福建省五校协作体2023-2024学年高三上学期11月联考
数学参考答案
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-4．CBCC 5-8.ADBD
8．【解析】正三棱锥中，，，∴平面，
又平面∴，，
又三棱锥为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，
设可得正三棱锥的表面积为．设外接球的
半径为，则，
，则外接球的表面积
所以两表面积的比为，故选：D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BC 10.ACD 11.AD 12.ABD
12．【解析】,且当时,.两边同时取倒数可得:,
即,且,数列是等差数列,其公差为2,首项为2,所以A正确.
,可得,
当时,,所以;
所以是先递减再递增的数列，当 时，，所以最大，最小.B正确，C错误..
对于D.当时,,又时,,对于上式也成立.,
时,,
，D正确
故选ABD
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．31 14．120 15． 16．
16．【解析】设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且又，
则公切线的斜率，则所以，
则公切线方程为，即
代入得：，则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则
令得，当时，单调递增，时， 单调递减，
又可得，则时，时，
，则函数的大致图象如右：
所以，解得故实数的取值范围为.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）由已知：， ……1分
得， ……2分
所以或（舍去）， ……3分
即 ……4分
若，则； ……5分
（2）由题意得
， ……7分
而，所以， ……8分
故，即. ……10分
18．解：（1）由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，，此时，. ……2分
因为函数的图象关于直线对称，则，
，，，，则……4分
令，得
，∴取， ……6分
因此，函数在区间上的递增区间为. ……7分
（2）又因为，所以函数图象的对称中心为，…8分
则，所以， ……10分
解得， ……11分
当时，取到了最小正值为. ……12分
19．解: （1）设等差数列的公差为，则等差数列通项公式为，
所以，
所以，所以，所以， ……3分
又因为，所以当时，，
两式相减可得，即，
令，则，解得，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以. ……6分
法二、由可得，，
所以，解得，（其他同上）
法三、由可得
解得，（其他同上）
（2）由（1）可知，
所以数列的前项为数列的前52项去除 ……10分
所以数列的前50项和
. ……12分
20．解:（1）证明：连接，，在中，
，，，
，
……2分
可得，即，同时，可得， ……3分
同理可得， ……4分
因为，，且平面，平面，，
所以平面； ……5分
又因为平面，所以. ……6分
（2）解：在中，易得，且，
所以，同时，，
以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，如图所示，
建立空间直角坐标系 .……7分
其中，，，，
，，， ……8分
设向量为平面的法向量，
满足，不妨取， ……10分
直线与平面所成角的正弦值为：
. ……12分
21．解:（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为． ……1分
（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，
． ……2分
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为，依题意，可取0，1，2，3，
所以，，
，．所以的分布列为
0 1 2 3
…5分
所以． ……6分
（2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；
②第次由小明投掷，第次由小芳投掷，其概率为
． ……8分
因为①②两种情形是互斥的，所以
， ……10分
所以．
因为，所以是以为首项， ……11分
为公比的等比数列，所以，即. ……12分
22．（1）解：因为，所以， ……1分
因为在处取得极值，所以，解得． ……2分
验证：当时，，
易得在处取得极大值． ……3分
（2）解：因为，
所以． ……4分
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
②若，，
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减……8分
（3）证明：当时，，
因为，所以，
即，
所以. ……9分
令，，则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为． ……10分
所以，
即，所以或． ……11分
因为为正实数，所以．
当时，，此时不存在满足条件，
所以． ……12分“宁化、永安、尤溪、大田、沙县一中”五校协作
2023—2024 学年高三 11 月联考
高三数学试题
（考试时间：120分钟 总分 150分）
试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一.选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．设全集U 2,4,6,8 ，若集合M 满足 M 2,8U ，则（ ）
A．4 M B．6 M C．4 M D．6 M
2
2．复数 z 1 i，则 z z （ ）
A． 5 B． 10 C．2 5 D．2 10
3．已知向量a , b 满足a ( 3,1) ， b 2 ， a b 2 ，则 a 与b 的夹角为（ ）
3 5
A． B． C． D．
6 4 4 6
x 7
4．若偶函数 f x 满足 f x 2 f x 0，当 x 0,1 时， f x 1，则 f （ ）
2 2
7 5 3
A．2 B． C． D．
4 4 4
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852 年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”
问题的解法传至欧洲．1874 年，英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出的关于同
余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整
除的问题，现有这样一个整除问题：将 1 至 2022 这 2022 个数中，能被 5 除余 1 且被 7 除余 1
的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 an ，则此数列的项数为（ ）
A．58 B．57 C．56 D．55
6．下列说法正确的是（ ）
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{#{QQABaYaQggiIABIAAAgCUwWACAIQkBGCAKoOBEAMIAABgRNABAA=}#}
A．随机变量 X ~ B 3,0.2 ，则P X 2 0.032
2
B．若随机变量 X ~ N 3, ， P X 2 0.62 ，则P 3 X 4 0.24
C．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互
斥而不对立的事件
D．从除颜色外完全相同的10个红球和20 个白球中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超
几何分布；
2
7．已知函数 f x ax 4ax ln x ，则 f x 在 1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
1 1 1 1 1
A．a , B．a , C．a , D．a ,
6 6 2 2 6
8．已知在正三棱锥 A BCD中，E 为 AD的中点， AB CE ，则正三棱锥 A BCD的表面积与该
三棱锥的外接球的表面积的比为（ ）
6 3 2 3 3 3 3 3
A． B． C． D．
4 4 4 6
二.多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
5
9．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点P , x ，
2
2
且 sin x ，则 x 的值可以是（ ）
3
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
10．一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示， B F 90 , A 60 , D 45 , 且BC DE ，
现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥F CAB，取BC 和 AC 中点O 、M ，则下列判断中正
确的是（ ）
A．直线 BC⊥面OFM
B．三棱锥F COM 体积为定值.
C． AC 与面OFM 所成的角为定值
D．设面 ABF 面MOF l ，则 l ∥ AB
11．已知 x y3 5 15，则实数 x, y满足（ ）
1 1 1
A． x y B． x y 4 C． D． xy 4
x y 2
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{#{QQABaYaQggiIABIAAAgCUwWACAIQkBGCAKoOBEAMIAABgRNABAA=}#}
1 S
12．数列 n 1an 的前 n 项和为 Sn ， a 1 ，且当n 2 时， S n .则下列结论正确的是（ ）
2 2S 1n 1
1
A. 是等差数列 B． an 既有最大值也有最小值.
Sn
1 2 2 2 2 2
C. a 3 D. 若b 2n 1 n an ,则b b b b 2 3 4 n 1 .
12 3
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
三.填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13．等比数列 a 的前nn 项和 S ，若a 0 q 1n n ， ，a a =203 5 ，a a =64，则S =2 6 5 ___ ．
14．楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏，关掉的灯不能相邻，则关灯方案有___ 种．
x
4 1
15．已知函数 f x ，则不等式2xf x 3 0的解集是___ __．
x
2
16．已知函数 f x 2 lnx和 g x a x ，若总存在两条不同的直线与函数 f x 和 g x 图象都相
切，则实数a 的取值范围为___ __．
四.解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别是a,b,c .已知b c 2acosB .
π
（1）若B ，求 A；
12
b c a b c a
（2）求 的取值范围.
ac
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 f x Asin x A 0, 0,| | 的最大值为 3 ，其相邻两个零点之间
2
的距离为 ，且 f x 的图象关于直线 x 对称.
2 3
（1）当 x , 时，求函数 f x 的递增区间.
6 4
（2）若对任意的 x R，f x f 2t x =0 恒成立，求实数 t 的最小正值.
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{#{QQABaYaQggiIABIAAAgCUwWACAIQkBGCAKoOBEAMIAABgRNABAA=}#}
19．（本小题满分 12 分）
2
等差数列 a n 1 a 4n n k b Tn 满足 n ， k R .数列 n 的前 n 项和 n 满足2T 3b 3n n .
（1）求数列 a 和 bn n 的通项公式；
（2）对于集合 A，B ，定义集合 A B x x A且 x B .设数列 a bn 和 n 中的所有项分别
构成集合 A，B，将集合 A B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 cn ，求数列 cn
的前50项和 S50 .
20．（本小题满分 12 分） E
F
在多面体 ABCDEF 中， AD//BC //EF ，且 AD CD DE 4，
π
BC EF 2， BCD FED
3
D
C
（1）证明: AD BF ；
A B
（2）若BF 2 6 ，求直线CD与平面 ABF 所成角的正弦值.
21．（本小题满分 12 分）
小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由
原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷．
（1）规定第1次从小明开始．
（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为 X ，求随机变量 X 的分布列与期望．
（2）若第1次从小芳开始，求第n 次由小芳投掷的概率Pn ．
22．（本小题满分 12 分）
2
已知函数 f x ln x x ax ，a R ．
（1）若 f x 在 x 1处取得极值，求a 的值；
（2）设 g(x) f x (a 3)x ，讨论函数 g(x) 的单调性；
1
（3）当a 2时，若存在正实数 x1 ， x2 满足 f (x ) f (x ) 3x x 01 2 1 2 ，求证： x x 1 2
2
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{#{QQABaYaQggiIABIAAAgCUwWACAIQkBGCAKoOBEAMIAABgRNABAA=}#}
