“卓越县中联盟”
2024届高三上学期第三次教学质量检测
数 学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则在下列关系①；②；③；④中，能作为“”的必要不充分条件的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知数列满足，，若，则正整数k的值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若单位向量，满足，向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，M为QG的中点．过EM作截面将此四棱锥分成上 下两部分，记上 下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点（A在x轴上方）．A关于x轴的对称点为D，连接DB并延长交x轴于点E，若，，成等比数列，则椭圆的离心率e的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若存在实数a，b，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．
C．事件M与事件不相互独立 D．，，是两两互斥的事件
10．已知函数（ ）
A．是的周期 B．的图象有对称中心，没有对称轴
C．当时， D．对任意，在上单调
11．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
12．在三棱锥中，，，且，则（ ）
A．当为等边三角形时，，
B．当，时，平面平面BCD
C．的周长等于的周长
D．三棱锥体积最大为
三 填空题：本题共4小题，每空5分，共20分．
13．已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则______．
14．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为______．
15．在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面．如果用坐标平面，，分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）．已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为______．
16．已知，关于x的方程有且仅有一个解，则t的取值范围是______．
四 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
（Ⅰ）若，，求的斜60°坐标；
（Ⅱ）在平行六面体中，，，，N为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
18．（12分）
已知椭圆C：的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴，．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线（且）与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值．
19．（12分）
设数列的前n项之积为，满足．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项之和为，证明：．
20．（12分）
七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型．为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型．有数组和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”．设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数．
（Ⅰ）请直接写出，的值；
（Ⅱ）已知．
①对和进行随机配对，记X为“正确配对”的个数．请写出X的分布列并求；
②试给出的证明．
21．（12分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
