2023年初中学业水平模拟考试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和座位号栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）我国两千多年前就开始使用负数，是世界上最早使用负数的国家之一，﹣2023的相反数是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
2．（3分）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）不透明的袋子中有4个白球和3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）森林防火报警电话是12119，关于这五个数字组成的数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是1 B．众数是9 C．平均数是2.8 D．最大数与最小数的差是8
5．（3分）有A，B，C三个小球，按如图所示的方式悬挂在天花板上，每次摘下一个小球且摘A之前需先摘下B，直到3个小球都被摘下，则第二个摘下的小球是A的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）关于x的不等式＞﹣1的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2
7．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，OA＝3，若弦BC∥AO，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（ ）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线AC上，且∠EBC＝22.5°，EF⊥BC于点F，则EF的长为（ ）
A．2 B．2 C．4﹣2 D．6﹣8
10．（3分）如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点F在边AB上，且BF＝2AF，动点P从点F出发，以每秒1cm的速度沿F→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，△AEP的面积为y（cm2），如图2是y关于x的函数图象，则图2中a，b的值分别是（ ）
A．16，2 B．15， C．13， D．13，3
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：2m2﹣18＝ ．
12．（3分）在式子中，x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，△ABC在网格内，则cos∠BAD＝ ．
14．（3分）已知a2+5a＝﹣2，b2+5b＝﹣2，则a+b的值＝ ．
15．（3分）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，点M、D、E分别位于AB、AC、BC上，MD⊥ME，且ME＝2MD，则BM＝ ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程组：．
17．（8分）已知．
（1）化简A；
（2）若x是3的绝对值，求A的值．
18．（8分）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB＝10cm．
（1）作AC的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）
（2）连接CE，求△BCE的周长．
19．（9分）某学校“体育课外活动兴趣小组”，开设了以下体育课外活动项目：A．足球 B．乒乓球C．羽毛球 D．篮球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加市里组织的乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数
y2＝（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出不等式kx+b＞的解集．
21．（9分）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAB，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，BD＝4，求⊙O的半径；
（3）若BC＝2AE，求sin∠CAB 的值．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x＝1．
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，交直线1于点D，过点P作PM⊥l，垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：﹣2023的相反数为2023
故选：A．
2． 解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C，不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
3． 解：从袋子中随机摸出1个球，恰好是白球的概率为＝，
故选：D．
4． 解：A、从小到大排列后，为1，1，1，2，9．中位数是1，不符合题意；
B、1有3个，众数是1，符合题意；
C、平均数为（1+1+1+2+9）÷5＝2.8，不符合题意；
D、最大数与最小数的差是9﹣1＝8，不符合题意．
故选：B．
5． 解：画树状图如下：
由树状图知，共有3种等可能结果，其中则第二个摘下的小球是A的有1种结果，
所以则第二个摘下的小球是A的概率为，
故选：A．
6． 解：去分母，得2（x﹣2）＞3x﹣6
去括号，得2x﹣4＞3x﹣6，
移项，得2x﹣3x＞﹣6+4，
合并同类项，得﹣x＞﹣2，
系数化为1，得x＜2，
故选：B．
7． 解：连接OC，如图，
∵BC∥OA，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，
∵∠AOB＝130°，
∴∠OBC＝50°，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC＝50°，
∴∠AOC＝50°，
∴的长＝＝．
故选：C．
8． 解：左图，涂色部分的面积为a2﹣b2，拼成右图的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
9． 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝4，
∴AC＝AB＝4，
∵∠EBC＝22.5°，
∴∠ABE＝67.5°，
∵∠AEB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣4，
∵EF⊥BC，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE＝×（4﹣4）＝4﹣2，
故选：C．
10． 解：由图可知，
当点P从点F到点B时，
∵用了4秒，
∴FB＝4，
∵BF＝2AF，
∴AF＝2，
∴AB＝CD＝6，
当点P从点B到点C时，
∵用了3秒，
∴BC＝AD＝3，
∴a＝4+3+6＝13，
∵点E是AD的中点，
∴b＝×AE×AF＝×2＝，
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11． 解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
12． 解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
13． 解：如图，延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，取CE的中点F，连接AF，
则点E，F都在格点上，AD＝DE＝＝，AC＝＝2，
∴AE＝AD+DE＝2，
∴AE＝AC，
∴AF⊥CE，
又∵BD＝CD＝3，∠ADB＝∠EDC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴∠BAD＝∠CED，
又EF＝＝，
在Rt△AEF中，cos∠CED＝＝＝，
∴cos∠BAD＝，
故答案为：．
14． 解：依题意得a，b是方程x2+5x＝﹣2的解，
解x2+5x＝﹣2得：，
当时，a+b＝，
当时，a+b＝，
当a≠b时，，
故答案为：﹣5或．
15． 解：过点M作MF⊥BC于点F，MN⊥AC于点N，则四边形CFMN为矩形，
∴MN＝CF，∠FMN＝90°，
∵AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∵∠C＝∠FMN，
∴∠EMF＝∠DMN，
∵∠EFM＝∠DNM，
∴△EMF∽△DMN，
∴，
∴设MN＝x，则FM＝2x，
∴BF＝3﹣x，
∵tanB＝，
∴，
解得x＝，
∴FM＝，BF＝，
∴MB＝＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16． 解：，
①×3+②×2，得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①，得y＝4，
∴方程组的解为：．
17． 解：（1）A＝
＝
＝
＝x﹣1；
（2）∵x＝3，
∴A＝3﹣1＝2，
综上：A的值为2．
18． 解：（1）如图，DE为所作；
（2）∵ED垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△BCE的周长＝BE+BC+CE＝BE+EA+BC＝AB+BC＝10+8＝18（cm）．
19． 解：（1）20÷＝200，
所以这次被调查的学生共有200人，
在扇形统计图中“D”对应的圆心角的度数＝×360°＝72°；
故答案为200，72°；
（2）C类人数为200﹣80﹣20﹣40＝60（人），
完整条形统计图为：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）＝＝．
20． 解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，解得，
∴一次函数的解析式为y1＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），
此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，
令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：
BC＝＝3；
（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．
21． 解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
∴x+150＝300+150＝450．
答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元．
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，
依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000，
解得：y≤，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
22． （1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OCA+∠OCB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
又∵∠BCD＝∠CAB，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
即OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠CAB＝＝，
∵∠BCD＝∠CAB，∠D＝∠D，
∴△DBC∽△DAC，
∴＝＝＝，
∴，
∴CD＝6，
∴，
∴AD＝9，
∴AB＝AD﹣BD＝9﹣4＝5，
∴⊙O的半径＝AB＝；
（3）解：设AB＝a，AE＝k，则BC＝EC＝2k，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
∵CE＝CB，
∴，
∴∠FAC＝∠BAC．
在△BAC和△FAC中，
，
∴△BAC≌△FAC（ASA），
∴AB＝AF＝a，BC＝FC＝2k，
∴EF＝AF﹣AE＝a﹣k，FB＝4k．
∵∠FCE为圆内接四边形ABCE的外角，
∴∠FCE＝∠FAB，
∵∠F＝∠F，
∴△FCE∽△FAB，
∴，
∴，
∴k＝a或k＝a（负数不合题意，舍去），
∴sin∠CAB＝．
23． 解：（1）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），
∵直线l与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，﹣6），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为y＝x﹣6；
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴y＝a（x﹣1）2+k，
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣；
（3）∵A（6，0），B（0，﹣6），
∴OA＝OB＝6，
在△AOB中，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PC⊥x轴，PM⊥l，
∴∠PCA＝∠PND＝90°，
在Rt△ADC中，∵∠PCA＝90°，∠OAB＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠PDM＝∠ADC＝45°，
在Rt△PMD中，∠PMD＝90°，∠PDM＝45°，
∴sin45°＝，
∴PM＝PD，
∵y＝（x﹣1）2﹣＝x2﹣x﹣6，
∴设点P（t，t2﹣t﹣6），
∴D（t，t﹣6），
∴PD＝t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣3）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝3时，PD有最大值是，此时PM最大，
PM＝PD＝×＝，
当t＝3时，t2﹣t﹣6＝×9﹣×3﹣6＝﹣，
∴P（3，﹣），
∴PM的最大值是，此时点P（3，﹣）．
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