，
，，
.
的面积为.
【知识点】旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
甘肃省武威市凉州区双城镇南安九年制学校2023-2024学年九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·衢江模拟）用配方法解方程x2 +4x+1=0时，配方结果正确的是（ ）
A．(x-2)2=5 B．(x-2) 2=3 C．(x+2) 2=5 D．(x+2) 2=3
4．（2022九上·上杭期中）若方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
5．直角三角形两直角边是方程的两根，则它的斜边为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．
6．（2021九上·淮南月考）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＞﹣
C．k＞﹣ 且k≠0 D．k＜ 且k≠0
7．（2021九上·上城期中）将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ）
A．y＝-（x+2）2 B．y＝-（x-2）2
C．y＝-x2-2 D．y＝-x2+2
8．已知二次函数（m为常数）的图像与x轴的一个公共点为（1，0），则关于x的一元二次方程的两实数根是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点A是抛物线图象的顶点，点A和点关于原点成中心对称，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件时，获利润y元，则y与x的函数关系为( )
A． B．
C． D．以上答案都不对
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．（2022九上·铁锋期中）一元二次方程6x2+2x=-2的二次项系数、一次项系数、常数项之和是 ．
12．（2022·四川模拟）已知x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两根，则x12＋x22＝ .
13．（2022九上·长泰期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 .
14．若关于的一元二次方程的两根互为相反数，则 ．
15．（2022九上·津南期中）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ．
16．二次函数的顶点坐标是 .
17．（2022九上·大兴期中）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 .
18．（2022九上·慈溪期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为 .
三、计算题
19．用适当的方法解下列方程．
（1）
（2）
四、解答题(共8题；共58分)
20．（2022九上·龙马潭期中）已知关于x的一元二次方程有一个实根为-2，求m的值及方程的另一个实根．
21．（2022九上·通榆期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
22． 若二次函数图像经过，两点，求b、c的值.
23． 将二次函数的解析式化为的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
24．（2022九上·广州期中）在平面直角坐标系中，二次函数的对称轴为，且它经过点，求该二次函数的解析式和顶点坐标．
25．（2020九上·常熟期中）某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台.若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
26．（2021九上·上城期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）
（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则x为多少？占地总面积有可能达到210m2吗？
27． 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形绕原点顺时针旋转，得到矩形，设直线与轴交于点、与轴交于点，抛物线的图象经过点、、.
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）求的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
3．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2 +4x+1=0
∴ x2 +4x+4=-1+4，
∴（x+2）2=3.
故答案为：D
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的左边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边化成完全平方式.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当时，方程为，
解得：，方程有实数根，
当时，方程为一元二次方程，而方程有实数根，则
，
解得：，
综上：方程有实数根，则的取值范围是
故答案为：A.
【分析】分两种情况：当时，方程为一元一次方程，有实根；当时，方程为一元二次方程，可得△≥0，据此求解即可.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；勾股定理
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜ 且k≠0，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算得到k的取值范围即可。
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝-x2向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为y=-x2+2.
故答案为：D.
【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得到平移后的函数解析式.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象与坐标轴的交点问题
9．【答案】B
【知识点】关于原点对称的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
11．【答案】10
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：原方程变形为，
二次项系数为6、一次项系数为2、常数项为2，
二次项系数、一次项系数、常数项之和为．
故答案为：10．
【分析】根据题意先求出二次项系数为6、一次项系数为2、常数项为2， 再求解即可。
12．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1＋x2＝2，x1x2＝-1，
所以x12＋x22＝（x1＋x2）2 2x1x2＝4 2×（-1）＝6.
故答案为：6.
【分析】根据根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝-1，然后根据x12+x22＝(x1＋x2)2 2x1x2进行计算.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得到，
解得k≤.
故答案为：k≤.
【分析】根据方程有实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围.
14．【答案】-2
【知识点】相反数及有理数的相反数；一元二次方程的根与系数的关系
15．【答案】98
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
故答案为：98
【分析】设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，根据题意列出方程，再求解即可。
16．【答案】(3，1)
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
17．【答案】，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴是：，
关于的对称点是：，
则抛物线与x轴的交点是：和，
关于x的一元二次方程的两根为：，
故答案为：，．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线与一元二次方程的关系可得答案。
18．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：为14，
令，
解得，
，，
，
故答案为：9.
【分析】令y=14，求出x的值，可得点A、C的坐标，据此不难求出AC的值.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
则，
即
解得，；
（2）解：∵，
∴，
则或，
解得，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
20．【答案】解：关于x的一元二次方程有一个实根为-2，
∴，解得：；
∴方程为：，
，
解得：，
∴方程的另一个根为：1．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将x=-2代入方程中可求出m的值，据此可得关于x的方程，然后利用因式分解法求解即可.
21．【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意先求出△=32-4×1×(k-2)≥0，再求解即可。
22．【答案】解：将，代入中得，
解得：
∴b=-3，c=-4.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
23．【答案】解：，
，
，
∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
24．【答案】解：二次函数的对称轴为，且它经过点，
，
解得，
二次函数的解析式为，
，
抛物线顶点坐标为（1，-4）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】根据题意列出方程组，求出，可得函数解析式，再利用配方法求出二次函数的顶点式可得抛物线的顶点坐标。
25．【答案】解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴ ，即
解得： ， （舍去），
所以应减少10条生产线.
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】设减少x台生产线，根据减少的条数在总条数的20%以内可得x的范围，由题意可得，求解即可.
26．【答案】（1）解：∵围墙的总长为50米，2间饲养室合计长x米，
∴饲养室的宽＝米，
∴总占地面积为y＝x ＝-x2+x，（0＜x＜50）；
（2）解：当两间饲养室占地总面积达到200平方米时，则-x2+x＝200，
解得：x＝20或30；
∴当面积达到200平方米时，各道墙长分别为20米、10米或30米、米；
当占地面积达到210平方米时，则-x2+x＝210，
方程的Δ＜0，所以此方程无解，
∴占地面积不可能达到210平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用围墙的总长为50米，可表示出饲养室的宽，再根据矩形的面积公式可得到y与x的函数解析式.
（2）利用已知分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值
27．【答案】（1）（-1，3）；（3，1）
（2）解：设直线的解析式为，
则有，
解得：，
直线的解析式为；
直线与轴交于点、与轴交于点，
∵当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；
抛物线的图象经过点、，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：，，，
，，
.
的面积为.
【知识点】旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
