新泰中学 2023 级高一上学期第二次大单元考试
数学答案 2023.12
一、单选题
1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.C 8.B
二、多选题
9.AD 10.ABD 11.ABC 12.BC
三、填空题
4 1 2
13.-2 14.2 3 1 15. 16. , 2, 3 3 3
四、解答题
17.【解】
sin(2 ) cos( ) cos 7 cos
2 2 sin ( cos ) sin ( sin )
（1) tan
cos( )sin(3 )sin( )sin 5 cos sin ( sin ) cos
…5分
2
π
（2）因为 π2
所以 sin 0,cos 0
cos sin 1 sin 2 cos sin cos 2
2 1 cos2 1 cos sin 2 sin 2
cos sin cos
sin sin 2
cos cos
0
sin sin ……………………10分
18.【解】(1).∵ 2 2 + 2 = 1,
∴ = 1 ………………2分
∵ 5 2 2 > 0,
5
∴ 0 < < ∈
2
1
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
即 = 1或 2 ……………………5分
∵ 在 0, + ∞ 上单调递增, 为偶函数
∴ = 2即 = 2 …………………………6分
(2)由题可知∵ 2 + 3 = 7
+ 1 + 1
∴ 2 + 1 + 3 + 1 = 12 + = 1 ………………………………
6 4 分
3 2 + 1 + 1 3 2 3 + 1 + 1 1
∴ + = +6 4 + = 1 + + ≥ 1 + 2 = 2… + 1 + 1 + 1 + 1 4 + 1 3 + 1 4 分
3 +1 +1
当且仅当 = 2 = 3 + 1,即 = 2, = 1时等号成立.
4 +1 3 +1
3 2
所以 + 的最小值是 2 ………………………………12分
+1 +1
19. a【解】（1）由题知 2 0，则a 42
所以 f (x)
4
x
x ………………2分
对 x1， x2 (0, )，且 x1 x2
则 f (x1) f (x
4
2 ) x1 (x
4 4
) (x x )(1 )
x 2 x 1 2 x x ………………4分1 2 1 2
因为0 x1 x2
4
所以 x1 x2 0，1 0x1x2
所以 f x1 f x2 0即 f x1 f x2
所以函数 f x 在 (0, )上单调递增. …………………………6分
（2）由（1）知， f (x) 4 x x
f ( x) x 4因为 f (x)x
所以 f x 为奇函数
由 f t 2 3 f 2t 2 t 1 0 2得 f t 3 f 2t 2 t 1
2
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
即 f t 2 3 f 2t 2 t 1 ……………………9分
2
又 t2 3 0，2t 2 t 1 2
1 7
t
0
4 8
由（1）知 t 2 3 2t 2 t 1
所以 1 t 2 …………………………12分
20. π 2 2 π 2 π 98【解】（1）∵ cos x ，∴ sin x 1 cos x 4 ………………2分 10 4 4 100
x π 3π π π π π 又∵ , ，∴ x ,2 4 4 4 2 ，∴
sin x 0
4
∴ sin
x
π 98 7 2
4 100 10 ……………………4分
∴ sin x sin
π π
x
4 4
sin x π π π cos cos x π 4 4
sin
4 4
7 2 2 2 2
10 2 10 2
4
5
sin x 4∴ 5 ………………6分
4 π 3π 3
（2）由第（1）问得， sin x ， x , ，∴ cos x 1 sin2 x 5 2 4 5
所以sin2x 2sinxcosx
24
， cos2x 2cos2 x 1
7
25 25 ……………………9分
sin 2x π sin 2xcos π cos 2xsin π 24 7 2 17 2所以 4 4 4 25 25 2 50 ………………12分
21. 1 f (x) 3 sin 2x 3【解】（ ） 2sin 2x 1 3 sin 2x 3 cos2x2 2 2 2
3sin 2x 3 ……………………3分
3 5 11
因为：2k 2x 2k k x k 2 3 2 12 12
5 11
所以函数的单调递减区间是[k , k ] (k Z )12 12 ………………6分
（2）由题可知， g(x) 3sin(x ) 3sin(x )4 3 12 ……………………8分
1 x 3 1 2因为 x 4 4 3 12 3
3
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
3
所以 sin(x
) 1
2 12
g(x) [ , 3 ] 3故 在 4 4 上的值域为
[ , 3]
2 . ……………………12分
a
22.【解】（1 2 ） f (1) 2 3 ，解得：a 1 ………………1分
1 2
x x
所以 f (x)
2 2
x2
1
4
故 f ( 2) 4 15 ． ………………3分
4 16
（2） f (x)是奇函数
证明如下： f (x)的定义域为{x∣x 0}
x x x x
f ( x) 2 2 2 2 f (x)
( x)2 x2
所以 f (x)是奇函数． ………………7分
3 x2 f (x) m 2（ ） m 1，即2x 2 xx (m 2) 2 x m 12
x x
整理得: 2 2 1 1 2 x m
2x 22 x 1 2x x两边同乘以 ，得 2 1 m
2 x x
当 x (0, ) x
2 2 1 1
时，2 1 0，所以上式等价于m x 2x ………………9分2 1 2x 1
1 1
因为2x x 2
x 1 x 1 2 2x 1 1 1 32 1 2 1 2x 1
当且仅当 2x 1 1，即 x 1时等号成立
所以m的取值范围是 ( ,3]．……………………12分
4
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}新泰中学 2023 级高一上学期第二次大单元考试
数学试题 2023.12
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.）
1.集合M {x | lg(1 x) 1},N {x | 1 x 1},则M N （ ）
A．（﹣9，1）B．（﹣9，1] C．[﹣1，1] D．[﹣1，1）
2.在下列区间中，方程 2x x 0的解所在的区间是（ ）
A． ( 2, 1) B． ( 1,0) C．(0,1) D． (1, 2)
3.设a 0.30.2，b cos0， c log3 0.2，则（ ）
A． c a b B． a b c C．b a c D．b c a
4.若 tan 2 sin 1 sin 2 ，则 （ ）
sin cos
A 2 2 6 6． 5 B． 5 C． 5 D． 5
5.定义在 R 上的偶函数 f (x)满足：对任意的 x1, x [0, ), x x
f x2 f x1
2 1 2 ，有 0x x ，2 1
且 f (2) 0，则不等式 xf (x) 0的解集是（ ）
A． ( 2,2) B． ( 2,0) (2, )
C． ( , 2) (0,2) D． ( , 2) (2, )
6. π 将函数 y cos 2x 3 向左平移
个单位后所得图象关于原点对称，则 的值可能
为（ ）
A π B π． 6 ． 6 C
π 5π
． 3 D． 12
2
7.函数 f (x) x cos x x x 的大致图象为（ ）e e
A． B．
1
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
C． D．
x2 2x 3, x 08.已知函数 f x ，若关于 x的方程 f x aln x x 0 有四个实数根，则实 ，
数 a的取值范围为（ ）
A． ( , 4) B．[3,4) C． (0，3] D． (0, 4)
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分.）
9.下列转化结果正确的有（ ）
A． sin17 1 B． tan 11 3 6 2 6 3
C 7 ． 150 化成弧度是 6 D．12 化成度是15
1 x
2 4x 3
10.已知函数 f x ，则（ ）
2
A．函数 f x 的定义域为 R B．函数 f x 的值域为 0,2
C．函数 f x 在 2, 上单调递增 D．函数 f x 在 2, 上单调递减
11.已知函数 f x Asin x (其中 A 0， 0， )的部分图象如图所示，则
下列结论正确的是（ ）
A． f x 2sin 2x
6
B．函数 f x 的最小正周期为
C ．函数 f x 的图象关于点 ,012 对称
D．函数 f x 的图象关于 x 2 直线对称
12．符号[x]表示不超过 x的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数：
2
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
f(x)＝x－[x]，则下列命题正确的是( )
A．f(－0.8)＝0
B．当 1≤x<2时，f(x)＝x－1
C．函数 f(x)的定义域为 R，值域为[0，1)
D．函数 f(x)是增函数且是奇函数
三、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 f（x）＝ax+1+1（a＞0且 a≠1）的图象都过定点 P，且点 P在角θ的终边
上，则 tanθ＝ ．
14. 3若 x 1，则 x x 1的最小值是 .
15 5 3 ．当 0, 时，若 cos ，则 tan
6 5 6
的值为 ．
16. f x log ax2函数 a 4x 9 在区间 1,3 上严格递增，则实数 a的取值范围
是 ．
四、解答题（本题共 6 小题，共 70分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，
解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17.（本题 10分）
（1）
sin(2 ) cos( ) cos cos 7
2 2
cos( )sin(3 )sin( )sin 5
2
π cos sin 1 sin 2 （2）若 π 2 ,化简 1 cos2 1 cos2
18.（本题 12分）
已知幂函数 = 2 2 + 2 5 2 2 ∈ 是偶函数,且在 0, + ∞ 上单调
递增.
(1)求函数 的解析式;
3
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
(2)若实数 , , ∈ + 满足 2 + 3 = 7 , 3求 + 2 的最小值.
+1 +1
19.（本题 12分）
a
已知函数 f (x) x f 2 0x，且 .
(1)判断函数 f x 在 (0, )上的单调性，并用定义证明；
(2) 2 2解不等式 f t 3 f 2t t 1 0 .
20.（本题 12分）
cos x π 2
π 3π
已知 4
， x ,2 4 ． 10
(1)求sin x的值．
π
(2) 求sin 2x 的值．
4
21.（本题 12分）
设函数 f (x) 3sin xcos x 3sin2 x
3
.
2
（1）求函数 f (x)的单调递减区间；
（2）将函数 y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再
3
将得到的图象向左平移 4个单位，得到函数
y g(x)的图象，求 g(x)在[ , ]4 4 上
的值域.
22.（本题 12分）
x x 3
已知函数 f (x)
2 a 2
，且 f (1) ．
x2 2
(1)求a及 f ( 2)的值；
(2)判断 f (x)的奇偶性并证明；
(3)若当 x (0, )时， x2 f (x)
m 2
x m 1，求m的取值范围．2
4
{#{QQABIYAAggioABJAABhCQQUoCgAQkBCACCoOQAAAsAABgBFABAA=}#}
