第十五章 四边形
15.3 平行四边形的性质与判定
第1课时 平行四边形的性质
知识点1 平行四边形的性质
1.(2023四川成都中考)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
2.(2023北京东城期末)在平行四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是 ( )
A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1
C.1∶2∶1∶2 D.1∶1∶2∶2
3.【角平分线+平行线】(2023北京西城鲁迅中学期中)如图,在 ABCD中,CE平分∠DCB,AE=2,DC=6,则 ABCD的周长是 ( )
A.14 B.20 C.24 D.28
4.【教材变式·P55例2】(2023北京昌平期中)平行四边形ABCD的周长是20,AC与BD交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长大4,则AB的长为 ( )
A.3 B.7 C.8 D.12
5.【新独家原创】如图,在 ABCD中,AB=3,点E在BD上,DE=CE.如果∠A=70°,∠ECB=30°,那么BD= .
6.【教材变式·P54例1】(2023四川南充中考)如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF;(2)BE∥DF.
知识点2 两条平行线间的距离
7.(2023北京北师大三帆中学朝阳学校月考)如图,已知l1∥l2,那么下列式子中不正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=S△BOC
8.【分类讨论思想】(2022贵州铜仁中考)设AB,CD,EF是同一平面内三条互相平行的直线,已知AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,则AB与EF间的距离等于 .
9.【易错题】(2022福建龙岩月考)如图,已知AB∥CD,O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=1.5,则直线AB、CD间的距离等于 .
第十五章 四边形
15.3 平行四边形的性质与判定
第1课时 平行四边形的性质
答案全解全析
基础过关全练
1.B 平行四边形的对角线互相平分,但不一定相等或垂直,故A、C错误,B正确;平行四边形的对角相等,但邻角不一定相等,故D错误,故选B.
2.C 如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,∠B=∠D,故选C.
3.D 在 ABCD中,CE平分∠BCD,AD∥BC,
∴∠DCE=∠BCE,∠DEC=∠BCE,
∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=6.
∴AD=DE+AE=8.∴ ABCD的周长=2×(8+6)=28.故选D.
方法解读 本题属于“角平分线+平行线”模型,先利用平行的性质得到内错角相等,再根据角平分线求得等腰三角形,再利用等腰三角形的性质解题,需注意特殊四边形本身含有平行线.
4.B 如图,∵平行四边形ABCD的周长为20,
∴BC+AB=10①,∵△AOB的周长比△BOC的周长大4,∴AB-BC=4②,联立①②解得AB=7,BC=3,故选B.
5. 答案 3
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∠A=70°,
∴∠DCB=∠A=70°,∵∠ECB=30°,∴∠DCE=40°,∵DE=CE,∴∠CDB=∠DCE=40°,∵AB∥DC,∴∠ABD=∠CDB=40°,∵∠A=70°,∴∠ADB=180°-70°-40°=70°,∴BD=AB=3.
6. 证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAF=∠BCE,
在△ADF与△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(ASA),∴AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,∴AE=CF.
(2)∵△ADF≌△CBE,∴∠AFD=∠CEB,
∴BE∥DF.
7.D ∵l1∥l2,∴△A1BC和△A2BC同底等高,
∴=.∵l1∥l2,∴△BA1A2和△CA1A2同底等高,∴=.∵=,
∴-S△OBC=-S△OBC,∴=.
由已知不能得到=S△BOC,故选D.
8. 答案 7 cm或17 cm
解析 分两种情况讨论:
①当EF在AB,CD之间时,如图:
∵AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,
∴AB与EF间的距离为12-5=7(cm).
②当AB,CD在EF同侧时,如图:
∵AB与CD间的距离是12 cm,EF与CD间的距离是5 cm,∴AB与EF间的距离为12+5=17(cm).
综上所述,AB与EF间的距离为7 cm或17 cm.
9. 答案 3
解析 如图,过点O作OM⊥AB于点M,延长MO交CD于点N,
∵AB∥CD,∴ON⊥CD,
∵AO平分∠MAC,OE⊥AC,OM⊥AB,∴OM=OE,
∵CO平分∠ACD,OE⊥AC,ON⊥CD,∴OE=ON,
∴OM=ON,∵OE=1.5,∴MN=OM+ON=1.5+1.5=3.第十五章 四边形
15.3 平行四边形的性质与判定
第2课时 平行四边形的判定
基础过关全练
知识点3 平行四边形的判定
10.(2023河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.图1~图3是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O;
图1
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO;
图2
(3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求.
图3
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 ( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分
D.一组对边平行且相等
11.(2022北京五十七中期中)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,连接AB,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧在直线l上方交于点D,分别连接AD、CD,则四边形ABCD一定是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
12.(2023北京十一学校期中)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,则不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A.∠ABD=∠BDC,OA=OC
B.∠ABC=∠ADC,AB=CD
C.∠ABC=∠ADC,AD∥BC
D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
13.(2023北京人大附中期中)如图,剪两张对边平行的纸条,随意交叉叠放在一起,重合的部分构成了一个四边形.在转动其中一张纸条的过程中,线段AD和BC的长度始终相等,这里蕴含的数学原理是 .
14.【分类讨论思想】【易错题】如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=8 cm,DC=10 cm,E是DC边上一点,且DE=3 cm,P从A点出发以1 cm/s的速度向B点运动,同时Q从D点出发以2 cm/s的速度向C点运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止,设运动时间为t s,当t= 时,以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.
15.(2023北京昌平期中)如图,工人师傅做铝合金窗框时,分下面三个步骤进行:
步骤一:先截出两对符合规格的铝合金窗料(图1),使AB=CD,EF=GH;
步骤二:摆成如图2所示的四边形,这时窗框的形状是 形,依据的数学原理是 ;
步骤三:将直角尺紧靠窗框的一个角(图3),调整窗框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(图4),说明窗框合格,这时窗框是 形,依据的数学原理是 .
16.【教材变式·P57例3】(2023浙江杭州中考)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,DB相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若△ABE的面积等于2,求△CFO的面积.
能力提升全练
17.(2023北京清华附中望京学校期中,4,★☆☆)能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥CD,AD=BC
B.AB=CD,AD=BC
C.∠A=∠B,∠C=∠D
D.AB=AD,CB=CD
18.【易错题】(2022北京大兴期末,8,★★☆)如图,我们称四个顶点都恰好在格点上的四边形为格点四边形,A、B为4×4的正方形网格中的两个格点,在此图中以A,B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是 ( )
A.10 B.11
C.12 D.13
19.(2023甘肃兰州中考,14,★☆☆)如图,在 ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.
20.(2023北京十一学校期中,11,★☆☆)如图,在 ABCD中,AB=8,BC=5,AE平分∠BAD交边CD于点E,BF平分∠ABC交边CD于点F,且AE、BF交 ABCD内部于点G,则线段EF= .
21.【分类讨论思想】(2023北京顺义仁和中学期中,15,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,A,B两点的坐标分别为(5,0),(2,3),若以O,A,P,B为顶点的四边形为平行四边形,则点P的坐标为 .
22.(2023北京平谷期末,21,★☆☆)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是线段AC上的两点,并且AE=CF.求证:BE∥DF.
23.(2023四川广安中考,19,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E、F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA.求证:四边形ABCD是平行四边形.
24.(2023北京二中模拟,19,★☆☆)下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法,请你选择其中一种,完成证明.
平行四边形性质定理:平行四边形的对角相等. 已知:如图, ABCD. 求证:∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
方法一: 证明:如图,连接AC. 方法二: 证明:如图,延长BC至点E. 方法三: 证明:如图,连接AC、BD,AC与BD交于点O.
25.(2023北京大兴二模,21,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,延长DC到点E,使CE=CD.过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接AE,DF.
(1)求证:四边形ADFE是平行四边形;
(2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长.
26.【教材变式·P60T4】(2022江苏无锡中考,21,★★☆)如图,在 ABCD中,点O为对角线BD的中点,EF过点O且分别交AB、DC于点E、F,连接DE、BF.求证:
(1)△DOF≌△BOE;
(2)DE=BF.
27.【新考向·尺规作图】(2022北京八十中期末,19,★★☆)下面是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规作图过程.
已知:矩形ABCD.
求作: AGHD,使∠GAD=30°.
作法:如图,
①分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径,在直线AB两侧作弧,两弧分别交于点E,F;
②作直线EF;
③以点A为圆心,以AB长为半径作弧,交直线EF于点G,连接AG;
④以点G为圆心,以AD长为半径作弧,交直线EF于点H,连接DH.
则四边形AGHD即为所求作的平行四边形.
根据小明设计的尺规作图过程,解答下列问题.
(1)求∠BAG的度数;
(2)求证:四边形AGHD是平行四边形;
(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积S1和矩形ABCD的面积S2的数量关系.
素养探究全练
28.【推理能力】在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.
(1)如图①,点P在BC边上,P点与D点重合,易证PD,PE,PF与AB满足的数量关系是PD+PE+PF=AB;当点P在△ABC内部时,先在图②中补全图形,再写出PD,PE,PF与AB满足的数量关系,然后证明你的结论;
(2)当点P在△ABC外部时,先在图③中作出相应的图形,然后写出PD,PE,PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
29.【推理能力】如图1, ABCD中,AD>AB,∠ABC为锐角.要在对角线BD上找点N,M,使四边形ANCM为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案.
(1)正确的方案有 种;
(2)针对上述三种作图方案,请从你认为正确的方案中选择一种给出证明过程.
第十五章 四边形
第2课时 平行四边形的判定
答案全解全析
基础过关全练
10.C 由作图得DO=BO,AO=CO,
∴四边形ABCD为平行四边形,故选C.
11.A 由题意得AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).故选A.
12.B 选项A,∵∠ABD=∠BDC,OA=OC,∠AOB=∠COD,∴△AOB≌△COD,∴DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形;
选项B,由∠ABC=∠ADC,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形;
选项C,∵AD∥BC,
∴∠ABC+∠BAD=180°,∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ADC+∠BAD=180°,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;
选项D,∵∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB,
∴∠ADB=∠CBD,AB∥CD,∴AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形.故选B.
13. 答案 平行四边形的对边相等
解析 由题意可知,AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,
故答案为平行四边形的对边相等.
14. 答案 1或3
解析 分两种情况讨论:
①点Q在点E的左侧时,AP=t cm,QE=(3-2t)cm,
∵AB∥CD,∴当AP=QE时,四边形AQEP是平行四边形,此时t=3-2t,解得t=1;
②点Q在点E的右侧时,AP=t cm,QE=(2t-3)cm,
∵AB∥CD,∴当AP=QE时,四边形AEQP是平行四边形,此时t=2t-3,解得t=3.
综上所述,当t=1或3时,以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形.
15. 答案 平行四边;两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 矩;有一个角是直角的平行四边形是矩形
16. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,
∴EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵BE=EF,
∴S△ABE=S△AEF=2,
∵四边形AECF是平行四边形,
∴S△AEF=S△CEF=2,S△COF=S△COE,
∴S△CFO=S△CEF=1.
能力提升全练
17.B AB∥CD,AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形,A选项不符合题意;AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形,B选项符合题意;∠A=∠B,∠C=∠D,则四边形为等腰梯形或矩形,C选项不符合题意;由AB=AD,CB=CD不能判定四边形ABCD为平行四边形,D选项不符合题意.故选B.
18.D 以线段AB为对角线的格点平行四边形有11个,以线段AB为边的格点平行四边形有2个,∴共有13个.故选D.
19. 答案 50
解析 在△DBC中,∵BD=CD,∠C=70°,
∴∠DBC=∠C=70°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠BAD=∠C=70°,
∴∠ADB=∠DBC=70°,
又∵AE⊥BD,
∴∠DAE=90°-∠ADB=90°-70°=20°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=50°.
20. 答案 2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=8,AD=BC=5,AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE,∠CFB=∠ABF,
∵AE平分∠BAD交边CD于点E,BF平分∠ABC交边CD于点F,
∴∠DAE=∠BAE,∠CBF=∠ABF,
∴∠DAE=∠DEA,∠CFB=∠CBF,
∴AD=DE=5,BC=CF=5,
∴EF=DE+CF-CD=2.
21. 答案 (3,-3)或(-3,3)或(7,3)
解析 设P(x,y),分三种情况:
①当OA为对角线时,由图可得,P3(3,-3);
②当OB为对角线时,由图可得,P2(-3,3);
③当AB为对角线时,由图可得,P1(7,3).
综上,满足条件的点P的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3).
22. 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠AEB=∠CFD,
∴∠BEO=∠DFO,∴BE∥DF.
23. 证明 ∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF.
∴AE=CF.
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠DFC=90°,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA).∴AB=CD.
∵∠BAC=∠DCA,∴AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
24. 解析 三种方法任选其一进行证明即可,例如选择方法一,证明:如图,连接AC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAC=∠BCA,∠BAC=∠DCA,
∴∠BAD=∠DCB,
在△ADC与△CBA中,
∴△ADC≌△CBA(SAS),∴∠B=∠D,
即平行四边形的对角相等.
25. 解析 (1)证明:∵EF∥AD,∴∠FEC=∠ADC,
又∵CE=CD,∠FCE=∠ACD,
∴△FCE≌△ACD(ASA),∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)如图,
由(1)可知,四边形ADFE是平行四边形,
∴DF=AE=5,CD=CE,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴CD=BD=2,∴CE=CD=2,
∴DE=2CD=4,∵EF∥AD,∴EF⊥BE,∴∠DEF=90°,
∴EF===3,
∵EG⊥DF,∴S△DEF=DF·EG=DE·EF,
∴EG===,即EG的长为.
26. 证明 (1)∵点O为对角线BD的中点,∴OD=OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴DF∥EB,
∴∠DFE=∠BEF,
在△DOF和△BOE中,
∴△DOF≌△BOE(AAS).
(2)∵△DOF≌△BOE,∴DF=EB,∵DF∥EB,∴四边形DFBE是平行四边形,∴DE=BF.
27. 解析 (1)如图,连接BG,
由作图知,直线EF是线段AB的垂直平分线,
∴AG=BG,∵AB=AG,∴AB=AG=BG,
∴△ABG是等边三角形,∴∠BAG=60°.
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,∵EF⊥AB,∴GH∥AD,
∵GH=AD,∴四边形AGHD是平行四边形.
(3)如图,设EF与AB交于M,
∵S2=AD·AB,
S1=HG·AM=AD·AB=AD·AB,
∴S2=2S1.
素养探究全练
28. 解析 (1)补全图形后如图1所示,结论:PD+PE+PF=AB.
证明:如图1,过点P作MN∥BC,分别交AB,AC于M,N两点,由题意得PE+PF=AM.
∵BD∥MP,BM∥DP,
∴四边形BDPM是平行四边形,∴MB=PD.
∴PD+PE+PF=MB+AM=AB,即PD+PE+PF=AB.
(2)补全图形后如图2所示.
结论:PE+PF-PD=AB.
29. 解析 (1)3.
(2)三种方案任选其一进行证明即可.
选择方案甲.证明:连接AC,如图所示,
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,
∴OB=OD,OA=OC,∵BN=NO,OM=MD,
∴NO=OM,
∴四边形ANCM为平行四边形.
选择方案乙.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM,
∵AN⊥BD,CM⊥BD,
∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°,
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM,
又∵AN∥CM,
∴四边形ANCM为平行四边形.
选择方案丙.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABN=∠CDM,
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM,在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(ASA),∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,∴∠ANM=∠CMN,
∴AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.
