大兴安岭重点学校 2023-2024 学年度上学期高三年级月考
数学试题
考试时间：120 分钟; 分值：150 分
第 I卷
一、单选题 (本大题共 8 个小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 )
一、单选题
1. 已知复数 , 则下列说法正确的是
A. 复数 的实部为 3
B. 复数 的共轭复数为:
C. 复数 部虚部为:
D. 复数 的模为 5
2. 已知集合 , 则
A.
B.
C.
D.
3. 已知平面向量 , 则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 与 的夹角为钝角
D. 与 垂直
4. 已知等差数列 的前 项和为 , 若 , 则
A. 120
B. 60
C. 160
D. 80
5. 在等比数列 中, 若 , 则 的公比
A.
B. 2
C.
D. 4
6. 在三角形 中, 记 为 的面积, 已知 , 则
A.
B. 1
C. -1
D.
7. 已知定义域为 的函数 满足以下条件: (1) ; (2) ; (3) 当 时, . 若方程 , 且 在 上至少有 5 个不等的实根, 则实数 的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
8. 若过第一象限的点 可以作曲线 的两条切线, 则
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 函数 的部分图象如图所示, 下列说法正确的是 ( )
A. 函数 的周期是
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 上单调递减
D. 该函数的图象可由 的图象向左平行移动 个单位长度得到
10. 在 中, 内角 所对的边分别为 , 则下列说法正确的是 ( )
A. 若 , 则 的外接圆半径为 1
B. 若 , 则 的面积最大值为
C. 若 , 且 为直角三角形, 则
D. 若 , 且. 有两解, 则 的取值范围
11. 下列关于平面向量的说法中正确的是 ( )
A. 已知 , 点 在直线 上, 且 , 则 的坐标为 ;
B. 若 是 的外接圆圆心, 则
C. 若 , 且 , 则
D. 若点 是 所在平面内一点, 且 , 则 是 的垂心.
12. 在棱长为 1 的正方体 中, 分别为 的中点, 则 ( )
A. 过点 的平面截正方体 所得的截面周长为
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 点 为正方形 内一点, 当 平面 时, 的最小值为
D. 当三棱雉 B-BEF 的所有顶点都在球 的表面上时, 球 的表面积为
第II卷
三、填空题 (本大题共 4 小题, 每题 5 分, 共计 20 分)
13. 在 的展开式中, 常数项为_________
14. 已知某校学生数学成绩 服从正态分布 , 且 , 则从该校学生中任选一名学生, 该生的数学成绩超过70分的概率为______
15. 设矩形 的周长为 12 , 把 沿 向 折叠, 折后交 于点 ,则 的面积最大值为_________
16. 已知正项数列 的前 项和为 , 若 , 数列 的前 项和为 , 则下列结论正确的是_________
(1) ; (2) 是等差数列; (3) ; (4) 满足 的 的最小正整数为 10 .
四.解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分 10 分)
已知数列 的前 项和 满足 ,
(1)求数列 的通项公式;
(2)求证: 数列 等差数列;
(3)求数列 的前 项和 的最大值.
18. (本题满分 12 分)
已知函数 .
(1) 求函数 的最小正周期及 的单调区间;
(2)将 的图象先向左平移 个单位长度, 再向下平移 1 个单位得到函数 , 当 时,
求 的值域;
(3)若 , 求 的值;
19. (本题满分 12 分)
已知 的内角 的对边分别为 , 且 .
(1)求边长 和角 ;
(2)求 的周长的取值范围。
20. (本题满分 12 分)
如图, 底面为正方形的四棱雉 中, 平面 为棱 上一动点, .
(1) 当 为 中点时, 求证: 平面 ;
(2) 当 平面 时, 求 的值;
21. (本题满分 12 分)
2023 年 9 月 23 日至 2023 年 10 月 8 日, 第 19 届亚运会将在中国杭州举行. 杭州某中学高一年级举办了 “亚运在我心” 的知识竟赛, 其中 1 班, 2 班, 3 班, 4 班报名人数如下:
班号 1 2 3 4
人数 30 40 20 10
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取 10 名同学参加竟赛, 每位参加竟赛的同学从预设的 10 个题目中随机抽取 4 个作答, 至少答对 3 道的同学获得一份奖品. 假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竟赛的人数;
(2) 2 班的小张同学被抽中参加竞赛, 若该同学在预设的 10 个题目中恰有 3 个答不对, 记他答对的题目数为 , 求 的分布列及数学期望;
(3)若 1 班每位参加竟赛的同学答对每个题目的概率均为 , 求 1 班参加竟赛的同学中至少有 1 位同学获得奖品的概率.
22. (本题满分 12 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2) 若函数 有且只有一个零点, 求实数 的取值范围;(3) , 关于 的不等式 恒成立, 求正实数 的取值范围.参考
参考答案
1.
【分析】将复数化为 形式, 则实部为 , 虚部为 , 共轮复数为 , 模为 .
【详解】 , 则实部为 , 虚部为 ,共轭复数为: , 模为 . 选 B.
【点睛】本题考查复数的基本运算, 属于简单题.
2. D
【分析】根据对数函数的单调性解不等式, 即可得到集合 , 进而根据交集的定义就出 .
【详解】解: ,
, 即 ,
,
故选: D.
3. D
【分析】对于 A 直接利用数量积的坐标运算计算判断; 对于 B
利用向量模的公式来计算判断; 对于 通过计算 的正负来判断; 对于 通过计算 的值来判断.
【详解】对于 , A 错误;
对于 B: , B 错误;
对于 C: , 则 , 故 与 的夹角不为钝角, C 错误;
对于 D: , 则 , D 正确;
故选: D.
4. A
【分析】根据等差中项的性质求出 , 再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】解: 因为等差数列 中 , 又
所以 , 即 ,
又 , 所以 ;
故选: A
5. B
【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.
【详解】 是等比数列.
依题意, , 所以 .
故选: B
6. A
【分析 先根据三角形的面积公式结合 求出角 , 再根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的关系即可得解.
【详解】 ,
因为 , 即 ,
又 , 则 ,
所以 .
故选: A.
7.
【分析】根据题意作出 与函数 的图像, 则原问题转化成函数 的图像与函数 的图像至少有 5 个交点.
【详解 由 , 知即 的图像关于直线 对称, 由 知, 的一个周期 . 结合 , 作出 的图像与函数 的图像, 则方程 在 上至少有 5 个不等的实根等价于函数 的图像与函数 的图像至少有 5 个交点, 如图所示, 则
故选: C.
8. D
【分析】首先设切点 , 利用导数的几何意义, 列式 , 并转化为函数 有 2 个零点, 利用导数判断函数的性质, 即可判断选项.
【详解】设切点 , 则 ,
得 ,
设 , 由条件可知, 函数存在两个零点,
, 得 .
当 时, 单调递减.
当 时, 单调递增,
所以当 时, 取得最小值, 若函数有 2 个零点,
则 .
故选: D
9.
【分析】观察图像可得函数 的最小值, 周期, 且 ,
由此可求函数解析式, 根据三角函数对称性、单调递减区间和左右平移知识即可一一判断.【详解】观察图象可得函数 , 的最小值为 -2 , 故 设函数 的最小正周期为 , 由图象知 ,
则 , 故 , 故 A 正确;
由 可得 . 又 ,
所以 .
所以 ,
因为 , 故 B 错误;
由 可得 ,
所以 的单调递减区间为 .
取 知, 函数 在 上单调递减.
, 故 C 正确;
的图像向左平移 个単位后得到
, 故 D 错误.
故选: AC.
10. [ 分析 ]利用正弦定理即可判断 A; 根据余弦定理结合基本不等式及三角形的面积公式即可判断 ; 分 和 两种情况讨论即可判断 ; 要使 有两解, 则 且 , 再结合正弦定理即可判断 .
【详解】对于 A, 因为 ,
所以 的外接圆半径为 , 故 正确;
对于 B, 若 .
由余弦定理可得 ,
所以 , 当且仅当 时, 取等号,则 ,
即 的面积最大值为 , 故 正确;
对于 , 当 时, 则 ,
当 时, 则 ,
综上, 或 , 故 C 错误;
对于 D, ,
因为 , 所以 ,
因为 , 所以 ,
要使 有两解, 则 且 , 则 ,
所以 , 解得 , 故 D 正确.
故选: ABD.
11. BD
【 分析】对于 , 设 , 由题意可得 或 , 再根据平面向量的坐标表示计算即可; 对于 , 如图, 设 为 的中点, 根据数量积的定义即可得解; 对于 , 当 时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断 D.
【详解】对于 , 设 , 则 ,
因为点 在直线 上, 且 ,
所以 或 .
则 或 .
所以 或 , 解得 或 .
所以 或 , 故 A 错误;
对于 , 如图, 设 为 的中点, 则 ,则 , 故 B 正确;
对于 , 当 时, ,
满足 , 则 与 不一定相等, 故 C 错误;
对于 , 因为 .
所以 , 所以 ,
同理可得 ，
所以 是 的垂心, 故 正确.
故选: BD.
12.
【分析】对于 : 根据平行关系求截面, 进而可得周长; 对于 :
根据异面直线夹角分析运算; 对于 C: 根据面面平行分析判断; 对于 D: 转化为长方体的外接球分析运算.
【详解】对于 : 连接 ,
因为 为 的中点, 则 .
又因为 , 则 为平行四边形, 可得 ,
则 .
过 作 , 设 , 则 ,
可得 .
连接 , 设 , 连接 ,
可得过点 的平面截正方体 所得的截面为五边形 ,
因为 , 则 ,可得 ,
所以截面周长为 , 故 A 错误;
对于 : 因为 , 则异面直线 与 所成角为 ,
可得 , 所以 , 故 正确;
对于 C: 取 的中点 , 连接 ,
由题意可得： , 则 为平行四边形, 所以 ,
又因为 , 且 ,
可得 , 则 为平行四边形, 所以 ,
可得 ，
平面 平面 , 则 平面 ,
又因为 , 且 , 可得 ,
平面 平面 , 则 平面 ,
平面 , 所以平面 平面 ,则点 在线段 上, 可得 ,
所以当点 为线段 的中点时, 取到最小值 ,
故 C 正确;
对于 : 三棱雉 的外接球即为以 为邻边的长方体的外接球,
因为 , 可得外接球的半径 ,
所以外接球的表面积 , 故 D 正确;
故选: BCD.
13. 60
【详解】解: 二项式 的展开式的通项公式为 ,令 , 解得 ,
所以 的二项展开式中, 常数项为 .
故答案为: 60 .
14. 0.95
【分析】利用正态分布曲线的对称性得到 可得答案.
【详解】因为学生数学成绩 服从正态分布 .
所以 ,
因为 , 所以 ,
所以 ,该生的数学成绩超过 70 分的概率为 0.95 .
故答案为: 0.95 .
15.
【分析】作图, 令 折叠后对应为 , 且 , 易得 , 再设 且 , 勾股定理列方程得 ,最后应用三角形面积公式、基本不等式求面积最大值, 注意取值条件.
【详解】如下图, 折叠后对应为 , 令 且 , 则 ,
由图知: , 则 ,所以 , 而 .令 且 , 则 ,所以 , 则 ,则 ,当且仅当 时等号成立,所以 的面积最大值为 .故答案为:
16. (2)(3)(4)
【分析】对于(2), 根据 与 的关系得出 是等差数列; 对于 (1), 由 求出 , 再比较大小进行判断; 对于 (3), 令 , 通过导数证明 在 上恒成立, 令 , 再证得不等式成立; 对于(4), 利用裂项相消法求出 , 再求出 的 的最小正整数.
【详解】对于(2), 因为 , 当 时, , 解得 ,当 时, , 所以 , 整理得 ,所以数列 是首项为 , 公差为 1 的等差数列, 故(2)正确.
对于(1), , 又正项数列 的前 项和为 , 所以 .
当 时, , 当 时, , 即 ,
又当 时, 满足 , 所以 ,
又 , 因为 ,
所以 , 即 , 故(1)不正确;
对于(3), 令 , 当 时, 恒成立,
所以 在区间 上单调递增, 所以 , 即 ,
所以 在 上恒成立.
令 , 所以 , 又 , 故 , 故(3)正确;
对于(4), 因为 , 所以 ,
所以 .
所以
因为 , 即 , 化简整理得 ,
显然数列 递增, 当 时, ;
当 时, , 所以满足 的 的最小正整数为 10 , 故 (4) 正确.
故答案为: (2)(3)(4).
【点睛】给出 与 的递推关系, 求 , 常用思路是: 一是利用 转化为 的递推关系, 再求其通项公式; 二是转化为 的递推关系, 先求出 与 之间的关系, 再求 .
17. (1) (2)证明见解析
(3) 42
【分析】(1) 根据 之间的关系进行求解即可;
(2) 根据等差数列的定义进行证明即可;
(3) 根据等差数列的单调性进行求解即可.
【详解】(1) 当 时, ;
;
当 时, 满足上式. 故 的通项公式为 .
(2) 设 , 其中 .
;
即数列 为首项 12 , 公差 -1 的等差数列.
(3) 因为 ,
所以该数列是递减数列,
由 ,
由 .
当 时, ; 即 ;
所以前 项和的最大值为 .
18. (1) , 单调增区间 , 单调減区间:
(2)
(3)
【分析】(1) 化简 的解析式, 根据三角函数最小正周期、单调区间的求法求得正确答案.
(2) 利用三角函数图象变换的知识求得 , 根据三角函数值域的求法求得 在区间 上的值域.
(3) 先求得 , 利用两角和的余弦公式求得 .
【详解】(1)
.
所以 的最小正周期 .
由 解得 ,
所以 的递增区间是 ,
由 解得 ,
所以 的递减区间是 .
(2) 将 的图象先向左平移 个单位长度,
再向下平移 1 个单位得到函数 ,
.
所以 .
(3) ,
由于 , 所以 ,
所以 .19. (1)
(2) , 等边三角形
【分析 】 (1) 根据 , 利用正弦定理得到 , 求得 , 再由 求得角 ;
（2）由余弦定理结合基本不等式得到 , 然后利用三角形面积公式求解.
【详解】(1) 解: ,
由正弦定理得 .
可得 .
由 , 得 .
得 ,
得 或 , 故 或 0 (舍去).
(2)
20. (1) 证明见解析; (2) 2 ; (3)
【分析】(1) 连接 设其交点为 , 连接 , 证明 , 即可证明 (2) 建立空间直角坐标系, 求得平面 PBD 的法向量, 由线面垂直求解
【详解】(1) 连接 设其交点为 , 连接 , 则 为中点, 故 又 平面 平面 , 故 平面 ;
(2) 以 为原点, 分别为 轴, 过 做 的平行线为 轴, 建立如图所示空间坐标系, 如图示:
设 , 则 ,
设 .
平面 , 所以 则 , 故 ;
(3) 因为 平面 , 所以 是平面 的一个法向量,
故取平面 的一个法向量为 , 平面 的法向量为
设二面角 为 .
则 , 由图知, 二面角为纯角, 故二面角 的余弦值为
【点 】本题考查线面平行, 考查二面角的向量求法, 考查线面垂直的向量求解, 是中梢题
21. (1)
(2)分布列见解析, 2.8
(3)
【分析】(1) 根据分层抽样计算可得;
（2）根据超几何分布求出概率, 列出分布列求期望即可得解;
(3) 计算 1 班每位同学获奖的概率, 然后根据二项分布求解即可.
【详解】(1) 各班报名人数总共 100 人, 抽取 10 人, 抽样比为 .
人).(2) 由题意, 的可能取值为 .
所以 的分布列为:
1 2 3 4
由题意, 1 班每位同学获奖的概率为
设 1 班获奖人数为 , 则 .
所以至少 1 人获奖的概率为 .
22. (1)答案见解析.
;
(3) .
【分析】 (1) 求出导函数 分类讨论确定 的正负得单调性;
(2) 由 (1) 的单调性, 结合零点存在定理确定零点个数, 从而得参数范围;
(3) 不等式分离参数得 , 右边引人新函数, 由导数求得新函数的最大值后可得参数 的范围.
【详解】(1) , 时, 恒成立, 在 上是增函数.
时, 时, 是减函数, 时, 是增函数,综上, 时, 在 上是增函数, 时, 在 上是减函数, 在 上是增函数;
(2) ,
由 (1) 时, 只有一个零点,
时, 若 时, 则由 在 上递减得 , 亚然 足够大时, , 因此 在 上还有一个零点, 不合题意;
时, 由 (1) 知 是极小值也是最小值, 函数只有一个零点 , 此时 ; In 时, 在 上递增, 有一个零点, 因此 ,此时 时, , 因此 在 上也有一个零点, 不合题意,综上, 的取值范围是 ;
(3) 不等式 即为 , 又 ,所以 恒成立,
设
则 ,
由 (1) 知 , 从而 , 且 时, .
所以 时, 递增, 时, 递减,
所以 时, ,
所以 .
【点睛】方法点睛: 用导数研究不等式恒成立问题, 一般有两种方法:
(1) 直接由不等式引入函数, 利用导数求得雨数的最值, 然后由最值满足的不等关系求得参数;
(2) 分离参数后, 引入新函数, 由导数得新函数的最值, 然后可得参数范围.
