第十六章 一元二次方程
16.2 一元二次方程的解法
第3课时 因式分解法、一元二次方程根与系数的关系
基础过关全练
知识点5 因式分解法
24.(2023北京顺义期末)方程(x+2)(x+1)=0的解为( )
A.x1=0,x2=2
B.x1=0,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2
D.x1=x2=-1
25.(2023北京平谷期末)一元二次方程x2-2x=0的解是 ( )
A.0 B.0或-2
C.-2 D.0或2
26.【新独家原创】解下列方程:①3x2-27=0;②x2-3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是( )
A.①用开平方法,②用配方法,③用公式法,④用因式分解法
B.①用因式分解法,②用公式法,③用配方法,④用开平方法
C.①用开平方法,②③用公式法,④用因式分解法
D.①用开平方法,②用公式法,③④用因式分解法
27.王刚同学在解关于x的方程x2-3x+c=0时,误将-3x看成+3x,结果解得x1=1,x2=-4,则原方程的解为( )
A.x1=-1,x2=-4 B.x1=1,x2=4
C.x1=-1,x2=4 D.x1=2,x2=3
28.【易错题】【分类讨论思想】(2023北京海淀清华附中期末)若某等腰三角形的底边长和腰长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根,则这个等腰三角形的周长是 .
29.(2023浙江杭州上城二模)以下是圆圆解方程(x-3)2=2(x-3)的具体过程:方程两边同除以(x-3),得x-3=2,移项,得x=5.试问圆圆的解答过程是否正确 如果不正确,请写出正确的解答过程.
30.用因式分解法解方程.
(1)(2023北京延庆期末)x2-2x-3=0;
(2)(2023北京平谷期末)x2-4x-5=0;
(3)(2023北京海淀清华附中期末)(x-4)2+x(x-4)=0;
(4)(2023北京海淀清华附中期末)2x2-3x+1=0.
知识点6 一元二次方程根与系数的关系
31.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 ( )
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
32.【一题多解】若α,β是一元二次方程x2-x-2 024=0的两个实数根,则α2-3α-2β+3的值为 ( )
A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026
33.(2023辽宁营口中考)若关于x的方程x2+mx-12=0的一个根是3,则此方程的另一个根是 .
34.【一题多变:已知方程,直接运用根与系数的关系】(2023湖北随州中考)已知关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,则x1+x2-x1x2的值为 .
[变式·变结论为条件,且条件开放]已知关于x的一元二次方程的两个根分别是x1、x2,其中x1+x2=3,x1·x2<0,写出一个满足此条件的方程: .
35.(2023北京顺义期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx-3=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求b的值及方程的另一个根.
36.(2023四川南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有实数根;
(2)若x1,x2是方程的两个实数根,且+=-,求m的值.
能力提升全练
37.(2023北京通州期末,3,★☆☆)用配方法解方程x2-4x-3=0,配方后的方程是( )
A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=7
C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=1
38.(2023北京顺义期末,4,★☆☆)方程(x+2)(x+1)=x+2的解为 ( )
A.x1=0,x2=2 B.x1=0,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2 D.x1=x2=-1
39.【北京常考·根的判别式】(2023北京中考,5,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为 ( )
A.-9 B.- C. D.9
40.【新考向·新定义型试题】(2023四川内江中考,11,★☆☆)对于实数a,b定义运算“ ”为a b=b2-ab,例如:3 2=22-3×2=-2,则关于x的方程(k-3) x=k-1的根的情况,下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
41.(2023北京三十五中期中,8,★☆☆)已知一个三角形的两边长分别为1和2,第三边的长度x满足方程x2-3x+2=0,则它的周长是 ( )
A.4 B.5 C.4或5 D.6
42.(2023四川泸州中考,10,★☆☆)若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为 ( )
A. B.2 C. D.2
43.(2021北京四十三中期中,10,★★☆)等腰三角形的一边长是4,另两边的长为方程x2-6x+m+1=0的两个根,则m的值为 ( )
A.7 B.8 C.4 D.7或8
44.(2023山东泰安中考,13,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2-4x-a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 .
45.(2023湖南怀化中考,13,★☆☆)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为 ,另一个根为 .
46.(2023湖北鄂州中考,13,★★☆)若实数a、b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= .
47.【换元法】(2023北京海淀清华附中期末附加题,26,★★★)在平面直角坐标系中,已知点P(m,n),m,n满足(m2+n2+1)(m2+n2+3)=15,则OP的长为 .
48.(2022贵州贵阳中考,17(2),★☆☆)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,它们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0; ②x2-3x=0;
③x2-4x=4; ④x2-4=0.
49.(2022黑龙江齐齐哈尔中考,19,★☆☆)用恰当的方法解方程.
(1)x2-3x+2=0; (2)(2x+3)2=(3x+2)2.
50.(2022北京门头沟期末,19,★☆☆)阅读材料,并回答问题:
王林在学习一元二次方程时,解方程x2+4x-2=0的过程如下:
解:x2+4x-2=0,
∴x2+4x=2①,
∴x2+4x+4=2②,
∴(x+2)2=2③,
∴x+2=±④,
∴x+2=或x+2=-⑤,
∴x1=-2,x2=--2⑥.
(1)王林解方程的方法是 ;
A.开平方法 B.配方法
C.公式法 D.因式分解法
(2)上述解答过程中,从第 步开始出现了错误(填序号),错误的原因是 ;
(3)在下面的空白处,写出正确的解答过程.
51.(2019北京中考,19,★☆☆)关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
52.(2023湖北荆州中考,18,★☆☆)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)当k=1时,用配方法解方程.
53.(2023北京北师大附中月考,19,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若m<0,且此方程的两个实数根的差为3,求m的值.
54.【新考向·新定义型试题】(2023四川遂宁中考,20,★★☆)我们规定:对于任意实数a、b、c、d,有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13.
(1)求[-4,3]*[2,-6]的值;
(2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围.
素养探究全练
55.【换元法】【运算能力】(2023青海一模)提出问题:
为解方程(x2-2)2-11(x2-2)+18=0,我们可以将x2-2视为一个整体,然后可设x2-2=y,则(x2-2)2=y2,于是原方程可化为y2-11y+18=0,解此方程,得y1=2,y2=9.
当y=2时,x2-2=2,x2=4,∴x=±2;
当y=9时,x2-2=9,x2=11,∴x=±.
∴原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=-,x4=.
以上方法就是换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
解决问题:
(1)运用上述换元法解方程x4-3x2-4=0.
延伸拓展:
(2)已知实数m,n满足(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,求4m+12n-3的值.
56.【运算能力】(2023内蒙古通辽中考)阅读材料:
材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c,有如下关系:x1+x2=-,x1x2=.
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,
∴m+n=1,mn=-1,
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= ;
(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0 的两个实数根为m,n,求m2+n2的值;
(3)提升:已知实数s,t分别满足方程2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s≠t,求-的值.
第十六章 一元二次方程
第3课时 因式分解法、一元二次方程根与系数的关系
答案全解全析
基础过关全练
24.C (x+2)(x+1)=0,即x+2=0或x+1=0,
解得x1=-1,x2=-2.故选C.
25.D ∵x2-2x=0,∴x(x-2)=0,则x=0或x-2=0,解得x1=0,x2=2,故选D.
26.D 观察方程的形式可知,
①3x2-27=0适合用开平方法;
②x2-3x-1=0适合用公式法;
③(x+2)(x+4)=x+2适合用因式分解法;
④2(3x-1)2=3x-1适合用因式分解法.故选D.
27.C 把x1=1代入方程x2+3x+c=0得c=-4,
则原方程为x2-3x-4=0,
整理,得(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4.故选C.
28. 答案 10
解析 本题的易错点在于求周长时没有考虑构成三角形的条件.方程整理得(x-2)(x-4)=0,可得x-2=0或x-4=0,解得x=2或x=4.
若2为腰长,则三角形的三边长为2,2,4,不能构成三角形,舍去;若2为底边长,则三角形的三边长为2,4,4,此时周长为2+4+4=10.
29. 解析 圆圆的解答过程不正确,因为(x-3)有可能等于0.
正确的解答过程如下:
移项得(x-3)2-2(x-3)=0,∴(x-3)(x-3-2)=0,
∴x-3=0或x-5=0,∴x1=3,x2=5.
30. 解析 (1)x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0,
x-3=0或x+1=0,
解得x1=3,x2=-1.
(2)由题意得,(x-5)(x+1)=0,
∴x-5=0或x+1=0,∴x1=5,x2=-1.
(3)∵(x-4)2+x(x-4)=0,∴(x-4)(2x-4)=0,
∴x-4=0或2x-4=0,
解得x1=4,x2=2.
(4)∵2x2-3x+1=0,∴(x-1)(2x-1)=0,
则x-1=0或2x-1=0,解得x1=1,x2=.
31.A ∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,
∴x1+x2=6,x1x2=-7,故选A.
32.C 解法一:∵α,β是一元二次方程x2-x-2 024=0的两个实数根,
∴α+β=1,α2-α=2 024,
则原式=α2-α-2(α+β)+3=2 024-2+3=2 025,
故选C.
解法二:[降次法]∵α,β是一元二次方程x2-x-2 024=0的两个实数根,
∴α+β=1,α2=2 024+α,
∴α2-3α-2β+3=2 024+α-3α-2β+3
=2 024-2(α+β)+3=2 024-2+3=2 025,故选C.
33. 答案 -4
解析 设一元二次方程的另一个根为x=a,
根据一元二次方程根与系数的关系得3a=-12,解得a=-4.
34. 答案 2
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为x1和x2,
∴x1+x2=-=3,x1x2==1,
∴x1+x2-x1x2=3-1=2.
[变式] 答案 x2-3x-4=0(答案不唯一)
解析 ∵x1+x2=3,x1·x2<0,
∴两根可以为x1=4,x2=-1,
∴x1·x2=-4,∴满足条件的方程可以为x2-3x-4=0(答案不唯一).
35. 解析 (1)证明:∵Δ=b2-4ac=b2-4×1×(-3)=b2+12>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为m,
由根与系数的关系得1×m=-3,
解得m=-3,
∴方程的另一个根为-3.
∵x1+x2=-=-b,∴-b=1+(-3),∴b=2.
36. 解析 (1)证明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+12m2-4m
=16m2-8m+1
=(4m-1)2≥0,
∴无论m为何值,方程总有实数根.
(2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,
∵+==-2=-,
∴-2=-,整理得5m2-7m+2=0,
解得m=1或m=.
能力提升全练
37.A 方程x2-4x-3=0,移项得x2-4x=3,
配方得x2-4x+4=7,即(x-2)2=7,故选A.
38.B (x+2)(x+1)=x+2,
整理,得x2+2x=0,∴x(x+2)=0,
∴x=0或x+2=0,∴x1=0,x2=-2.故选B.
39.C ∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4m=0,解得m=.故选C.
40.A ∵(k-3) x=k-1,∴x2-(k-3)x=k-1,
∴x2-(k-3)x-k+1=0,
∴Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,
∴关于x的方程(k-3) x=k-1有两个不相等的实数根.故选A.
41.B ∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,解得x1=2,x2=1,当x=1时,1+1=2,不能构成三角形,
当x=2时,三角形的边长分别为1,2,2,此时三角形的周长为1+2+2=5.故选B.
42.C 设菱形的两条对角线长分别为a、b,
由题意,得∴菱形的边长===
===.故选C.
43.D ∵一个等腰三角形的一边长为4,另两边的长是方程x2-6x+m+1=0的两个根,∴分情况讨论如下:
①当腰长为4时,把x=4代入原方程得16-24+m+1=0,∴m=7,∴原方程为x2-6x+8=0,设方程的另一个根为x=a,则4+a=6,∴a=2,能构成三角形;
②当底边长为4时,关于x的方程x2-6x+m+1=0的两个根是相等的,此时Δ=(-6)2-4(m+1)=0,∴m=8,∴原方程为x2-6x+9=0,∴方程的两个根为x1=x2=3,能构成三角形.综上,m的值是7或8.故选D.
44. 答案 a>-4
解析 根据题意得Δ=(-4)2-4×1×(-a)>0,
解得a>-4.
45. 答案 -1;2
解析 将x=-1代入原方程可得1-m-2=0,
解得m=-1,∵方程的两根之积为-2,
∴方程的另一个根为-2÷(-1)=2.
46. 答案
解析 ∵a、b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,
∴可以把a、b看成一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根,∴a+b=3,ab=2,∴+==.
47. 答案
解析 设t=m2+n2,则由原方程,得(t+1)(t+3)=15,整理,得t2+4t-12=0,即(t+6)(t-2)=0,解得t=-6(舍去)或t=2.∵P(m,n),∴OP2=m2+n2=2,∴OP=(负值不合题意,舍去).
方法解读 换元法解方程的基本步骤:
1.设新元:根据方程的特点引进适当的辅助元作为新元;
2.换元:用新元去代替原问题中代数式或旧元;
3.求解新元;
4.将解出的新元代回所设的换元式,求解原问题的未知元.
48. 解析 任选两个方程即可.
①x2+2x-1=0,Δ=22-4×1×(-1)=4+4=8,
∴x= = =-1±.
∴x1=-1+,x2=-1-.
②x2-3x=0,x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3.
③x2-4x=4,两边都加上4,得x2-4x+4=8,
∴(x-2)2=8.∴x-2=±2.
∴x1=2+2,x2=2-2.
④x2-4=0,(x+2)(x-2)=0.∴x1=-2,x2=2.
49. 解析 (1)∵x2-3x+2=0,
∴(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,
∴x1=1,x2=2.
(2)(2x+3)2=(3x+2)2,
开方得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2,
解得x1=1,x2=-1.
50. 解析 (1)王林解方程的方法为配方法,故选B.
(2)从第②步开始出现了错误,错误的原因是方程右边没有加上4.
(3)x2+4x-2=0,∴x2+4x=2,∴x2+4x+4=6,∴(x+2)2=6,∴x+2=±,∴x+2=或x+2=-,
∴x1=-2,x2=--2.
51. 解析 ∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(2m-1)≥0,解得m≤1,
∵m为正整数,∴m=1,
∴方程为x2-2x+1=0,
∴(x-1)2=0,解得x1=x2=1.
52. 解析 (1)∵关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=(2k+4)2-4k(k-6)>0,且k≠0,
解得k>-且k≠0.
(2)当k=1时,
原方程为x2-(2×1+4)x+1-6=0,
即x2-6x-5=0,移项得x2-6x=5,
配方得x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,
开平方得x-3=±,
解得x1=3+,x2=3-.
53. 解析 (1)证明:∵一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0,∴Δ=(2-m)2-4(1-m)=m2-4m+4-4+4m=m2.
∵m2≥0,∴Δ≥0.
∴该方程总有两个实数根.
(2)∵一元二次方程x2+(2-m)x+1-m=0,
∴x==,
解得x1=-1,x2=m-1.
∵m<0,∴m-1<-1.
∵该方程的两个实数根的差为3,
∴-1-(m-1)=3.∴m=-3.
54. 解析 (1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意得x(mx+1)-m(2x-1)=0,
整理得mx2+(1-2m)x+m=0,
∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,
∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0,
解得m≤且m≠0.
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55. 解析 (1)设x2=y,
则原方程可化为y2-3y-4=0,
解得y1=4,y2=-1,
当y=4时,x2=4,∴x=±2;
当y=-1时,x2=-1,此方程无解.
∴原方程的解为x1=2,x2=-2.
(2)∵(m+3n)(m+3n-2)=2m+6n-4,
∴(m+3n)(m+3n-2)=2(m+3n)-4,
设m+3n=t,则t(t-2)=2t-4,
整理得t2-4t+4=0,∴(t-2)2=0,
解得t1=t2=2,∴m+3n=2,∴4m+12n-3=4(m+3n)-3=4×2-3=5.
56. 解析 (1)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,
∴x1+x2=-,x1x2=-.
故答案为-;-.
(2)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,
∴m+n=-,mn=-,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=+1=.
(3)∵实数s,t分别满足方程2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s≠t,
∴s,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根,
∴s+t=-,st=-,
∵(t-s)2=(t+s)2-4st=-4×=,
∴t-s=±,
∴-===±.第十六章 一元二次方程
第2课时 公式法、一元二次方程根的判别式
基础过关全练
知识点3 公式法
11.用求根公式解一元二次方程5x2-1=4x时,a,b,c的值是 ( )
A.a=5,b=-1,c=-4 B.a=5,b=-4,c=1
C.a=5,b=-4,c=-1 D.a=5,b=4,c=1
12.一元二次方程3x2-11x-1=0 的两个实数根为a、b,且a>b,则a的值为( )
A. B.
C. D.
13.用公式法解方程3x2-2x-1=0时,正确代入求根公式的是( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
14.【新独家原创】用公式法解关于x的一元二次方程,得x=,则该一元二次方程是 .
15.【教材变式·P100T1】用公式法解下列方程:
(1)x2-7x=18;(2)x2-3x+=0.
知识点4 一元二次方程根的判别式
16.(2023河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
17.【北京常考·根的判别式】(2022北京中考)若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为( )
A.-4 B.- C. D.4
18.【一题多变:已知方程根的情况,求参数的取值范围】(2023北京西城一模)若关于x的方程mx2+3x-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 ( )
A.m>- B.m≥-
C.m>-且m≠0 D.m≥-且m≠0
[变式1·改变参数的位置]若关于x的方程x2+3x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
[变式2·不明确解的个数]若关于x的方程mx2+3x-1=0有实数根,则实数m的取值范围是 .
19.【新考向·开放型试题】(2022江苏扬州中考)请填写一个常数,使得关于x的方程x2-2x+ =0有两个不相等的实数根.
20.【新独家原创】已知点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2+bx+c=0的实数根的情况是 .
21.(2023浙江杭州中考)设一元二次方程为x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
22.(2023北京通州期末)已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+k=0.
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若该方程有一个根小于0,求k的取值范围.
23.(2023北京北师大附中月考)已知关于x的一元二次方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足要求的最小正整数时,求方程的解.
第十六章 一元二次方程
第2课时 公式法、一元二次方程根的判别式
答案全解全析
基础过关全练
11.C 方程化为一般形式得5x2-4x-1=0,
则a=5,b=-4,c=-1,故选C.
12.D 方程为3x2-11x-1=0,∴(-11)2-4×3×(-1)=133>0,∴x==,
∵一元二次方程3x2-11x-1=0 的两个实数根为a、b,且a>b,∴a的值为.故选D.
13.D ∵3x2-2x-1=0,∴a=3,b=-2,c=-1,
∴x==.故选D.
14. 答案 3x2+7x+1=0
解析 设该一元二次方程为ax2+bx+c=0,根据求根公式x=与该一元二次方程的解x=,可得a=3,b=7,c=1,从而得到一元二次方程为3x2+7x+1=0.
15. 解析 (1)整理,得x2-7x-18=0,∵a=1,b=-7,c=-18,
∴b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0,
∴x==,∴x1=9,x2=-2.
(2)∵a=,b=-3,c=,
∴b2-4ac=(-3)2-4××=9-8=1>0,
∴x=,∴x1==,x2==.
16.A ∵Δ=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
17.C 根据题意得Δ=12-4m=0,解得m=.故选C.
18.C ∵关于x的方程mx2+3x-1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=32-4m·(-1)>0且m≠0,
解得m>-且m≠0.故选C.
[变式1] 答案 m>-
解析 ∵关于x的方程x2+3x-m=0有两个不相等的实数根,∴Δ=32-4×1×(-m)>0,解得m>-.
[变式2] 答案 m≥-
解析 ∵关于x的方程mx2+3x-1=0有实数根,
∴可分为两种情况:
①当方程为一元一次方程时,m=0,此时方程为3x-1=0,解得x=,满足题意;②当方程为一元二次方程时,m≠0,∵方程有实数根,∴Δ=9-4m·(-1)≥0,∴m≥-,∴m≥-且m≠0.
综上,m的取值范围是m≥-.
19. 答案 0(答案不唯一)
解析 设这个常数为c,∵Δ=(-2)2-4×1·c>0,∴c<1.故可以填0(答案不唯一).
20. 答案 有两个不相等的实数根
解析 ∵点P(a,c)在第二象限,∴a<0,c>0,∴ac<0,∴方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
21. 解析 ∵使这个方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4c>0,即b2>4c,
∴②③均可.选②,则这个方程为x2+3x+1=0,
∴x=,∴x1=,x2=;
选③,则这个方程为x2+3x-1=0,
∴x1=,x2=.
22. 解析 (1)证明:∵Δ=[-(k+1)]2-4×1×k=k2-2k+1=(k-1)2≥0,
∴方程总有两个实数根.
(2)∵x2-(k+1)x+k=0,∴x==,∴x1=1,x2=k.
∵方程有一个根小于0,∴k<0.
23. 解析 (1)∵一元二次方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-(2m-1)]2-4m(m-4)=12m+1>0,且m-4≠0,
∴m>-且m≠4.
(2)由(1)知,满足条件的m的最小正整数为1,
此时方程为-3x2-x+1=0,
解得x1=,x2=.第十六章 一元二次方程
16.2 一元二次方程的解法
第1课时 开平方法、配方法
基础过关全练
知识点1 开平方法
1.(2023浙江温州永嘉月考)若关于x的方程(x-a)2-4=b有实数根,则b的取值范围是 ( )
A.b>4 B.b>-4 C.b≥4 D.b≥-4
2.(2023上海浦东新区期末)方程2x2-2=0的解是 ( )
A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=±1
3.(2021北京北师大实验中学期中)已知三角形的两边长是4和6,第三边的长是方程(x-3)2=4的一个根,则此三角形的周长为 ( )
A.17 B.11 C.15 D.11或15
4.(2023北京顺义期末)方程(x-1)2=3的解为 .
5.用开平方法解方程.
(1)x2=64; (2)9x2-25=0;
(3)(x+6)2-9=0; (4)(x-2)2=(3x+4)2.
6.【新考法】给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'=nxn-1.例如:若函数y1=x4,则有y'1=4x3.若函数y2=x3,求方程y'2=12的解.
知识点2 配方法
7.(2023内蒙古赤峰中考)用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
8.(2023北京东城一模)用配方法解一元二次方程x2+6x+3=0时,将它化为(x+m)2=n的形式,则m-n的值为 ( )
A.-6 B.-3 C.0 D.2
9.在下列空白处填上适当的数或式子,使等式成立.
(1)x2+6x+( )=(x )2;
(2)y2-y+( )=(y )2;
(3)x2+2mx+( )=(x )2.
10.用配方法解下列方程.
(1)(2023北京通州期末)x2-4x-2=0;
(2)2x2-4x-3=0; (3)x(x-4)=2-8x.
第十六章 一元二次方程
16.2 一元二次方程的解法
第1课时 开平方法、配方法
答案全解全析
基础过关全练
1.D ∵(x-a)2-4=b,∴(x-a)2=b+4,
∵方程(x-a)2=b+4有实数根,∴b+4≥0,
∴b≥-4,故选D.
2.D 2x2-2=0,2x2=2,x2=1,解得x=±1.故选D.
3.C (x-3)2=4,x-3=±2,∴x1=5,x2=1.
若x=5,则三角形的三边长分别为4,5,6,其周长为4+5+6=15;若x=1,则有1+4<6,故第三边长不可能为1.故此三角形的周长是15.故选C.
4. 答案 x1=+1,x2=1-
解析 (x-1)2=3,开平方,得x-1=±,
所以x1=+1,x2=1-.
5. 解析 (1)∵x2=64,∴x=±8,
∴x1=8,x2=-8.
(2)移项得9x2=25,系数化为1,得x2=,
∴x=±,∴x1=,x2=-.
(3)原方程可化为(x+6)2=9,
开平方,得x+6=±3,∴x1=-3,x2=-9.
(4)开平方,得x-2=±(3x+4),x-2=3x+4或x-2=-(3x+4),整理得-2x=6或x-2=-3x-4,∴x=-3或x=-,∴原方程的解为x1=-3,x2=-.
6. 解析 由题意可知y2'=3x2,∵y2'=12,∴3x2=12.
∴x2=4.∴x1=2,x2=-2.
7.C ∵x2-4x-1=0,∴x2-4x=1,
∴x2-4x+4=1+4,∴(x-2)2=5.故选C.
8.B x2+6x+3=0,x2+6x=-3,x2+6x+9=6,(x+3)2=6,所以m=3,n=6,所以m-n=3-6=-3.故选B.
9. 答案 (1)9;+3 (2);- (3)m2;+m
解析 (1)x2+6x+9=(x+3)2.
(2)y2-y+=.
(3)x2+2mx+m2=(x+m)2.
10. 解析 (1)x2-4x-2=0,移项得x2-4x=2,配方得x2-4x+4=2+4,即(x-2)2=6,开方得x-2=±,∴原方程的解是x1=2+,x2=2-.
(2)2x2-4x-3=0,移项得2x2-4x=3,即x2-2x=,
配方得x2-2x+1=+1,即(x-1)2=,
开方得x-1=±,∴x=1±,
∴x1=,x2=.
(3)x(x-4)=2-8x,整理得x2+4x=2,
配方得x2+4x+4=2+4,即(x+2)2=6,
开方得x+2=±,∴x1=-2+,x2=-2-.
