第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
能初步结合具体情境发现和提出数学问题;初步了解运用数学知识解决实际问题的一般思路和策略 在社会生活和科学技术的真实情境中,结合方程与不等式、函数、图形的变化、图形与坐标、抽样与数据分析等内容,经历现实情境数学化,探索数学关系、性质与规律的过程,感悟如何从数学的角度发现问题和提出问题,逐步形成“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养【P77】
经历用数学方法解决现实问题的过程,加深对解决数学应用问题的一般思路的认识,提高分析问题和解决问题的能力 用数学的思维方法,运用数学与其他相关学科的知识,综合地、有逻辑地分析问题,经历分工合作、试验调查、建立模型、计算反思、解决问题的过程,提升思维能力,逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养【P78】
能够运用数学与其他相关学科的知识分析并解决问题,感受数学与其他学科融合解决问题的过程,提升思维能力 用数学的语言,将现实问题转化为数学问题,经历用数学方法解决问题的过程,感悟科学研究的过程与方法,感受数学在与其他学科融合中所彰显的功效,积累数学活动经验,逐步形成“会用数学的语言表达现实世界”的核心素养【P78】
26.1 解决实际问题的一般思路
基础过关全练
知识点 解决实际问题的一般思路
1.(2023北京东城模拟)芝麻被称为“八谷之冠”,是世界上最古老的油料作物之一,它作为食品和药物,得到广泛的使用.经测算,一粒芝麻的质量约为0.000 002 01 kg,将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为( )
A.20.1×10-3 kg B.2.01×10-4 kg
C.0.201×10-5 kg D.2.01×10-6 kg
2.【新情境·包装盒】(2023四川巴中中考)某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中,美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒,准备把这些卡纸分成两部分,一部分做侧面,另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面,或者裁出3个底面,如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒,这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8
C.12 D.16
3.【跨学科·物理】(2023湖北随州中考)已知蓄电池的电压为定值,使用某蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则当电阻为6 Ω时,电流为( )
A.3 A B.4 A
C.6 A D.8 A
4.(2022浙江杭州中考)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻,测得旗杆和标杆在太阳光下的影长BC=8.72 m,EF=2.18 m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47 m,则AB= m.
5.【最短距离问题】如图,高速公路的同一侧有A,B两个城镇,它们到高速公路所在直线MN的距离AC=2 km,BD=4 km,已知CD=8 km,要在高速公路上的C,D之间建一个出口P,使A,B两个城镇到出口P的距离之和最小,则这个最短距离为 km.
6.【一题多变:缺少的数目已知】把一些苹果分给几个小朋友,如果每人分5个,那么还剩2个苹果;如果每人分6个,那么还缺3个苹果.一共有多少个苹果
[变式·缺少的数目未知]把一些苹果分给几个小朋友,如果每人分5个,那么还剩2个苹果;如果每人分6个,那么最后一个小朋友分到了苹果,但分到的苹果不足3个.一共有多少个小朋友
7.【一题多解】(2023广东深圳中考)某商场在世博会上购置A,B两种玩具,其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元,且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元.
(1)求A,B玩具的单价;
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍,且购置玩具的总额不高于20 000元,则该商场最多可以购置多少个A玩具
8.(2023北京门头沟期末)定都阁位于门头沟潭柘寺镇的定都峰上,与通州大运河遥相呼应,形成“东有大运河,西有定都阁”的一道新景观.为测得定都阁的高度,某校数学社团登上定都峰开展实践活动.他们利用无人机在点P处测得定都阁顶端A的俯角α为45°,定都阁底端B的俯角β为60°,此时无人机到地面的垂直距离PC为46米,求定都阁的高AB.(结果保留根号)
9.(2023北京东城一模)如图,杂技团进行杂技表演,一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分,演员在弹跳过程中,当身体离地面的最大高度为5米时,与点A所在y轴的水平距离为3米,已知点A距离地面的高度为1米.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)已知人梯BC=3.15米,在一次表演中,人梯到起跳点A的水平距离是5米,问这次表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功) 请说明理由.
能力提升全练
10.【跨学科·物理】(2022北京平谷一模,8,)研究发现,近视镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例函数关系,小明的近视镜的度数为400度,焦距为0.25米,经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康,现在镜片的焦距为0.4米,则小明现在的近视镜的度数为( )
A.300度 B.500度
C.250度 D.200度
11.【跨学科·物理】(2023北京海淀模拟,15,)下列表格为摄氏温度和华氏温度部分计量值对应表.
摄氏温度x/℃ 0 10 20 30 40 50
华氏温度y/℉ 32 50 68 86 104 122
根据表格信息,当华氏温度的值和摄氏温度的值相等时,这个值是 .
12.【新考向·开放型试题】(2023北京通州一模,16,)某学校带领150名学生到农场参加植树劳动,学校同时租用A,B,C三种型号客车去农场,其中A,B,C三种型号客车载客量分别为40人、30人、10人,租金分别为700元、500元、200元.为了节省资金,学校要求每辆车必须满载,并将学生一次性送到农场植树,请你写出一种满足要求的租车方案: ,满足要求的几种租车方案中,最低租车费用是 元.
13.【中华优秀传统文化】(2023湖北十堰中考,23,)“端午节”吃粽子是中国传统习俗,在“端午节”来临前,某超市购进一种品牌粽子,每盒进价是40元,并规定每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒.根据以往销售经验发现,当每盒售价定为50元时,日销售量为500盒,每盒售价每提高1元,日销售量减少10盒.设每盒售价为x元,日销售量为p盒.
(1)当x=60时,p= ;
(2)当每盒售价定为多少元时,日销售利润W(元)最大 最大利润是多少
(3)小强说:“当日销售利润最大时,日销售额不是最大.”小红说:“当日销售利润不低于8 000元时,每盒售价x的范围为60≤x≤80.”你认为他们的说法正确吗 若正确,请说明理由;若不正确,请写出正确的结论.
14.【新素材·航天科技】(2023湖南长沙中考,19,)2023年5月30日9点31分,“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射,成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入中国空间站.如图,在发射的过程中,飞船从地面O处发射,当飞船到达A点时,从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8 km,仰角为30°;10 s后飞船到达B处,此时测得仰角为45°.
(1)求点A离地面的高度AO;
(2)求飞船从A处到B处的平均速度.
(结果精确到0.1 km/s,参考数据:≈1.73)
15.【北京人文·冬奥会】(2022北京中考,25,)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看成是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x-h)2+k(a<0).
某运动员进行了两次训练.
(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表:
水平距离 x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度 y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系式y=a(x-h)2+k(a<0);
(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1,第二次训练的着陆点的水平距离为d2,则d1 d2(填“>”“=”或“<”).
素养探究全练
16.【项目式学习试题】【应用意识】(2023北京石景山期中)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计喷泉喷头的升降方案
如图,某景观公园内人工湖里有一个可垂直升降的喷泉,喷出的水柱呈抛物线.记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米,到湖面的垂直高度为y米.当喷头位于起始位置时,测得x与y的四组数据如下: x(米)0234y(米)121.751
公园想设立新的游玩项目,通过升降喷头,使游船能从水柱下方通过,如图,为避免游船被喷泉淋到,要求游船从水柱下方中间通过时,顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.4米.已知游船顶棚宽度为2.8米,顶棚到湖面的高度为2米
问题解决
确定喷泉形状 结合素材1,求y关于x的表达式
探究喷头升降方案 为使游船按素材2的要求顺利通过,求喷头距离湖面高度的最小值
答案全解全析
基础过关全练
1.B 100×0.000 002 01 kg=0.000 201 kg=2.01×10-4 kg.
2.C 设用x张卡纸做侧面,用y张卡纸做底面,
由题意,得
∴用6张卡纸做侧面,用8张卡纸做底面,则侧面的数量为12个,底面的数量为24个,故这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12.
3.B 设I=,∵图象过(8,3),∴U=24,∴I=,当电阻为6 Ω时,电流I==4(A).
4.9.88
解析 ∵同一时刻,测得旗杆和标杆在太阳光下的影长BC=8.72 m,EF=2.18 m,∴AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE,∵AB⊥BC,DE⊥EF,∴∠ABC=∠DEF=90°,∴Rt△ABC∽Rt△DEF,∴,即,∴AB=9.88 m.
5.10
解析 如图,作点A关于直线MN的对称点A',连接A'B,交直线MN于点P,连接AP,此时AP+PB的值最小,最小值为A'B的长,过点B作BE⊥CA,交CA的延长线于点E,易知A'E=6 km,BE=8 km,在Rt△A'EB中,A'B==10(km),则AP+PB的最小值为10 km.
6.解析 设一共有x个小朋友,根据题意,得5x+2=6x-3,解得x=5,
∴5x+2=27.
答:一共有27个苹果.
[变式] 解析 设一共有x个小朋友,根据题意,得1≤5x+2-6(x-1)<3,解得5
∴x=6或7.
答:一共有6个或7个小朋友.
7.解析 (1)解法一(列二元一次方程组):设A玩具的单价为x元,则B玩具的单价为y元.由题意,得
答:A玩具的单价为50元,B玩具的单价为75元.
解法二(列一元一次方程):设A玩具的单价为x元,则B玩具的单价为(x+25)元.
根据题意,得2(x+25)+x=200,解得x=50,可得x+25=50+25=75.
答:A玩具的单价为50元,B玩具的单价为75元.
(2)设商场可以购置A玩具m个.根据题意,得50m+75×2m≤20 000,解得m≤100,
则该商场最多可以购置A玩具100个.
8.解析 如图,延长BA交PD于点E,
由题意,得∠BEP=90°,EB=PC=46米,∠EPA=45°,∠EPB=60°.
在Rt△EBP中,EP==46(米).
在Rt△EAP中,AE=EP·tan 45°=46×1=46(米),
∴AB=EB-AE=(46-46)米,
∴定都阁的高AB为(46-46)米.
9.解析 (1)设该抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5(a≠0),
将点A(0,1)代入y=a(x-3)2+5,得
1=a(0-3)2+5,解得a=-,
∴该抛物线的解析式为y=-(x-3)2+5.
(2)这次表演不能成功,理由如下:
当x=5时,y=-×(5-3)2+5=,
∵≈3.22>3.15,
∴这次表演不能成功.
能力提升全练
10.C 设反比例函数的解析式为y=(x>0),
∵400度的近视镜的焦距为0.25米,
∴k=400×0.25=100,
∴反比例函数的解析式为y=,
当x=0.4时,y==250,
故小明现在的近视镜度数为250度,故选C.
11.-40
解析 通过表格中数据可知华氏温度与摄氏温度之间满足一次函数关系,设华氏温度y(℉)与摄氏温度x(℃)之间的函数关系式为y=kx+b,由题意,代入(0,32),(10,50),得
即y=1.8x+32,当y=x时,x=1.8x+32,解得x=-40.因此当华氏温度为-40度时,摄氏温度也是-40度.
12.A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆(答案不唯一);2 600
解析 设A、B、C三种型号客车分别租x辆、y辆、z辆,∵学校同时租用A、B、C三种型号客车去农场,要求每辆车必须满载,∴40x+30y+10z=150,即4x+3y+z=15,
∵x,y,z都是正整数,∴满足条件的x,y,z有以下几种情况:∴满足要求的租车方案可以是A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆(答案不唯一).∵租用A、B、C三种型号客车每人的费用分别为(元)、(元)、=20(元),且<20,∴多租B型号客车且少租C型号客车时费用较低.若A、B、C三种型号客车分别租1辆、3辆、2辆,则费用为700×1+500×3+200×2=2 600(元);若A、B、C三种型号客车分别租2辆、2辆、1辆,则费用为700×2+500×2+200×1=2 600(元),∴满足要求的几种租车方案中,最低租车费用是2 600元.
13.解析 (1)由题意可得,p=500-10(x-50)=-10x+1 000,即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式是p=-10x+1 000(x≥50),当x=60时,p=-10×60+1 000=400.
(2)由题意,得W=(x-40)(-10x+1 000)=-10x2+1 400x-40 000=-10(x-70)2+9 000,
由题可知,每盒售价不得少于50元,日销售量不低于350盒,∴解得50≤x≤65.
∵-10<0,对称轴为直线x=70,
∴当x=65时,W取得最大值,此时W=8 750.
答:当每盒售价定为65元时,日销售利润W(元)最大,最大利润是8 750元.
(3)小强:设日销售额为y元,则y=x·p=x(-10x+1 000)=-10x2+1 000x=-10(x-50)2+25 000,∵50≤x≤65,∴当x=50时,y值最大,此时y=25 000,而当x=65时,W值最大,此时W=8 750,∴小强的说法正确.
小红:当-10(x-70)2+9 000=8 000时,解得x=60或x=80,∵-10<0,∴当日销售利润不低于8 000元时,60≤x≤80,
∵50≤x≤65,∴当日销售利润不低于8 000元时,60≤x≤65,故小红的说法错误,正确的结论是当日销售利润不低于8 000元时,60≤x≤65.
14.解析 (1)在Rt△AOC中,∵∠AOC=90°,∠ACO=30°,AC=8 km,
∴AO=×8=4(km).
∴点A离地面的高度AO为4 km.
(2)在Rt△AOC中,∵∠AOC=90°,∠ACO=30°,AC=8 km,∴OC= km.
在Rt△BOC中,∵∠BOC=90°,∠BCO=45°,
∴∠OBC=∠BCO=45°,∴OB=OC=4 km,
∴AB=OB-OA=(4-4)km,∴飞船从A处到B处的平均速度=≈0.3(km/s).
15.解析 (1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为(8,23.20),∴h=8,k=23.20,
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m,
将(0,20.00)代入y=a(x-8)2+23.20得,
20.00=a(0-8)2+23.20,解得a=-0.05,
∴函数关系式为y=-0.05(x-8)2+23.20.
(2)设第一次训练时,着陆点的纵坐标为t,
则t=-0.05(x-8)2+23.20,
解得x=8+或x=8-,
根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离d1=(8+)m.
第二次训练时,令y=t,则t=-0.04(x-9)2+23.24,
解得x=9+或x=9-,
根据图象可知,第二次训练时,当运动员竖直高度为t m时,水平距离d2=(9+)m,
∵0<20(23.20-t)<25(23.24-t),
∴,
∴8+,
即第一次训练时着陆点的水平距离小于第二次训练时着陆点的水平距离,∴d1
16.解析 任务1:分析表格数据,可得该抛物线的对称轴为直线x==2,顶点坐标为(2,2),
设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,将点(0,1)代入,得1=4a+2,则a=-,
∴该抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2.
任务2:设调节后的喷头喷出抛物线的解析式为y=-(x-2)2+c(c≠2),
由题意知,当x=2+1.4=3.4时,y≥2+0.4=2.4,
∴-(3.4-2)2+c≥2.4,解得c≥2.89,
∴喷头至少向上调节2.89-2=0.89(米),
∴1+0.89=1.89(米).
答:喷头距离湖面高度的最小值为1.89米.
