上海市进才中学2023学年第一学期12月月考
（时间 90 分钟，满分 100 分）
高二年级数学试题
一、填空题（满分42分，1-6题每题3分，7-12题每题4分）
1．过点且与直线平行的直线的一般方程为 ．
2．在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 .
3．已知圆与圆内切，则 .
4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
5．已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 .
6．已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 . ①④
①．，则 ②．，则
③．，则 ④．，则
7．若直线的倾斜角的取值范围是 .
8．已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
9．已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为.
定义法：
10.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形。在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 .
11．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .
12．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案）
13．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）C
A． B． C． D．
14．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）A
A． B．
C． D．
15．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）C
A． B．
C． D．
16．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）B
A． B． C． D．5
三、解答题（本大题共5题，满分48分，解答要有论证过程与运算步骤）
17.（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分 ．
已知直线：与直线：，.
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的方程.
（1）由题意得：，解得：或0，
经检验，均满足要求，所以或0；
（2）将点代入中，，解得：，
因为直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，
当两截距均为0时，设直线l为，代入，可得，
此时直线l为；
当两截距不为0时，设直线l为，代入，可得，
故此时直线l为；
综上：直线l的方程为或.
18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分 ．
如图，已知三棱锥中，平面，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求三棱锥的表面积.
（1）解：因为，，，则，
则，所以，.
因为平面，、平面，所以，，，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为，则，
设点到平面的距离为，由，即，
可得.
（2）解：因为平面，平面，则，
所以，，，
故三棱锥的表面积为.
19. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分 ．
已知直线：和圆：.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线方程.
（1）设与直线垂直的直线为
圆可化为，圆心为，
又因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线方程为.
（2）设与直线平行的直线为.
又因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以，或5，
故所求直线方程为或.
20. （本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．
已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
（1）解：设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
（2）解：将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离，
则；
（3）解：圆是以为圆心，半径的圆，
圆是以为圆心，半径的圆，
所以①，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．
设为关于x轴的对称点，则，代入①式得：
，当且仅当共线时，取等号．
所以的最小值为．
21. （本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．
已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为. 已知直线与椭圆交于两点，且与轴，轴交于M两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值；
（3）若点，求证：为定值.
（1），，代入得.
又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，
以上各式联立解得，则椭圆方程为.
（2）直线与轴交点为，与轴交点为，
联立消去得:，
设，则
解得:.由得;
（3）证明：由（2）知
，
为定值.
2023学年第一学期12月月考高二年级数学试题
一、填空题（满分42分，1-6题每题3分，7-12题每题4分）
1．过点且与直线平行的直线的一般方程为 ．
2．在长方体中，，则直线与平面所成角的大小为 ．
3．已知圆与圆内切，则 ．
4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 ．
5．已知直线，平行，则这两条平行直线之间的距离为 ．
6．已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 ．
①．，则 ②．，则
③．，则 ④．，则
7．若直线的倾斜角的取值范围是 .
8．已知直线与圆交于A、B两点，若面积为，则m的值为 ．
9．已知是椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，，则周长的最大值为 ．
10.在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形。在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于，化简得曲线， 则的最大值为 ．
11．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，
使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.
一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.
则该椭圆的离心率为 ．
12．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分，每题只有一个正确答案）
13．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
15．已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为.，是椭圆上的点，的中点为，，过作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
三、解答题（本大题共5题，满分42分，解答要有论证过程与运算步骤）
17.（本题满分6分）本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分 ．
已知直线：与直线：，.
(1)若，求m的值；
(2)若点在直线上，直线l过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l的一般方程.
18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分 ．
如图，已知三棱锥中，平面，，，，.
(1)求点到平面的距离；
(2)求三棱锥的表面积.
19. （本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分 ．
已知直线：和圆：.
(1)求与直线垂直且经过圆心的直线的一般方程；
(2)求与直线平行且与圆相切的直线的一般方程.
20. （满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．
已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．
(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；
(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；
(3)若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值．
21. （满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．
已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点Q的坐标为，求证：为定值.
