23.4 位似变换
基础过关全练
知识点1 位似图形与位似变换
1.(2023北京海淀二模)如图,在正方形网格中,以点O为位似中心,△ABC的位似图形可以是( )
A.△DEF B.△DHF C.△GEH D.△GDH
2.(2023河北张家口模拟)如图,在正方形网格中,△ABC与△DEF位似,下列说法正确的是( )
A.位似中心是点B B.位似中心是点D
C.相似比为2∶1 D.相似比为1∶2
3.如图,以点O为位似中心,在点O的同侧,画一个四边形A'B'C'D',使它与四边形ABCD位似,且相似比为3∶2,则下列说法错误的是( )
A.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'
B.C,O,C'三点在同一条直线上
C.
D.OB=OB'
4.(2022北京一七一中模拟)如图,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,相似比为2∶3,点A、B的对应点分别为点A'、B'.若AB=6,则A'B'的长为 .
5.如图,已知矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形,A为位似中心,且矩形ABCD的周长为24,BB'=4,DD'=2.求AB、AD的长.
知识点2 位似图形的画法
6.【教材变式·P25例1变式】如图,点O是△ABC外一点.
(1)以O为位似中心,将△ABC各边放大为原来的2倍;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)满足(1)中的条件的三角形共有几个 它们是不是位似图形
7.【新独家原创】已知四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,且A与A',D与D'是对应点,如图所示.
(1)作出四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的位似中心P,并把四边形A'B'C'D'补充完整;
(2)四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比是 .
知识点3 平面直角坐标系下的位似变换
8.(2023浙江嘉兴中考)如图,在直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,1),C(3,2),现以原点O为位似中心,在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C',则顶点C'的坐标是( )
A.(2,4) B.(4,2) C.(6,4) D.(5,4)
9.(2022北京人大附中期末)如图,已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,P是位似中心,若点B的坐标为(2,4),点E的坐标为(-1,2),则点P的坐标为 .
10.如图,两个三角形关于原点位似,且一对对应点的坐标分别为(2,-3),(-1,b),则b= .
11.【易错题】(2023辽宁鞍山一模)在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点B的对应点B'的坐标是 .
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12.【规律探究题】(2023山东烟台中考,10,)如图,在直角坐标系中,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34)
C.(32,35) D.(32,0)
13.【数学文化】(2023北京昌平二模,5,)《墨子·天文志》记载:“执规矩,以度天下之方圆.”度方知圆,感悟数学之美.如图,正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若AB∶A'B'=1∶2,则四边形A'B'C'D'的外接圆的半径为( )
A. B.2 C.2 D.4
14.(2023黑龙江绥化中考,19,)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为 .(结果用含a,b的式子表示)
15.【易错题】【分类讨论思想】(2023黑龙江绥化模拟,19,)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是 .
16.(2022北京四中月考,25,)如图,已知A,B两点的坐标分别为(2,1),(3,-1).
(1)以点O为位似中心,将△OAB各边放大为原来的两倍,得到△OA'B',在图中给定的网格中画出△OA'B';
(2)点A的对应点A'的坐标是 ,点B的对应点B'的坐标是 ;
(3)在AB上有一点P(x,y),按(1)的方式得到的对应点P'的坐标是 .
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17.【推理能力】如图所示的是由位似的正△A1B1C1,正△A2B2C2,正△A3B3C3,……,正△AnBnCn组成的图形,其中正△A1B1C1的边长为1,点O是B1C1的中点,A2是OA1的中点,A3是OA2的中点,……,An是O的中点,顶点B2,B3,…,Bn,C2,C3,…,Cn都在B1C1边上.
(1)试写出正△A10B10C10与正△A7B7C7的相似比;
(2)求出正△AnBnCn(n≥2)的周长.(用含n的式子表示)
答案全解全析
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1.C 如图,∵△ABC与△GEH是相似图形,而且对应顶点的连线相交于点O,对应边互相平行,
∴△ABC与△GEH是位似图形,故选C.
2.C 如图,连接AF、CE、BD,交于点G,则位似中心是点G,,∴△ABC与△DEF的相似比为2∶1,故选C.
3.D ∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD,C,O,C'三点在同一条直线上,∴A、B选项说法正确;
∵四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,相似比为3∶2,∴AB∥A'B',,
∴△OAB∽△OA'B',
∴,
∴OB=OB',
∴C选项说法正确,D选项说法错误.故选D.
4.9
解析 ∵图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,相似比为2∶3,∴,∵AB=6,∴A'B'=9.
5.解析 ∵矩形ABCD的周长为24,∴AB+AD=12.
设AB=x,则AB'=AB+BB'=x+4,AD=12-x.
∴AD'=AD+DD'=14-x.
∵矩形ABCD与矩形AB'C'D'是位似图形,∴,即,解得x=8,经检验,x=8是分式方程的解,
∴AB=8,∴AD=4.
6.解析 (1)如图所示,△A'B'C'和△A″B″C″即为所求作的三角形.
(2)满足(1)中的条件的三角形有两个,它们是位似图形.
7.解析 (1)如图所示.
(2)2∶1.
8.C ∵△ABC与△A'B'C'位似,△A'B'C'与△ABC的相似比为2∶1,∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1∶2,∵点C的坐标为(3,2),∴点C'的坐标为(3×2,2×2),即(6,4).
9.(-2,0)
解析 ∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为(2,4),∴OC=AB=4,OA=2,∴点C的坐标为(0,4),∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,P是位似中心,点E的坐标为(-1,2),∴矩形ODEF与矩形OABC的相似比为1∶2,∴OP∶AP=OD∶AB=1∶2,设OP=x,则x+2=2x,解得x=2,∴OP=2,∴点P的坐标为(-2,0).
10.
解析 ∵两个三角形关于原点位似,且一对对应点的坐标分别为(2,-3),(-1,b),∴b=-3×.
11.(-3,-1)或(3,1)
解析 本题易因丢解而致错.在平面直角坐标系中,如果位似变换以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的对应坐标的比等于k或-k.∴点B的对应点B'的坐标是,即(-3,-1)或(3,1).
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12.A 由题意可知,点A1(-2,1),点A4(-1,2),点A7(0,3),∵1=3×0+1,4=3×1+1,7=3×2+1,……,100=3×33+1,-2=0-2,-1=1-2,0=2-2,1=0+1,2=1+1,3=2+1,∴顶点A100的坐标为(33-2,33+1),即(31,34).
13.C 如图,连接B'D',∵四边形A'B'C'D'是正方形,
∴∠B'C'D'=90°,∴B'D'是圆O的直径,
∵正方形ABCD的面积为4,∴正方形ABCD的边长为2,
∵正方形ABCD与正方形A'B'C'D'是位似图形,AB∶A'B'=1∶2,∴B'C'=C'D'=4,∴B'D'=,∴四边形A'B'C'D'的外接圆的半径为2,故选C.
14.(6-2a,-2b)
解析 如图,过C作CM⊥AB于M,过C'作C'N⊥AB'于N,则∠ANC'=∠AMC=90°,
∵△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,
∴.
∵∠C'AN=∠CAM,
∴△ACM∽△AC'N,
∴.
∵点A(2,0),点C(a,b),
∴OA=2,OM=a,CM=b,
∴AM=a-2,
∴,
∴AN=2a-4,C'N=2b,
∴ON=AN-OA=2a-6,
∴点C'的坐标为(6-2a,-2b).
15.(-3,0)或
解析 本题易因情况考虑不全面而丢解.
①当点D与点H为对应点时,如图,连接HD并延长交x轴于点P,则点P为位似中心.
∵四边形ABCD为正方形,点A的坐标为(1,2),
∴点D的坐标为(3,2),
∵DC∥HG,∴△PCD∽△PGH,
∴,即,解得OP=3,
∴位似中心的坐标是(-3,0).
②当点D与点F为对应点时,如图,连接CE、DF交于点P,由题意得C(3,0),E(5,4),D(3,2),F(5,0),求出直线DF的解析式为y=-x+5,直线CE的解析式为y=2x-6,
联立得
∴直线DF,CE的交点P的坐标为,
所以位似中心的坐标是.
故答案为(-3,0)或.
16.解析 (1)如图,△OA'B'即为所求作的三角形.
(2)由图可知点A'的坐标是(-4,-2),点B'的坐标是(-6,2).
(3)点P'的坐标是(-2x,-2y).
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17.解析 (1)∵正△A1B1C1的边长为1,点O是B1C1的中点,点A2是OA1的中点,∴正△A2B2C2的边长为,易知正△A3B3C3的边长为,∴正△A7B7C7的边长为,正△A10B10C10的边长为,∴正△A10B10C10与正△A7B7C7的相似比=∶=1∶8.
(2)由(1)易知正△AnBnCn(n≥2)的边长为,∴正△AnBnCn(n≥2)的周长为.
