第十四章 一次函数
14.5 一次函数的图象
基础过关全练
知识点1 一次函数的图象
1.(2023内蒙古通辽中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=2x-3的图象是( )
A B
C D
2.(2023北京海淀清华附中上地学校期中)一次函数y=-4x+2的图象与y轴交点的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,0)
C. D.
3.【易错题】若等腰三角形的周长为12,腰长为x,底边长为y,则y与x的函数关系图象是( )
A B
C D
4.(2023湖北荆州中考)如图,直线y=-x+3分别与x轴,y轴交于点A,B,将△OAB绕着点A顺时针旋转90°得到△CAD,则点B的对应点D的坐标是( )
A.(2,5) B.(3,5)
C.(5,2) D.(,2)
5.【新独家原创】【跨学科·信息科技】在计算机课上,某同学设计了如图所示的计算程序,则y与x之间的函数关系式所对应的图象与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 .
6.(2023北京通州期中)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴分别交于点A,B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象;
(3)已知点P(0,2),连接AP,求△PAB的面积.
知识点2 用待定系数法求一次函数表达式
7.(2023北京海淀师达中学期中)对于一次函数y=kx+b(k,b为常数),表中给出5组自变量及其对应的函数值,其中恰好有一个函数值计算有误,则这个错误的函数值是( )
x -1 0 1 2 3
y 3 2 1 0 -2
A.2 B.1 C.0 D.-2
8.(2022北京十一中期中)如图,在平面直角坐标系中,直线l所表示的一次函数的解析式是( )
A.y=3x+3 B.y=3x-3
C.y=-3x+3 D.y=-3x-3
9.【一题多解】(2023江苏苏州中考)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2= .
10.【教材变式·P23例2】(2023北京顺义期末)下表是一次函数y=kx+b(k≠0)中x与y的两组对应值.
x 0 2
y -4 2
(1)求该一次函数的表达式;
(2)求该一次函数的图象与x轴的交点坐标.
11.(2023北京海淀期末)如图,已知一次函数的图象经过点A(2,4),B(-1,1).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)若正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点,直接写出m的取值范围.
12.(2022湖南益阳中考)如图,直线y=x+1与x轴交于点A,点A关于y轴的对称点为A',经过点A'和y轴上的点B(0,2)的直线设为y=kx+b.
(1)求点A'的坐标;
(2)确定直线A'B对应的函数表达式.
13.【分类讨论思想】正比例函数的图象与一次函数的图象交于点(3,4),两个图象与y轴围成的三角形的面积为,求这两个函数的解析式.
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14.(2023北京丰台期末,3,★☆☆)下列各点中,在直线y=2x-1上的是( )
A.(-2,-3) B.(-1,-1)
C.(0,1) D.(1,1)
15.【一题多解】(2021浙江杭州中考,15,★★☆)如图,在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3.分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值等于 .
16.(2023四川南充中考,8,★★☆)如图,直线y=kx-2k+3(k为常数,k<0)与x轴,y轴分别交于点A,B,则+的值是 .
17.(2023北京通州期中,16,★★☆)如图,点A,B,C在一次函数y=-2x+m的图象上,它们的横坐标依次为-1,0.5,1.5.分别过这些点作x轴、y轴的垂线,则图中阴影部分的面积是 .
18.(2023北京中考,22,★☆☆)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和B(1,2),与过点(0,4)且平行于x轴的直线交于点C.
(1)求该函数的解析式及点C的坐标;
(2)当x<3时,对于x的每一个值,函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且小于4,直接写出n的值.
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19.【抽象能力】在平面直角坐标系xOy中,对于M,N两点,若在y轴上存在点T,使得∠MTN=90°,且MT=NT,则称M,N两点互相等垂,其中一个点叫做另一个点的等垂点.已知A点的坐标是(2,0).
(1)如图①,在点B(2,-2),C(0,1),D(-2,0)中,点A的等垂点是点 (填“B”“C”或“D”);
(2)如图②,若一次函数y=2x-1的图象上存在点A的等垂点A',求点A'的坐标;
(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上存在无数个点A的等垂点,直接写出该一次函数的所有表达式: .
第十四章 一次函数
14.5 一次函数的图象
答案全解全析
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1.D 一次函数y=2x-3的图象过点(0,-3)和,故选D.
2.A 当x=0时,y=-4x+2=2,∴一次函数y=-4x+2的图象与y轴交点的坐标是(0,2),故选A.
3.B 根据题意得y+2x=12,即y=-2x+12,
∵y>0且2x>y,∴-2x+12>0且2x>-2x+12,∴3
∵△OAB绕点A顺时针旋转90°后得到△CAD,
∴∠OAC=90°,∠ACD=∠AOB=90°,AC=AO=2,CD=OB=3,即AC⊥x轴,CD∥x轴,∴点D的坐标为(5,2).故选C.
5. 答案 (2.5,0);(0,5)
解析 根据题图可得y=-2x+5,y=-2x+5的图象与x轴的交点坐标为(2.5,0),与y轴的交点坐标为(0,5).
6. 解析 (1)当y=0时,2x-4=0,
解得x=2,∴点A的坐标为(2,0).
当x=0时,y=2×0-4=-4,∴点B的坐标为(0,-4).
(2)描点、连线,画出函数图象,如图所示.
(3)∵A(2,0),B(0,-4),P(0,2),∴OA=2,PB=2-(-4)=6,
∴S△PAB=PB·OA=×6×2=6,∴△PAB的面积为6.
7.D 将(-1,3),(0,2)代入y=kx+b,得解得∴一次函数的解析式为y=-x+2.
当x=1时,y=-1+2=1;当x=2时,y=-2+2=0;当x=3时,y=-3+2=-1≠-2.
故选D.
8.A 设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),把点(-1,0),(0,3)代入y=kx+b,得解得
∴直线l所表示的一次函数的解析式为y=3x+3.故选A.
9. 答案 -6
解析 解法一:[直接法]将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b得解得
∴k2-b2=-=-6.
解法二:[因式分解法]将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b得
∴k2-b2=(k+b)(k-b)=-(k+b)(-k+b)=-3×2=-6.
10. 解析 (1)把(0,-4)和(2,2)分别代入解析式,得
∴
∴一次函数的表达式为y=3x-4.
(2)令y=0,则3x-4=0,∴x=,
∴该一次函数的图象与x轴的交点坐标为.
11. 解析 (1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(2,4),B(-1,1)代入得
解得
∴这个一次函数的解析式为y=x+2.
(2)m≥2或m≤-1.
[详解]如图,当直线y=mx经过点A(2,4)时,2m=4,解得m=2.当直线y=mx经过点B(-1,1)时,-m=1,
解得m=-1.∴当正比例函数y=mx(m≠0)的图象与线段AB有公共点时,m≥2或m≤-1.
12. 解析 (1)在y=x+1中,令y=0,则x+1=0,∴x=-2,∴A(-2,0).∵点A关于y轴的对称点为A',∴A'(2,0).
(2)∵直线A'B对应的函数表达式为y=kx+b,
∴解得
∴直线A'B对应的函数表达式为y=-x+2.
13. 解析 设正比例函数的解析式为y=k1x(k1≠0),一次函数的解析式为y=k2x+b(k2≠0),两个图象的交点为A.∵A(3,4)在直线y=k1x上,∴3k1=4,∴k1=,∴正比例函数的解析式为y=x.
设直线y=k2x+b与y轴交于点B,则S△AOB=,B(0,b),OB=|b|.过点A作AC⊥y轴于点C,图略,则AC=3.
∴S△AOB=OB·AC=|b|,则|b|=.
∴|b|=5,∴b=±5.
把A(3,4)代入y=k2x+5,得k2=-;
把A(3,4)代入y=k2x-5,得k2=3.
∴一次函数的解析式为y=-x+5或y=3x-5.
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14.D 分别把四个选项代入验证可知,只有(1,1)成立,故选D.
15. 答案 5
解析 解法一:[求解析式法]设直线AB的解析式为y1=k1x+b1,
将点A(0,2),B(2,3)代入得,
解得∴k1+b1=.
设直线AC的解析式为y2=k2x+b2,
将点A(0,2),C(3,1)代入得,
解得∴k2+b2=.
设直线BC的解析式为y3=k3x+b3,
将点B(2,3),C(3,1)代入得,
解得∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的值为5.
解法二:[图象法]如图,作直线AB、AC、BC,作直线x=1,
设直线AB的解析式为y1=k1x+b1,直线AC的解析式为y2=k2x+b2,直线BC的解析式为y3=k3x+b3,由图象可知,直线x=1与直线BC的交点最高,即当x=1时,k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的为k3+b3.将点B(2,3),C(3,1)代入得,
解得
∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+b2,k3+b3中最大的值为5.
16. 答案 1
解析 在直线y=kx-2k+3中,当x=0时,y=-2k+3,当y=0时,x=,∴点A的坐标为,点B的坐标为(0,-2k+3),∵k<0,∴OA=,OB=-2k+3,
∴+=+=-==1.
17. 答案 2
解析 如图所示,将A、B、C三点的横坐标代入一次函数y=-2x+m,得A(-1,m+2),B(0.5,m-1),C(1.5,m-3),
∵直线y=-2x+m交y轴于F,
∴F(0,m),∴EF=m+2-m=2.
∵BQ=m-1-(m-3)=2,QC=1.5-0.5=1,AE=0-(-1)=1,
∴阴影部分的面积=×1×2+×2×1=2.
18. 解析 (1)把点A(0,1),B(1,2)代入y=kx+b(k≠0),得解得k=1,b=1,
∴该函数的解析式为y=x+1.
由题意知点C的纵坐标为4,
当y=x+1=4时,
解得x=3,∴C(3,4).
(2)n=2.[详解]由(1)知,当x=3时,y=x+1=4,
因为当x<3时,函数y=x+n的值大于函数y=x+1的值且小于4,
所以当直线y=x+n过点(3,4)时满足题意,
代入(3,4)得4=×3+n,解得n=2.
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图1
19. 解析 (1)取点T(0,2),连接DT,AT,如图1.
∵D(-2,0),A(2,0),T(0,2),∴OT=OD=OA=2,
∴△ADT是等腰直角三角形,∴在点B(2,-2),C(0,1),D(-2,0)中,点A的等垂点是点D.
(2)①当点A'在x轴上方时,在y轴上存在点E,使得∠A'EA=90°,A'E=AE,过A'作A'F⊥y轴于F,如图2.
∵点A'是点A的等垂点,∴∠A'EA=90°,A'E=AE,
∴∠A'EF=90°-∠AEO=∠EAO,∵∠A'FE=∠EOA=90°,∴△A'FE≌△EOA,∴EF=AO=2,A'F=OE,设OE=A'F=m,则OF=OE+EF=m+2,∴A'(m,m+2),将A'(m,m+2)代入y=2x-1得,m+2=2m-1,解得m=3,∴A'(3,5).
②当A'在x轴下方时,在y轴上存在点G,使得∠A'GA=90°,A'G=AG,过A'作A'H⊥y轴于H,如图3.
同①可证△AOG≌△GHA',∴A'H=OG,GH=OA=2,
设A'H=OG=n,则OH=GH-OG=2-n,
∴A'(-n,n-2),将A'(-n,n-2)代入y=2x-1得,n-2=-2n-1,解得n=,∴A'.
综上所述,点A'的坐标为(3,5)或.
(3)满足条件的直线为y=x+2或y=-x-2.
