2024河南中考数学复习 圆的实际应用 强化精练
基础题
1. (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是( )
第1题图
A. 寸
B. 25寸
C. 24寸
D. 7寸
2. (2023山西)中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°.若圆曲线的半径OA＝1.5 km，则这段圆曲线的长为( )
第2题图
A. km B. km
C. km D. km
3. (2023吉林省卷)如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15 m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则的长为________m.结果保留π)
第3题图
4. (2023衡阳)如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________个．
第4题图
5. (2023郴州)如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器________台．
第5题图
6. (2023成都)为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳______名观众同时观看演出．(π取3.14，取1.73)
第6题图
拔高题
7. (2023新乡三模)考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图①所示的圆盘边缘上任意找三个点A，B，C.
第7题图
(1)请利用直尺(无刻度)和圆规，在图①中画出圆心O；(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)如图②，数学兴趣小组的同学在(1)的基础上，补全⊙O，连接AC，BC，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过点C作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD.
①求证：AD＝AC；
②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC＝，BC＝4，求⊙O的半径．
8. 我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴．与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构．各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备．可以将房脊抽象成数学问题．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点C，D，连接CD.连接PO，交⊙O于点F，交CD于点E.PO延长交⊙O于点G.
第8题图
(1)若∠CPD＝90°，连接OC，OD，判断四边形CODP的形状，并说明理由；
(2)若PF＝20 cm，EG＝30 cm，求EF的长．
参考答案与解析
1. C 【解析】∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°，∵BD＝25，CD＝7，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC＝＝24寸．
2. B 【解析】∵过点A，B的两条切线相交于点C，∴AO⊥AC，BO⊥BC，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A，O，B，C四点共圆，∴∠AOB＝α＝60°，∴圆曲线的长为＝π(km).
3. 10π 【解析】∵∠AOB＝120°，⊙O半径r为15 m，∴的长＝＝10π(m).
4. 10 【解析】∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：×180°×(5－2)＝108°，∴∠O＝180°－(180°－108°)×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10.
5. 4 【解析】∵∠P＝55°，∴∠P所对的弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3，∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．
6. 184 【解析】如解图，过O作OC⊥AB，C为垂足，∴AC＝BC，OC＝5 m，∵cos ∠AOC＝＝＝，∴∠AOC＝60°，AC＝OC＝5 m，∴∠AOB＝120°，AB＝10 m，∴S阴影部分＝S扇形AOB－S△OAB＝－×10×5＝π－25≈61.4(m2)，∴61.4×3≈184(人).∴最多可容纳184名观众同时观看演出．
第6题解图
7. (1)解：画图如解图①；
第7题解图①
(2)①证明：如解图②，连接AO，并延长交DC于点F
∵AE为⊙O的切线，
∴OA⊥AE，
∵AE∥CD，
∴AF⊥CD，
∴＝，
∴AD＝AC；
第7题解图
②解：如解图③，在解图②的基础上，过点O作OM⊥BC于点M，连接BD，则CM＝BC＝2，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
又∵∠OFC＝∠OMC＝90°，
∴四边形OFCM为矩形，
∴OF＝CM＝2，
设OA＝OD＝x，
∴DF2＝x2－22，
∵DF2＋AF2＝AD2＝AC2，
∴x2－22＋(x＋2)2＝()2，
解得x1＝5，x2＝－7(舍去)，
∴OA＝5，
即⊙O的半径为5.
8. 解：(1)四边形CODP是正方形，理由如下：
∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
∵∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝∠ODP＝∠CPD＝90°，
∴四边形CODP是矩形，
∵OC＝OD，
∴四边形CODP是正方形；
(2)设EF＝x，则GF＝EG＋EF＝30＋x，
∴OG＝OF＝＝，
OE＝OF－EF＝－x＝，
OP＝OF＋PF＝＋20＝，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点C，D，
∴PC＝PD，PO平分∠APB，∠PCO＝90°，
∴PE⊥CD，
∴∠PEC＝90°，
∴△OEC∽△OCP，
∴＝，即：＝，
化简得x2＋50x－600＝0，
解得x＝10或x＝－60(不合题意，舍去)，
故EF＝10 cm.
