第16章 分式
16.1 分式及其基本性质
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
了解分式和最简分式的定义;掌握分式的基本性质并进行约分、通分 了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分【P56】
熟练掌握分式的加、减、乘、除运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算【P56】
掌握分式方程的解法 能解可化为一元一次方程的分式方程【P56】
能列分式方程解决实际问题 能针对具体问题列出方程;能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性【P56】
了解零指数幂和负整数指数幂,掌握科学记数法 了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)【P55】
基础过关全练
知识点1 分式的概念
1.(2023福建泉州九中期中)下列式子中,是分式的是( )
A. B. C. D.
2.【新独家原创】某新能源电车充电a小时,续航b千米,则充电m小时,续航 千米.
知识点2 分式有(无)意义及分式值为零的条件
3.如果分式在实数范围内有意义,那么x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x=-1
C.全体实数 D.x≠-1
4.【新考向·代数推理】(2023湖南衡阳模拟)无论x取什么数,总是有意义的分式是( )
A. B. C. D.
5.(2022广西北部湾经济区中考)当x= 时,分式的值为零.
知识点3 分式的基本性质
6.(2023陕西西安雁塔高新一中期中)下列式子从左边至右边变形正确的是( )
A.=a2 B.=
C.= D.=
7.(2023山东济南历城期中)如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍,那么分式的值( )
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的
C.缩小为原来的 D.不变
8.【新独家原创】若分式可等价变形为,则整式A= ,a的取值范围是 .
9.在括号内填入适当的整式,使等号成立.
(1)=;
(2)=;
(3)=(a+1≠0).
知识点4 分式的约分和最简分式
10.(2023山西临汾月考)将分式约分后的结果是( )
A.- B.- C.- D.-
11.化简的结果是( )
A. B. C. D.
12.下列分式中,是最简分式的是( )
A. B.
C. D.
13.(2023四川自贡中考)化简:= .
14.如果=,那么的值是 .
15.(2023山东聊城实验中学月考)化简下列分式:
(1); (2).
知识点5 分式的通分
16.(2023吉林长春外国语学校期中)分式,的最简公分母是( )
A.x2-y2 B.x2+xy
C.(x2+xy)(x2-y2) D.x(x+y)(x-y)
17.(2022河南新乡原阳月考)关于,,的通分过程,不正确的是( )
A.最简公分母是(x-2)(x+3)2
B.=
C.=
D.=
18.通分:
(1),; (2),;
(3),; (4),.
能力提升全练
19.(2022湖南怀化中考,2,★☆☆)代数式x,,,x2-,,中,属于分式的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
20.【易错题】(2023河南南阳桐柏期中,3,★☆☆)若分式的值为零,则x的值是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.0
21.(2023吉林长春德惠期中,5,★★☆)下列各式从左到右的变形正确的是( )
A.= B.=3c
C.= D.=
22.(2023河南新乡原阳月考,8,★★☆)下列约分:①=;②=;③=;④=1;⑤=a-1;⑥=-.其中正确的有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
23.【新考向·规律探究题】(2023云南曲靖麒麟一模,10,★★☆)观察下列按一定规律排列的分式:-,,-,,…,其中第9个分式是( )
A.- B.- C. D.
24.(2023海南海口期中,14,★★☆)已知的值为5,则分式中的x、y的值均扩大为原来的2倍后的值为 .
25.【跨学科·物理】(2022浙江舟山中考,15,★★☆)某动物园利用杠杆原理称象.如图,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k N.若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 N(用含n,k的代数式表示).
26.(2023安徽中考,15,★★☆)先化简,再求值:,其中x=-1.
素养探究全练
27.【推理能力】定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,那么称这个分式为“和谐分式”.
例如:==+=1+,
==a-1+,
则和都是“和谐分式”.
(1)下列各式中,属于“和谐分式”的是 (填序号);
①;②;③;④.
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式: .
(3)应用:已知关于x,y的方程组有正整数解,求整数m的值.
答案全解全析
基础过关全练
1.B ,,的分母中不含有字母,不是分式;的分母中含有字母,是分式.故选B.
2.答案
解析 由题意得,新能源电车充电1小时续航千米,故充电m小时续航千米.
3.D ∵分式在实数范围内有意义,∴x+1≠0,解得x≠-1.故选D.
4.A A.分母x2+1恒大于0,符合题意;B.当x=-0.5时,2x+1=0,分母为0,不符合题意;C.当x=-1时,x3+1=0,分母为0,不符合题意;D.当x=0时,x2=0,分母为0,不符合题意.故选A.
5.答案 0
解析 由题意得2x=0且x+2≠0,解得x=0,∴当x=0时,分式的值为零.
6.C A.=a3,本选项不符合题意;B.只有当m≠0时,=,本选项不符合题意;C.=,本选项符合题意;D.=,本选项不符合题意.故选C.
7.A 由题意得==,∴如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍,那么分式的值扩大为原来的3倍,故选A.
8.答案 a2-2a a≠±2
解析 的分子、分母同乘(a-2),得A=a2-2a.由a-2≠0,a+2≠0得a≠±2.
9.答案 (1)a2+ab (2)x (3)ab+b
解析 (1)从左到右分母乘a,则分子也乘a,得a(a+b)=a2+ab.
(2)分子x2+xy=x(x+y),从左到右分子除以x,则分母也除以x,得x2÷x=x.
(3)a2+a=a(a+1),从左到右分子乘(a+1),则分母也乘(a+1),得b(a+1)=ab+b.
10.C =-=-.故选C.
11.B ==.故选B.
12.A 是最简分式,故A符合题意;
∵=-1,
∴不是最简分式,故B不符合题意;
∵=,∴不是最简分式,故C不符合题意;
∵=,∴不是最简分式,故D不符合题意.故选A.
13.答案 x-1
解析 原式==x-1.
14.答案 4
解析 ∵=,
∴=.
分子、分母同除以b2,得.将=代入,得=4.
15.解析 (1)=-.
(2)=-=-.
16.D ∵=,=,
∴分式,的最简公分母是x(x+y)(x-y).故选D.
17.D A.最简公分母是(x-2)(x+3)2,本选项正确;
B.=,通分正确;
C.=,通分正确;
D.通分不正确,分子应为2×(x-2)=2x-4.故选D.
18.解析 (1)最简公分母为12x3y2,
=,=.
(2)最简公分母为2(a+3)(a-3),
=,=.
(3)最简公分母为(a-3)2(a+3),
=,=.
(4)最简公分母为2(a-1)(a+3),
===,
==-=-.
能力提升全练
19.B 分式有,,,共3个,故选B.
20.A 解题时易忽略分母不等于零的情况.分式值为0,只需分子等于0,且分母不等于0,故解得x=3.故选A.
21.D =,故选项A不符合题意;=1+,故选项B不符合题意;==,故选项C不符合题意;==,故选项D符合题意.故选D.
22.A ②=,从左到右分子、分母都减m,不符合分式的基本性质,等式不一定成立,故②错误;
③=,从左到右分子、分母都减1,不符合分式的基本性质,等式不一定成立,故③错误;
⑥=-从左到右分子、分母都除以(x-y),应得,故⑥错误;易知①④⑤正确.故选A.
23.B 观察分式-,,-,,…,可知第n个分式为(-1)n×.
当n=9时,第9个分式为-,故选B.
方法解读 本题属于分式的规律探究题,解决规律探究题的关键是由特殊到一般,根据特殊的代数式归纳出一般的规律,进而应用这一规律解题.
24.答案 10
解析 由题意得===2×5=10.
25.答案
解析 如图,设装有大象的铁笼的重力为a N,将弹簧秤移动到B'的位置时,弹簧秤的读数为k' N,
由题意可得BP·k=PA·a,B'P·k'=PA·a,
∴BP·k=B'P·k',
又∵B'P=nBP,
∴k'===,即弹簧秤的读数为 N.
26.解析 原式==x+1,
当x=-1时,原式=-1+1=.
素养探究全练
27.解析 (1)①③④.
(2)===x+7+,故答案为x+7+.
(3)解方程组
得
∵方程组有正整数解,
∴可得且5能被m+2整除,
又∵m取整数,
∴m的取值为-1或-7.
