第十七章 方差与频数分布
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
理解方差的意义,掌握方差的计算公式 体会刻画数据离散程度的意义,会计算一组简单数据的离差平方和、方差;体会样本与总体的关系,知道可以用样本平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体方差;能解释数据分析的结果,能根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流【P74】
了解频数和频数分布的意义,并能画频数直方图 通过实例,了解频数和频数分布的意义,能画频数直方图,能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息【P74】
一 数据的波动
17.1 方差
基础过关全练
极差、方差
1.【新独家原创】【国防教育】为进一步激发学生的爱国主义精神,学校组织了国防教育知识竞赛活动,下图是10名学生竞赛的成绩,则这10名学生的参赛成绩的极差是 ( )
A.15 B.10
C.5 D.4
2.(2023北京通州期末)方差的统计含义:表示一组数据的每个数( )
A.偏离它的众数的差的平均值
B.偏离它的平均数的差的绝对值的平均值
C.偏离它的中位数的差的平方数的平均值
D.偏离它的平均数的差的平方数的平均值
3.(2023广西中考)甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练,他们成绩的平均数相同,方差如下:=2.1,=3.5,=9,=0.7,则成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
4.(2023北京丰台期末)甲、乙两地5月上旬的日平均气温如图所示,则这两地5月上旬日平均气温的方差较小的是 (填“甲”或“乙”).
5.【跨学科·生物】(2022山西中考)生物学研究表明,植物光合作用速率越高,单位时间内合成的有机物越多.为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率,科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株,在同等实验条件下,测量它们的光合作用速率,结果统计如下:
品种 第一 株 第二 株 第三 株 第四 株 第五 株 平均 数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 (填“甲”或“乙”).
6.北京冬奥会的成功举办掀起了全民“冬奥热”,某校九年级甲班和乙班学生联合举行了“冬奥知识”竞赛.现分别从甲班、乙班各随机抽取10名学生,统计这部分学生的竞赛成绩,相关数据统计整理如下:
【收集数据】
甲班10名同学测试成绩统计如下:85,78,86,79,72,92,78,72,69,89.
乙班10名同学测试成绩统计如下:85,80,76,85,80,74,90,74,75,81.
【整理数据】两组数据各分数段内数据个数如下表:
成绩 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x<100
甲班 1 5 3 1
乙班 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表:
平均数 中位数 众数 方差
甲班 80 a 72和78 54.4
乙班 b 80 80、74和85 c
【问题解决】根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:a= ,b= ,c= ;
(2)请估计哪个班级的竞赛成绩更整齐,并说明理由;
(3)按照比赛规定,80分及以上可以获得冬奥纪念奖品,若甲、乙两班学生共85人,其中甲班学生45人,请估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数.
能力提升全练
7.【新素材】(2022北京平谷二模,7,★☆☆)测试某款纯电动汽车低速工况和高速工况的能耗情况时,为了更接近真实的日常用车环境,低速工况的平均速度在30 km/h左右,包括城市一般道路、环路等路况;高速工况的平均速度在90 km/h左右,路况主要是高速公路,测试结果如图所示.设低速工况时能耗的平均数为,方差为,高速工况时能耗的平均数为,方差为,则下列结论正确的是( )
低速工况能耗测试
高速工况能耗测试
A.>,> B.>,<
C.<,> D.<,<
8.(2023北京北师大二附中西城实验学校模拟,7,★☆☆)某校在评选“交通安全在我心”优秀宣传小队的活动中,分别对甲、乙两队的5名学生进行了交通安全知识考核,其中甲、乙两队学生的考核成绩如图所示,下列关系完全正确的是( )
A.<,= B.>,=
C.=,= D.=,>
9.(2023四川凉山州中考,3,★☆☆)若一组数据x1,x2,x3,…,xn的方差为2,则数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的方差是( )
A.2 B.5
C.6 D.11
10.【教材变式·P123T1】(2023山东东营中考,14,★☆☆)为备战东营市第十二届运动会,某区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试,他们射击测试成绩的平均数(单位:环)及方差s2(单位:环2)如表所示:
甲 乙 丙 丁
9.6 8.9 9.6 9.6
s2 1.4 0.8 2.3 0.8
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择 .
11.【跨学科·生物】(2022广西北部湾经济区中考,22,★★☆)【问题情境】数学活动课上,老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动.
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片,通过测量得到这些树叶的长y(单位:cm),宽x(单位:cm)的数据后,分别计算长宽比,整理数据如下:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
芒果 树叶 的长 宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0
荔枝 树叶 的长 宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9
【实践探究】分析数据如下:
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶 的长宽比 3.74 m 4.0 0.042 4
荔枝树叶 的长宽比 1.91 1.95 n 0.066 9
【问题解决】
(1)表格中:m= ,n= ;
(2)A同学说:“从树叶的长宽比的方差来看,我认为芒果树叶的形状差别大.”
B同学说:“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看,我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍.”
上面两位同学的说法中,合理的是 ;
(3)现有一片长11 cm,宽5.6 cm的树叶,请判断这片树叶可能来自芒果、荔枝中的哪种树,并给出你的理由.
素养探究全练
12.【数据观念】在美国职业篮球联赛(NBA)2018赛季常规赛结束后,某球迷为了比较A、B两名球员的表现,在官网上找到了他们整个常规赛季的数据,如图所示,其中,场均得分和场均助攻的数据可以反映球员的进攻表现,场均盖帽和场均抢断则可以反映球员的防守表现,场均篮板数既可以反映进攻表现,又可以反映防守表现.数值越高,说明球员在该项上表现越好.
(1)在这两名球员整个常规赛季的比赛中,总得分较高的一位是 (填“A”或“B”).
(2)这两名球员中,哪一名在常规赛季的防守表现更好 并说明理由.
(3)两名球员所在的球队都进入了季后赛,该球迷为了进一步比较两人在季后赛前的状态,对两人常规赛季最后10场比赛的数据进行了分析,所得的数据如下:
得分 助攻
平均数 方差 平均数 方差
A球员 29.3 37.05 2.6 1.10
B球员 29.4 116.52 10.2 10.42
请根据上述数据,分别从得分和助攻两个角度分析比较A、B两名球员在季后赛前的表现.
第十七章 方差与频数分布
一 数据的波动
17.1 方差
答案全解全析
基础过关全练
1.A 由题图可知,这10名学生的参赛成绩的最高分为95,最低分为80,因此极差为95-80=15,
故选A.
2.D 方差的统计含义:表示一组数据的每个数偏离它的平均数的差的平方数的平均值.故选D.
3.D ∵=2.1,=3.5,=9,=0.7,
∴丁的方差最小,
∴成绩最稳定的是丁,
故选D.
4. 答案 乙
解析 观察题图可知乙地5月上旬日平均气温比较稳定,波动小,则乙地5月上旬日平均气温的方差较小.
5. 答案 乙
解析 甲的方差为×[(32-25)2+(30-25)2+(25-25)2+(18-25)2+(20-25)2]=29.6,
乙的方差为×[(28-25)2+(25-25)2+(26-25)2+(24-25)2+(22-25)2]=4.
∵29.6>4,
∴两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是乙.
6. 解析 (1)将甲班成绩从低到高排列为69,72,72,78,78,79,85,86,89,92,
处在第5名和第6名的成绩分别为78,79,
∴甲班的中位数a==78.5,
乙班的平均数b==80,
∴乙班的方差c=×[2×(85-80)2+2×(80-80)2+(76-80)2+2×(74-80)2+(90-80)2+(75-80)2+(81-80)2]=26.4.
(2)乙班的竞赛成绩更整齐,理由如下:
∵甲班的方差为54.4,乙班的方差为26.4,26.4<54.4,
∴乙班的竞赛成绩更加整齐.
(3)45×+(85-45)×=42,
∴估计这两个班级可以获得冬奥纪念奖品的总人数为42人.
能力提升全练
7.B =×(18.1+18.3+18.6+19.1+18.9+18.6+18.7+18.8+18.6+18.6)=18.63(kW·h/100 km),
=×(18.8+18.9+18.7+17.2+17.1+17+16.6+16.5+16.4+16.7)=17.39(kW·h/100 km),∴>,由折线的波动情况可知,<,故选B.
8.A 由题意可知,
=×(60+70+70+60+80)=68,
=×(70+80+80+70+90)=78,
∴<,
由折线统计图可得=,故选A.
9.A 设一组数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为,则方差为[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2,
∴数据x1+3,x2+3,x3+3,…,xn+3的平均数为(+3),方差为[(x1+3--3)2+(x2+3--3)2+…+]
=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]=2.故选A.
10. 答案 丁
解析 由表格知,甲、丙、丁测试成绩的平均数较高,
而丁成绩的方差小,成绩更稳定,
所以要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择丁.
11. 解析 (1)把10片芒果树叶的长宽比的数据从小到大排列,排在最中间的两个数分别为3.7和3.8,故m==3.75;10片荔枝树叶的长宽比的数据中出现次数最多的是2.0,故n=2.0.
(2)∵0.042 4<0.066 9,∴从树叶的长宽比的方差来看,芒果树叶的形状差别小,故A同学的说法不合理;∵荔枝树叶的长宽比的平均数是1.91,中位数是1.95,众数是2.0,
∴荔枝树叶的长约为宽的两倍,
∴B同学的说法合理.
(3)∵一片长11 cm,宽5.6 cm的树叶的长宽比接近2,
∴这片树叶更可能来自荔枝树.
素养探究全练
12. 解析 (1)由题图可得A球员的总得分是75×28.1=2 107.5(分),B球员的总得分是82×27.5=2 255(分),因此两名球员整个常规赛季的比赛中,总得分较高的一位是B,故答案为B.
(2)A球员在常规赛季的防守表现更好.防守情况看盖帽、抢断、篮板情况,从题图中看到,A球员场均盖帽2.6大于B球员场均盖帽0.9,A球员场均抢断1.5大于B 球员场均抢断1.4,A球员场均篮板11.1大于B球员场均篮板8.6,综合比较A球员的防守明显好于B球员,因此A球员在常规赛季的防守表现更好.
(3)得分角度,从平均数看,B球员的平均得分略高于A球员的平均得分,但是从方差看,A球员的得分比B球员稳定;
助攻角度,从平均数看,B球员助攻的平均得分远高于A球员,但从方差看,A球员的助攻得分比B球员稳定.因此,综合看,A球员得分和助攻的表现都很稳定,而B球员在季后赛前整体状况优于A球员.
