邵东创新实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
本试卷分为问卷和答卷。考试时量120分钟，满分150分。请将答案写在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
A． B． C． D．
2．已知复数，其中若为纯虚数，则
A． B． C． D．
3．双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．向量，，，且，则实数λ=
A．3 B． C．7 D．
5．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么△ABC外接圆的半径为
A．2 B．4 C． D．8
6．在棱长为1的正方体中，
A．1 B． C． D．2
7．设，分别是椭圆E：的左 右焦点，若椭圆E上存在点P满足，则椭圆E离心率的取值范围为
A． B． C． D．
8．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．研究表明，由于审美主体的生活经验、审美趣味的不同，人们对审美评价尺度的把握和评价所得的结论也会有所不同.下图是两位同学对20件美术作品的评分，则下列说法正确的是
A．同学评分的最大值大于同学评分的最大值
B．同学评分的方差小于同学评分的方差
C．同学评分的平均值大于同学评分的平均值
D．同学评分超过同学评分的美术作品的件数小于同学评分不超过同学评分的美术作品的件数
10．设，为实数，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则下列说法正确的是
A． B． C． D．左焦点为
11．函数的部分图象如图所示，则
A．函数的最小正周期为
B．在区间上单调递减
C．的图象关于直线对称
D．将的图象向左平移个单位长度可得的图象
12．若动点满足（且）其中点是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则
A．圆的方程为
B．若圆与线段交于点，则
C．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
D．设动点，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如果log3m＋log3n=4，那么m＋n的最小值是 .
14．设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是 .
15．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过双曲线C上一点P向y轴作垂线，垂足为Q，若|PQ|=|F1F2|且PF1与QF2垂直，则双曲线C的离心率为 。
16．已知函数是偶函数，当时，，关于x的方程有且仅有6个不同的实根，则实数a的范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）直线l经过两直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P(a,1)到直线l的距离为，求实数a的值．
18.（12）某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，的分组作出频率分布直方图如图所示．
（1）求频率分布直方图中的值
（2）若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率：
（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分
19．（12分）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
（1）求的长；
（2）求cos〈，〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
20．（12分）已知函数．
（1）求函数在时的值域；
（2）设是第二象限角，且，求的值．
21．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.
（1）证：MN∥平面BDE；
（2）求二面角C－EM－N的正弦值.
22．（12分）设A，B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点G满足．
（1）求点G运动的曲线C的方程；
（2）直线与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，当k为何值，恒为定值，并求此时面积的最大值．
试卷第1页，共3页邵东创新实验学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
D C C C A B D A
解析：
7．由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，代入可得
所以，由，
所以整理可得：消去 得：
所以，即可得：.
故选：D.
8.由题意得：因为，为中点所以
又，与交于点A，平面，平面
所以平面
以点为原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，所以
所以又，，
设平面的法向量，则
令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．AC 10．BCD 11．ACD 12．ABD
解析：
9．对于选项A，同学评分的最大值接近9，同学评分的最大值小于5，故A正确；
对于选项B，同学评分波动比较大，同学评分波动比较小, 同学评分的方差大于同学评分的方差，故B错误；
对于选项C ，同学的评分在0到9之间变化，同学的评分在0到5之间变化，同学评分的平均值大于同学评分的平均值，故C正确；；
对于选项D，同学评分超过同学评分的美术作品的件数大于同学评分不超过同学评分的美术作品的件数，故D错误,
故选：AC。
10．根据题意可知：，且解得：，
故A错误，B、C正确；则，所以左焦点为，故D正确.
故选:BCD.
11．由图象知：，则，由，得，则，
又，则，解得，则，
则，故A正确；
由，得，又在上递增，在上递减，故B错误；
由，故C正确；
将的图象向左平移个单位长度得到，故D正确，
故选：ACD
12．设，由得，
整理得，即，故A正确；
在上，所以，故B正确
过圆心且与直线平行的直线方程为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，
因为，所以在直线与直线之间的圆弧上有两个点到直线直线的距离为，在直线的另一侧的圆上还有两个点到直线的距离为，共有4个点，故C错误；
设动点，所以，
则，即求圆上的点到点的距离的平方减去25的最大值，转化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可，所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．18 14． 15． 16.
解析：
15．设双曲焦距为2c,不妨设点 P 在第一 象限，
由题意知PQ∥F F , 由 |PQ |= |F F |且 PF 与 QF 垂直可知，四边形PQF F
为菱形，且边长为2c, 而△QF O 为直角三角形， |QF |=2c,|F O|=c,
故∠F QO=30°, ∴∠QF O=60°, 则∠F QP=120°,
故 |PF |- |PF |=2c-2c=2a,
即离心率
16.根据题意作出的图象， 令，则方程为，若方程有且仅有6个不同的实根，则方程有两个实数根，所以其中一个根为0，且另一根在区间，
所以，解得，所以a的取值范围.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）解：(1)由得交点为(1,6)， ................3分
又直线l垂直于直线x－2y－6＝0，所以直线l的斜率k＝－2.
故直线l的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0. ................5分
(2)由于点P(a,1)到直线l的距离等于，
则＝，解得a＝1或a＝6. ................10分
18．（12分）解：由题意可知
解得 ............4分
抽取的样本中，成绩不低于分的学生所占的比例是
所以若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于分的概率为 ............8分
因为
因此估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分为 ................12分
19．（12分）解：如图，建立空间直角坐标系Oxyz.
(1)依题意得，B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴|B|＝＝ ......4分
(2)依题意得，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，则·＝3，||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝ ..............8分
(3)证明：依题意得，，
∴＝×(－1)＋×1＝0，∴⊥ ，即C1M⊥A1B ...........12分
20．（12分）解：(1)由，
................3分
∵，∴∴，
则的值域． ................6分
∵，∴，则
即，又α为第二象限的角，∴ ................9分
故 ...12分
21．（12分）解：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)． ................2分
(1)证明：＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z＝1，可得n＝(1,0,1)..........4分
又＝(1,2，－1)，可得·n＝0.因为MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE....6分
(2)易知＝(1,0,0)为平面CEM的一个法向量．
设＝(x，y，z)为平面EMN的法向量，则因为＝(0，－2，－1)，＝(1,2，－1)，所以不妨设y＝1，可得＝(－4,1，－2)．....9分
因此有cos〈，〉=＝－，于是sin〈，〉＝.
所以，二面角C－EM－N的正弦值为 ................12分
22．（12分）
解：（1）设，，，则有，，，
整理可得. ................4分
（2）设，，联立，消元得，
由，得，
，， ................6分
， ................8分
当为定值时，即与无关，故，得，
此时.......10分
又点O到直线l的距离，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时成立，所以面积的最大值为1．...................12分
试卷第1页，共3页
