课时作业(二) 向量的加法
[练基础]
1．在平行四边形ABCD中，＋等于( )
A． B．
C． D．
2．化简＋＋＋的结果等于( )
A． B．
C．D．
3.
如图所示，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．
B．
C．
D．0
4．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是( )
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
5．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋) km
6．(多选)在四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A．＋＋＝
B．＋＋＋＝0
C．＋＝
D．＋＝
7.＋＋＋＝________．
8．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，则|＋|＝________．
9．如图，已知向量a、b、c，求作和向量a＋b＋c.
10.
P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC，求证：＋＝＋.
[提能力]
11．(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A． B．
C． D．
12.
(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是( )
A．＋＝ B．＋＋＝
C．＋＋＝ D．＋＋＝0
13．菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，则|＋|＝________．
14.
如图所示，O是线段A0A2 021外一点，若A0，A1，A2，…，A2 021中，相邻两点间的距离相等，＝a，＝b，＋＋…＋＝________(用a，b表示).
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力分别为多少？
[培优生]
16．已知点O是四边形ABCD内一点，判断结论：“若＋＋＋＝0，则该四边形必是矩形，且O为四边形ABCD的中心”是否正确，并说明理由．
课时作业(二) 向量的加法
1．解析：根据向量加法的平行四边形法则可得＋＝.
答案：A
2．解析：＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
答案：B
3.
解析：正六边形ABCDEF中，
∵＝，＝；
∴＋＋＝＋＋
＝＋＋
＝.
答案：C
4．解析：因为＋＝，所以选项A不成立；因为＝＋＝－，所以选项B不成立；因为＝＋＝＋，所以选项C成立；因为＝＋＝－，所以选项D不成立．
答案：C
5.
解析：如图，
易知tanα＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又＝2km.
答案：B
6．解析：由向量的三角形法则可得＋＋＝，＋＋＋＝0，＋＝，ABD正确，只有当四边形ABCD为平行四边形时，＋＝才成立，故C错误．
答案：ABD
7．解析：＋＋＋＝＋＋＋＝.
答案：
8．解析：＝＝＝.
答案：
9．解析：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋，＝a＋b＋c，即为所求．
10．证明：＋＝＋＋＋
∵BP＝QC，∴＝－，∴＋＝0
∴＋＝＋.
11．解析：(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋＋＝.
答案：D
12．解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确．
答案：ACD
13．解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，
所以△ABD为等边三角形，
所以|＋|＝||＝||＝1.
答案：1
14．解析：设A为线段A0A2021的中点，则A也为线段A1A2020，A2A2019，A3A2018，…，A1010A1011的中点，
由向量加法的平行四边形法则可得OA0＋OA2021＝2＝a＋b，
OA1＋OA2020＝2＝a＋b，
…，
OA1010＋OA1011＝2＝a＋b，
所以OA0＋OA1＋…＋OA2020＋OA2021＝1011(a＋b)，
答案：1011(a＋b)
15．解析：如图，作 OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
设向量，分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且||＝300N．所以||＝||cos30°＝150(N)，
||＝||cos60°＝150(N).
因此这两根绳子的拉力大小分别是150N，150N．
16．解析：该结论不正确．
当四边形ABCD是矩形，点O是四边形ABCD的中心时，必有＋＋＋＝0，反之未必成立．如图所示，设O是四边形ABCD内一点，过点A作AE綊OD，连接OE，ED，则四边形AEDO为平行四边形，设OE与AD的交点为M.过点B作BF綊OC，连接CF，OF，则四边形BOCF为平行四边形，设OF与BC交于点N，于是M，N分别是AD，BC的中点．
∴＋＝，＋＝.
又＋＋＋＝0，
∴＋＝0，且点O是公共点，点M，N分别在OE，OF上，故M，O，N三点共线，且点O为MN的中点．即点O为AD与BC的中点的连线的中点．
同理可证：点O也为AB与CD的中点的连线的中点，∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点，且该四边形不一定是矩形．课时作业(九) 余弦定理
[练基础]
1．在△ABC中，BC＝3，AC＝6，∠C＝120°，则边长AB为( )
A．3 B．3
C．3 D．3
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝3，b＝，则c＝( )
A． B．3－
C．3 D．2
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2－bc，则角A的大小为( )
A． B．
C． D．
4．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a∶c＝2∶，B＝30°，则角C的大小是( )
A．75° B．45°
C．30° D．60°
5．已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a＝b cos C，则△ABC形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．(多选)在△ABC中，＝c，＝a，＝b在下列说法中，正确的有( )
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为钝角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若·＝0，则△ABC为直角三角形
7．在△ABC中，B＝30°，AB＝15，BC＝5，则AC＝________．
8．a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2＋bc＝b2＋c2，则cos A＝________．
9．在△ABC中，已知sin C＝，a＝2，b＝2，求边c.
10．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝－.
(1)求c；
(2)求cos 2B的值．
[提能力]
11．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是( )
A．－ B．－
C．－ D．－
12．(多选)下列命题中，正确的是( )
A．若a，b，c是三角形三边，且a2＋b2－c2>0，则C是锐角
B．在△ABC中，若a2
C．在△ABC中，若4sin A cos A＝0，则△ABC一定是直角三角形
D．任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3
13．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，若cos A＝，a＝，则bc的最大值为________．
14．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)角C的度数为________；
(2)AB的长为________．
15．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，
(1)求BC边的长；
(2)若AD＝BD，求AD的长．
[培优生]
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c∈，a＝1，且ab cos C＋c cos B＝bc，求cos A的取值范围．
课时作业(九) 余弦定理
1．解析：由已知AB＝＝＝3.
答案：A
2．解析：因为A＝，a＝3，b＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
即9＝3＋c2－2c××cos＝3＋c2－c，∴c2－c－6＝0，
∴c＝2或c＝－(舍).
答案：D
3．解析：在△ABC中，因b2＋c2＝a2－bc，
由余弦定理得cosA＝＝＝－，而0
答案：D
4．解析：因为a∶c＝2∶，
所以可设a＝2k，c＝k，
又B＝30°，
所以cos30°＝＝；
解得b＝k
所以a2＝b2＋c2，
所以A＝90°.
所以C＝60°.
答案：D
5．解析：∵a＝bcosC，由余弦定理可得a＝b·，则2a2＝a2＋b2－c2，
则a2＋c2＝b2，所以△ABC为直角三角形．
答案：D
6．解析：如图所示，
△ABC中，＝c，＝a，＝b，
若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；
若a·b＝0，则⊥，△ABC为直角三角形，B错误；
若a·b＝c·b，b·(a－c)＝0，·(－)＝0，·(＋)＝0，
取AC中点D，则·2＝0，⊥
所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；
若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，
即b2＋c2－a2＝2b·c，＝cos (π－A)＝－cosA，
由余弦定理可得：cosA＝－cosA，
即cosA＝0，A＝，即△ABC为直角三角形，D正确．
答案：CD
7．解析：在△ABC中，记a＝BC＝5，b＝AC，c＝AB＝15，又B＝30°，
由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB
＝75＋225－2×5×15×＝75，
解得b＝5，即AC＝5.
答案：5
8．解析：因为a2＋bc＝b2＋c2，且a2＝b2＋c2－2bccosA，所以cosA＝.
答案：
9．解析：因为sinC＝，且0
当C＝时，cosC＝，
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝4，解得c＝2.
当C＝时，cosC＝－，
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcosC＝28，解得c＝2.
综上c＝2或2.
10．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即48＝36＋c2－2×c×6×，
整理，得c2＋4c－12＝0，
解得c＝2；
(2)在△ABC中，由余弦定理得，cosB＝，
得cosB＝，
cos2B＝2cos2B－1＝－.
11．解析：因为a＝8，b＝7，cosC＝，
所以c＝＝＝3，
因为a>b>c，所以A>B>C，
因此cosA＝＝＝－.
答案：C
12．解析：对于A：由余弦定理可得cosC＝>0，又C∈(0，π)，所以C∈，
所以角C是锐角，故A正确；
对于B：由余弦定理可得cosA＝>0，又A∈(0，π)，所以A∈(0，)，
所以角A是锐角，所以B＋C>>A，故B错误；
对于C：因为4sinAcosA＝0，A∈(0，π)，所以sinA≠0，
所以cosA＝0，则A＝，所以△ABC一定是直角三角形，故C正确；
对于D：若三角形三边之比是1∶2∶3，不妨设三边为a，2a，3a，则两短边之和为3a，不满足三角形两边之和大于第三边，故任何三角形的三边之比不可能是1∶2∶3，故D正确．
答案：ACD
13．解析：根据题意，在△ABC中，若cosA＝，a＝，则a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝6，又由(b＋c)2≥4bc，则有4bc－3bc＝bc≤6，即bc的最大值为6.
答案：6
14．解析：(1)∵cosC＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
答案：
15．解析：(1)BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos∠CAB＝32＋62－2×3×6×cos60°＝27，
∴BC＝＝3.
(2)在△ABC和△ABD中
cosB＝＝，
∴＝，
解BD＝2，∴AD＝2.
16．解析：由abcosC＋ccosB＝bc及a＝1得bcosC＋ccosB＝b，
由余弦定理可得b·＋c·＝b,
解得a＝bc，即bc＝1，
又由余弦定理可知cosA＝＝＝.
∵c∈，令f＝x＋，x∈，
易知函数f在上单调递减，在上单调递增，
∴2≤f≤，
则2≤＋c2≤，∴1≤＋c2－1≤，
∴cosA∈.课时作业(六) 向量线性运算的坐标表示
[练基础]
1．已知＝(－2，4)，＝(2，6)，则等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
2．已知向量a、b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( )
A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)
C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，m＋3)，若a∥b，则m＝( )
A．－7 B．－3
C．3 D．7
4．若A(2，1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于( )
A．－1 B．0
C． D．2
5．设向量＝(1，4), ＝(－3，4), ＝(1，0)，则( )
A．∥ B．∥
C．∥ D．∥
6．(多选)若向量a＝(2m，m2)与b＝(m＋1，m2－1)共线，则实数m的值可以为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
7．设A(2，3)，B(－1，5)，且＝3，则点D的坐标是________．
8．已知单位向量a与向量b＝方向相同，则向量a的坐标是________．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
10．已知A，B，C三点的坐标分别为(－2，1)，(2，－1)，(0，1)，且＝3，＝2，求点P，Q和向量的坐标．
[提能力]
11．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝45°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则( )
A．λ＋2μ＝0 B．λ－2μ＝0
C．λμ＝2 D．＝2
12．(多选)已知O为坐标原点，A(2，－1)，B(1，2)，则( )
A．与同方向的单位向量为
B．若＝2，则点P的坐标为
C．若a＝，则a∥
D．若C(1，－3)，则四边形OBAC为平行四边形
13．设＝(2，－1)，＝(3，0)，＝(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
14．已知向量a＝(m，1)，b＝(4－n，2)，m>0，n>0，若a∥b，则＋的最小值为________．
15．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
[培优生]
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2，1)，A(1，0), B(cos θ，t)，
(1)若t＝－，θ∈(0，π)，a∥，求θ的值．
(2)若a∥，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值．
课时作业(六) 向量线性运算的坐标表示
1．解析：＝(－)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1).
答案：D
2．解析：由题可得：把两个坐标相加得到2a＝(4，0)，所以a＝(2，0)，同理把两个坐标相减可得到b＝(－1，3).
答案：C
3．解析：由于a∥b，所以1×(m＋3)＝2×m，解得m＝3.
答案：C
4．解析：由A(2，1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，
可得＝(－3，－3)，＝(1，y＋2)，
则－3×(y＋2)＝－3×1 y＝－1.
答案：A
5．解析：＝(－1，－4)，＝(－3，4)，－1×4≠－4×(－3)，A错误．
＝(－1，－4)，＝(1，0)，－1×0≠－4×1，B错误．
＝－＝(－4，0)，＝(1，0)，－4×0＝0×1，则∥，C正确．
＝(－3，4)，＝－＝(－4，0)，－3×0≠4×(－4)，D错误．
答案：C
6．解析：若向量a＝(2m，m2)与b＝(m＋1，m2－1)共线，则2m×(m2－1)－m2×(m＋1)＝0，∴(m＋1)(m2－2m)＝0，解得m＝0，2，－1.
答案：ACD
7．解析：∵A(2，3)，B(－1，5)，＝3，
所以＝(－1，5)－(2，3)＝(－3，2)，＝－，即＝＋
∴＝＋＝＋3＝(2，3)＋3(－3，2)＝(－7，9).
答案：(－7，9)
8．解析：设向量a＝(x，y)，则，解得或，
由于向量a与向量b方向相同，所以a＝.
答案：
9．解析：由中点坐标公式可得M(2.5，2.5)，N(1.5，0.5)，
∴＝(2.5，2.5)，＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，∴，共线．
10．解析：因为A，B，C三点的坐标分别为(－2，1)，(2，－1)，(0，1)，
所以＝(－2，0)，＝(2，－2)，
所以＝3＝(－6，0)，＝2＝(4，－4)，
设P(x，y)，则有＝(x，y－1)，
所以，解得，
即P点的坐标为(－6，1)，
设Q(m，n)，则有＝(m，n－1)，
所以，解得，
可得Q(4，－3)，
因此向量＝(10，－4).
11．解析：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2).
∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)
则λ＝m，且μ＝m，
∴＝2，即λ－2μ＝0.
答案：B
12．解析：＝(2，－1)，＝(1，2)，则＝－＝(－1，3)，所以与同方向的单位向量为e＝＝，A正确；
对于B，由＝2知：xP＝，yP＝，即P，B错误；
对于C，由a＝(1，－3)，＝(－1，3)，有1×3－(－3)×(－1)＝0，即a∥，C正确；
对于D，＝(1，2)，＝(1，2)，则有∥且||＝||，即四边形OBAC为平行四边形，D正确．
答案：ACD
13．解析：∵A，B，C三点能构成三角形，
∴，不共线．
又∵＝(1，1)，＝(m－2，4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0.解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m≠6}．
答案：{m|m≠6}
14．解析：∵a∥b，∴2m＝4－n 2m＋n＝4，(m>0，n>0)
∴＋＝＝≥＝，
当且仅当＝，即n＝4m，n＝，m＝时，等号成立．
答案：
15．解析：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得k＝－，λ＝－.
(2)＝＋＝－e1－e2－2e1＋e2＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2).
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，
所以＝.
设A(x，y)，则＝(3－x，5－y)，
因为＝(－7，－2)，
所以，解得，
即点A的坐标为.
16．解析：(1)因为＝(cosθ－1，t)，
又a∥，所以2t－cosθ＋1＝0.
所以cosθ－1＝2t.
因为t＝－，所以cosθ＝.
又因为θ∈(0，π)，所以θ＝.
(2)由(1)可知t＝，
所以y＝cos2θ－cosθ＋
＝cos2θ－cosθ＋
＝＋＝2－，所以当cosθ＝时，ymin＝－.课时作业(七) 数量积的定义及计算
[练基础]
1．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135°
C．120° D．150°
2．如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．若|a|＝4，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A．－b B．－b
C．b D．－b
4．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
5．已知单位向量a，b的夹角为60°，ka－b与b垂直，则k的值为( )
A．2 B．
C． D．
6．(多选)下列关于数量积的运算正确的是( )
A．|a·b|＝|a|·|b|
B．|a－b|＝
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角是60°，则(e1－e2)·e1＝________．
8．在菱形ABCD中(＋)·(－)＝________．
9．已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为60°.
(1)计算a·(a＋b)的值；
(2)若a·(a－kb)＝0，求实数k的值．
10．已知非零向量a，b满足|b|＝，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|a|；
(2)当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．
[提能力]
11．AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，＝，则·＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
12．(多选)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝2，则下列结论中正确的是( )
A．a·b＝－2 B．a⊥(a＋2b)
C．|a－b|＝ D．a与b的夹角为
13．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________．
14．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，∠BAD＝90°，点P在线段BC上运动．
(1)当点P是线段BC的中点时，·＝________；
(2)·的最大值是________．
15．已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且(a－2b)⊥b.
(1)求a与b的夹角；
(2)若|a＋b|＝，求|b|的值．
[培优生]
16．如图，一直线经过边长为2的正三角形OAB的中心G，且与OA，OB分别交于点P，Q，设＝a，＝b，若＝m，＝n，m，n>0.
(1)用向量a，b表示；
(2)求·的最小值．
课时作业(七) 数量积的定义及计算
1．解析：∵cosθ＝＝＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
答案：B
2．解析：∵△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，
∴BC＝，
∴·＝1××cos150°＝－.
答案：C
3．解析：∵|a|＝4，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，
∴a在b上的投影向量为：|a|·cos120°·＝－b.
答案：B
4．解析：|a＋2b|＝＝＝＝＝2.
答案：A
5．解析：∵ka－b与b垂直，∴(ka－b)·b＝ka·b－b2＝k×1×1×cos60°－1＝0，
解得k＝2.
答案：A
6．解析：A.|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|，故错误；
B．|a－b|＝＝，故正确；
C．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故错误；
D．由数量积的运算律知：(a＋b)·c＝a·c＋b·c，故正确．
答案：BD
7．解析：∵e1，e2是两个单位向量，它们的夹角是60°，
∴|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝1×1×＝，
∴(e1－e2)·e1＝e－e1·e2＝1－＝.
答案：
8．解析：因为在菱形ABCD中，所以AB＝AD，
从而(＋)·(－)＝2－2＝0.
答案：0
9．解析：(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2×4×cos60°＝8；
(2)a·(a－kb)＝0，即a2－ka·b＝4－k×2×4×cos60°＝4－4k＝0，
∴k＝1.
10．解析：(1)(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－2＝，
∴|a|2＝，|a|＝；
(2)cosθ＝＝＝，
∵0≤θ≤π，∴θ＝，
所以向量a与b的夹角θ的值为.
11．解析：如图所示，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，且＝，即E为OA的中点，
则·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2
＝1×1×cosπ－(＋)·＋＝－1－0＋＝－.
答案：B
12．解析：∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2a·b＋4＝4，
∴a·b＝－，
∴a·(a＋2b)＝0，
∴a⊥(a＋2b)，|a－b|＝＝，
cos〈a，b〉＝＝－，
∴a与b的夹角不是.
答案：BC
13．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此，a·b＋b·c＋c·a＝－.
答案：－
14．解析：由题意∠ABC＝45°，BC＝，
(1)·＝·(＋)＝·＋2＝||||cos (180°－∠ABC)＋||2
＝2××cos135°＋×()2＝－1；
(2)设＝x(0≤x≤1)，
·＝·(＋)＝x·(－x)＝x·－x22
＝x××2×cos45°－2x2＝－2x2＋2x
＝－2＋，
所以x＝时，·的最大值是.
答案：(1)－1 (2)
15．解析：(1)∵(a－2b)⊥b，∴a·b－2b2＝0，∴|a|·|b|cos〈a，b〉－2|b|2＝0，
∵|a|＝4|b|，∴4|b|2cos〈a，b〉－2|b|2＝0，∴cos〈a，b〉＝.
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
(2)∵|a＋b|＝，∴|a＋b|2＝21，即|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝21，
∵|a|＝4|b|，又由(1)知cos〈a，b〉＝，∴|b|2＝1，
∴|b|＝1.
16．解析：(1)延长OG交AB于点D，则点D为AB中点，于是＝；
因为＝(＋)，所以＝×(＋)＝＋＝a＋b；
(2)·＝||·||·cos∠AOB＝m||·n||·cos＝2mn.
由P，G，Q三点共线可知，存在实数λ，使得＝λ，
即－＝λ(－)，可得nb－ma＝λa＋λb.
从而，消去λ可得＋＝3，
因为m，n>0，所以＋≥2，即mn≥，当且仅当m＝n时等号成立．
因此·＝2mn≥，即·的最小值为.课时作业(三十八) 平面与平面平行的性质
[练基础]
1．已知平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
2．两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于同一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
3．如图，已知平面α∥平面β，点P为α，β外一点，直线PB，PD分别与α，β相交于A，B和C，D，则AC与BD的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是( )
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D．正方形
5．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都有可能
6．(多选)下列命题正确的是( )
A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β
B．平面α∥平面β，则平面α内的任意一条直线都平行于平面β
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
7.
用一个平面去截三棱柱ABC A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(把你认为可能的结果的序号填在横线上)
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
8．如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
9．如图所示，A1B1C1D1 ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.
10．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点．
求证：直线EE1∥平面FCC1.
[提能力]
11．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
12．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
13．正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
14．在正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，M，N分别为棱A1D1，A1B1的中点，过点B的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面是________形，面积为________．
15．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
[培优生]
16．如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1.
(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明A1E＝EF＝FC.
课时作业(三十八) 平面与平面平行的性质
1．解析：∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵a α，b β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．
答案：D
2．解析：根据平面与平面平行的性质可知，所得四条直线两两相互平行．
答案：A
3．解析：由题意知：P，A，B，C，D在同一平面内，且平面PBD∩平面α＝AC，平面PBD∩平面β＝BD，∵平面α∥平面β，∴AC∥BD.
答案：A
4．解析：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，
平面ABB1A1∥平面CDD1C1，过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，与平面CDD1C1交于直线D1F.
由面面平行的性质定理，知BE∥D1F.
同理BF∥D1E.
所以四边形D1EBF为平行四边形．
答案：C
5．解析：可将AB与CD想象为同高圆台的母线，显然相交、平行、异面都有可能．
答案：D
6．解析：平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a可能在平面β内，故A错误；平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β，故B正确；一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，由面面平行的判定知，三角形所在的平面与这个平面平行，故C正确；分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线，不可能相交，故D正确．
答案：BCD
7．解析：当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．
答案：②⑤
8．解析：∵平面α∥平面β，∴CD∥AB，则＝，
∴AB＝＝＝.
答案：
9．证明：根据棱台的定义可知，BB1与DD1相交，
所以BD与B1D1共面．
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，
平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥BD.
10．证明：因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，
因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
11．解析：∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.
答案：B
12．解析：
如图所示，A′、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′的中点C′，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.
又C′E∥BB′，∴C′E∥β.
又∵α∥β，∴C′E∥α.
∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α，
∴CC′∥平面α.
∴不论A、B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平面上．
答案：D
13．解析：因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F綊BE，
所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以AF＝B1E＝1.
答案：1
14.
解析：如图所示，截面为等腰梯形BDPQ，且PQ＝2，BD＝4，等腰梯形的高为＝3，
故截面的面积为×(2＋4)×3＝18.
答案：等腰梯 18
15．解析：∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G，
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF；
∵平面ABC∥平面A1B1C1，
平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
16．解析：(1)因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以AB1∥C1D，
又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1 平面AB1D1，B1D1 平面AB1D1，
所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1 平面AB1D1，
所以点E也在平面AB1D1内，
所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于点O，连接C1O，与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，而平面AB1D1∥平面C1BD，
所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF.
同理可证OF∥AE，又因为O为AC的中点，
所以F是CE的中点，即CF＝FE.
因此A1E＝EF＝FC.课时作业(三十二) 异面直线
[练基础]
1．和两条异面直线都垂直的直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．只有一条 D．不存在
2．直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
A．2对 B．3对
C．6对 D．12对
4．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A． B．
C． D．
6．(多选)a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中正确的是( )
A．若a∥b，b∥c，则a∥c
B．若a与b相交，b与c相交则a与c也相交
C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面
D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面
7．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线BA1与DD1所成角的大小为________．
8．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为________．
9．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．
10．如图所示，在长方体ABCD EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角的大小；
(2)求直线AE和BG所成的角的大小．
[提能力]
11.
如图，在正四面体ABCD中，P是底面ABC内一点，则在平面ABC内过点P且与直线AD所成角为60°的直线共有( )
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
12.
(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是( )
A．GH与EF平行
B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角
D．DE与MN垂直
13.
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有________条．
14．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成的角为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为________．
15．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
[培优生]
16．如图，三棱锥A BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
课时作业(三十二) 异面直线
1．解析：由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条．
答案：A
2．解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.
答案：B
3.
解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，
∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，
∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．
答案：C
4．解析：如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．故选A.
答案：A
5.
解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥AB，所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB，
设正方体边长为2a，则由E为棱CC1的中点，可得CE＝a，所以BE＝a，
则tan∠EAB＝＝＝.
答案：C
6．解析：由平行线的传递性知A正确；若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行、相交或异面，B错误；若a与b在两个相交平面内，则a与b可能相交、平行或异面，C正确；若a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误．
答案：AC
7．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AA1∥DD1，所以∠AA1B＝即为异面直线BA1与DD1所成的角，
所以异面直线BA1与DD1所成角的大小为.
答案：
8．解析：连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角).在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
答案：60°
9．解析：因为D，E分别是VB，VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.
10．解析：(1)连接AC(图略).
∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角．
∵在长方体ABCDEFGH中，AB＝AD＝2，
∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角．
易知tan∠FBG＝，
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
11．解析：
由题意，正四面体ABCD各个面都是正三角形，
所以在平面ABC内过点P有两条直线AC，AB与AD成60°的直线，如图所示，在平面ABC内过点P与直线AD成60°的直线仅有2条．
答案：C
12．解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故BCD正确．
故选BCD.
答案：BCD
13．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线A1B异面且夹角成60°的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4条．
答案：4
14．解析：
如图所示，连接AB1，因为AB＝AC＝AA1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1，又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1，又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1cos30°＝a.
∴在正方形ABDC中，AD＝a，∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.
答案：90°
15．解析：
(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)如图，取CD的中点G，连结EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．因为EG綊BD，FG綊AC，且AC⊥BD，AC＝BD，所以EG⊥FG，且EG＝FG.所以△EGF为等腰直角三角形．所以∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
16．解析：
过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD＝m.
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB.
所以EM∥AC.
所以α＝∠MEF(或其补角)，β＝∠MFE(或其补角).
所以AC与BD所成的角为∠EMF.
又因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°.
所以α＋β＝90°.课时作业(三十九) 平面与平面垂直的判定
[练基础]
1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l α，m β( )
A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m
2．如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B PA C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )
A．α⊥γ，β⊥γ B．α∩β＝a，b⊥a，b β
C．a∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β
4．如图所示，在四面体D ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
5．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
6．(多选)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β
B．m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β
C．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β
D．m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β
7.
如图，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是利用了________________．
8.
如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
9．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
[提能力]
11.
如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD相交于点O，点P是侧棱SC上一动点，则一定与平面PBD垂直的平面是( )
A．平面SAB B．平面SAC
C．平面SCD D．平面ABCD
12.
(多选)如图，AC为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S, AN⊥PB于N，则下列选项正确的是( )
A．平面ANS⊥平面PBC
B．平面ANS⊥平面PAB
C．平面PAB⊥平面PBC
D．平面ABC⊥平面PAC
13.
如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足____________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
14．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为________．
15．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1A＝A1B＝A1C＝2，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°.
证明：平面A1BC⊥平面A1B1C1.
[培优生]
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.
(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；
(2)求二面角P AD E的大小．
课时作业(三十九) 平面与平面垂直的判定
1．解析：因为l⊥β，l α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．
答案：A
2．解析：因为PA⊥平面ABC，BA，CA 平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA，
因此∠BAC即为二面角BPAC的平面角．
又∠BAC＝90°，所以二面角BPAC的大小为90°.
答案：A
3．解析：由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，所以l⊥β，所以α⊥β.
答案：D
4．解析：因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
答案：C
5．解析：设两点为A，B，平面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．
答案：C
6．解析：若m∥α，n∥β，且m∥n，则α，β可能相交或平行，故A错误；若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β可能相交，也可能平行，故B错误；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，故C正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，又n⊥β，根据面面垂直的判定定理可得：α⊥β，故D正确．
答案：CD
7．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB β，OC β，OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
8．解析：在四棱锥PABCD中，
①因为PD⊥平面ABCD，PD 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD；
同理可证：平面PBD⊥平面ABCD；平面PCD⊥平面ABCD；
②因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB.
因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD.
又PD，AD在平面PAD内，且相交于点D，所以AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
同理可证：平面PCB⊥平面PCD，平面PAC⊥平面PBD，平面PCD⊥平面PAD.
所以一定互相垂直的平面有7对．
答案：7
9．证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
10．证明：∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG.
又∵BG∩DG＝G，∴AC⊥平面BGD.
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.
又∵EF 平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.
11．解析：因为在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD.
因为SA∩AC＝A，所以BD⊥平面SAC.
因为BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案：B
12．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵圆O中，AC是直径，∴BC⊥AB，∵PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AN，∵AN⊥PB，PB∩BC＝B，∴AN⊥平面PBC，
∵AN 平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，故A正确；∵AN⊥PB，则要使平面ANS⊥平面PAB，则必有PB⊥平面ANS，但无法判断PB⊥NS，故无法判断平面ANS⊥平面PAB，故B错误；由A选项知BC⊥平面PAB，∵BC 平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，故C正确；∵PA⊥平面ABC，PA 平面PAC，
∴平面ABC⊥平面PAC，故D正确．
答案：ACD
13．解析：
如图，连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥平面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)
14．解析：
如图所示，是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱，折成直二面角后的图形，折叠后AD⊥CD，BD⊥DC，∠ADB即所成二面角的平面角，故∠ADB＝90°.设AD＝a，则有BD＝CD＝a，所以AB＝AC＝BC＝a，所以△ABC是等边三角形，所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC，BC的夹角为60°.
答案：60°
15．证明：
如图，取BC的中点M，连AM，A1M，
因为AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
所以BC＝2，AM＝，
又因为A1B＝A1C＝2，所以A1M＝，
在△A1AM中，由A1A＝2，满足A1A2＝AM2＋A1M2，
所以A1M⊥AM，且A1M⊥BC，BC∩AM＝M，BC，AM 平面ABC，
所以A1M⊥平面ABC，
又A1M 平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ABC，
又平面ABC∥平面A1B1C1，所以平面A1BC⊥平面A1B1C1.
16．解析：(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE.
同理可得DP⊥PE.
又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.
又PE 平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAD.
(2)如图，取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD.
∴∠PFE就是二面角PADE的平面角．又PE⊥平面PAD，∴PE⊥PF.
∵EF＝AB＝，PF＝＝1，
∴cos∠PFE＝＝.
∴二面角PADE的大小为45°.课时作业(三十六) 直线与平面垂直的性质
[练基础]
1．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
3．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则( )
A．AE⊥CC1 B．AE⊥B1D1
C．AE⊥BC D．AE⊥CD
4．若斜线段AB是它在平面α内投影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
5．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
6．(多选)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
7．长方体ABCD A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC于点M，则MN与AA1的位置关系是________.
8.
已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．
9．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，直线l⊥平面PCD，且直线l不经过点E.
求证：l∥AE.
10．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分别是PA和AB的中点，求PA与平面PBC所成角的正弦值．
[提能力]
11．已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA≠AD，M，N分别是AB，PC的中点，则MN垂直于( )
A．AD B．CD
C．PC D．PD
12.
(多选)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则( )
A．AF⊥PB B．EF⊥PB
C．AF⊥BC D．AE⊥平面PBC
13．如图所示，在三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D PC，则DE与平面PAC的位置关系是________.
14.
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成角的大小为________；直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为________．
15.如图，在四棱锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝BC＝PA＝a，PA⊥平面ABCD.
(1)求直线AD到平面PBC的距离．
(2)求点A到直线PC的距离．
[培优生]
16．如图，在四面体P ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
(1)证明：BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，请说明理由．
课时作业(三十六) 直线与平面垂直的性质
1．解析：由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
答案：C
2．解析：由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．
答案：B
3．解析：如图所示．
连接AC，BD，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，
所以四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，
故BD⊥平面ACE，因为BD∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.
答案：B
4.
解析：斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，
∠ABO即是斜线段与平面所成的角．
又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝＝，
所以∠ABO＝60°.
答案：A
5.
解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质定理可知AA1∥MM1∥BB1.结合题意知，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.故选A.
答案：A
6．解析：因为BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，所以CD⊥平面ABE，因为AB 平面ABE，所以AB⊥CD，故A正确；因为CD∥AE，△ABE是等边三角形，所以AB与CD异面，且所成角为60°，故B错误；CD∥BE，∠ABE＝45°，所以AB与CD异面，且所成角为45°，故C错误；CD⊥平面ABC，所以CD⊥AB，故D正确．
答案：AD
7．解析：如图．易知AB⊥平面BCC1B1.
又∵MN 平面BCC1B1，∴AB⊥MN.
又∵MN⊥BC，AB∩BC＝B，
∴MN⊥平面ABCD，易知AA1⊥平面ABCD.故AA1∥MN.
答案：平行
8．解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又因为AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
答案：6
9．证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD.因为四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
因为AE 平面PAD，所以AE⊥CD.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为直线l⊥平面PCD，且直线l不经过点E，
所以l∥AE.
10．解析：过A作AH⊥BC于H，连接PH，
∵PC⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.
∴∠APH为PA与平面PBC所成的角，
在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC为正三角形，又AH⊥BC，
∴H为BC中点，AH＝，
∵PC＝AC＝2，∴PA＝2，
∴sin∠APH＝＝.
故PA与平面PBC所成角的正弦值为.
11.
解析：连接AC，取AC的中点为O，连接NO，MO，如图所示：
因为N，O分别为PC，AC的中点，所以NO∥PA，因为PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所以NO⊥CD.
又因为M，O分别为AB，AC的中点，所以MO∥BC.因为BC⊥CD，所以MO⊥CD，因为NO∩MO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.
答案：B
12．解析：因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确．
答案：ABC
13．解析：∵DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，∴DE∥PA.又DE 平面PAC，PA 平面PAC，∴DE∥平面PAC.
答案：平行
14．解析：连接A1C1，BC1，△BA1C1为等边三角形，所以直线A1B与直线AC所成角的大小为，
因为四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，又DC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥CD，又因为CD∩B1C＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
设BC1交B1C于O，则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，
在Rt△OA1B中，sin∠OA1B＝＝，所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为.
答案：
15．解析：(1)∵AD∥BC.AD 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，
过点A作AH⊥PB，交PB于H，如图所示，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
又AH 平面PAB，
∴BC⊥AH，
又AH⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴AH的长即为点A到平面PBC的距离，也即直线AD到平面PBC的距离，
在等腰直角三角形PAB中，易得AH＝a，
所以直线AD到平面PBC的距离为a.
(2)过点A作AE⊥PC，交PC于E，则AE的长即为点A到PC的距离．连接AC，
在Rt△PAC中，PA＝a，AC＝a，PC＝a，
∵AE·PC＝PA·AC，
∴AE＝＝a，即点A到直线PC的距离为a.
16．解析：(1)证明：由题知：AB＝1，BC＝，AC＝2.
则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
(2)在线段PC上存在点D，当PD＝时，使得AC⊥BD.
理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA，交PC于点D，连接BD，由PA⊥平面ABC，知DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AC，所以AC⊥平面DBE，
又因为BD 平面DBE，所以AC⊥BD，
在△ABC中，BE＝＝，
所以AE＝，CE＝，
所以＝＝，所以CD＝，PD＝.课时作业(三十) 平面
[练基础]
1．下列命题正确的是( )
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条不平行的直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
2．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了( )
A．三点确定一平面
B．不共线三点确定一平面
C．两条相交直线确定一平面
D．两条平行直线确定一平面
3．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
4．三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
5．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
6．(多选)下图中图形的画法正确的是( )
A．点A在平面α内
B．直线l在平面α内
C．直线l交平面α于点P
D．三个平面两两相交
7．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．
9．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．
10．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于点P，求证：EF，GH，AC三线共点．
[提能力]
11．如图所示，平面α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点AB．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
12．(多选)下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图形是( )
13．三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为________．
14．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P l，且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________．
15．如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点．
(1)求证：E，F，B，D四点共面；
(2)若AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，AC1与平面EFBD交于点R，求证：P，Q，R三点共线．
[培优生]
16．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
(1)求证：直线MN 平面PQR；
(2)求证：点K在直线MN上．
课时作业(三十) 平面
1．解析：当三点共线时，不能确定一个平面，故A项错误；
一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B项错误；
如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C项错误；
梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D项正确．
答案：D
2．解析：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．
答案：B
3．解析：因为M∈a，a α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l α.
答案：A
4．解析：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：
PA、PB、PC相交于一点P，则PA、PB、PC不共面，则PA、PB确定一个平面PAB，PB、PC确定一个平面PBC，PA、PC确定一个平面PAC.
答案：C
5．解析：根据公理3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线则有无数个公共点．
答案：D
6．解析：点A在表示平面的平行四边形内部，表示点在面内，A项正确；线在面内，表示直线的线段必须画在表示平面的平行四边形内部，B项错；直线与平面相交，有一个公共点，C项正确；三个平面两两相交，有一条交线或者有三条交线，D正确．
答案：ACD
7．解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
8．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．
答案：1或4
9．解析：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．
10．解析：证明：因为EF、GH相交于点P，
则点P∈EF，且P∈GH.
又由题意，EF 面ABC，GH 面ADC
则点P∈面ABC，P∈面ADC，又平面ABC∩平面ADC＝AC，
则点P必在面ABC与面ADC的交线上，即P∈AC，
所以EF、GH、AC三线共点．
11．解析：由已知可得点C∈γ∩β，又AB∩l＝M，所以M∈γ，M∈β，由平面的基本性质可得γ∩β＝MC，所以γ与β的交线必通过点C和点M.
答案：D
12．解析：在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面；D选项中的四点不共面．故选ABC.
答案：ABC
13．解析：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分成6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系)，则可将空间分成8部分．故n的所有可能值为4，6，7或8.
答案：4，6，7或8
14．解析：
如图所示，MN γ，R∈MN，
∴R∈γ.
又R∈l，∴R∈β.
∵P∈γ，P∈β，
∴β∩γ＝PR.
答案：PR
15.
证明：(1)连接B1D1，如图：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，
∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥B1D1，
又因为B1D1∥BD，∴EF∥BD，
∴B，D，E，F四点共面；
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，
∴PQ是平面AA1C1C与平面BDEF的交线，
又∵AC1交平面BDEF于点R，
∴R是平面AA1C1C与平面BDEF的一个公共点．
∵两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
16．证明：(1)因为PQ 平面PQR，M∈直线PQ，所以M∈平面PQR.
因为RQ 平面PQR，N∈直线RQ，所以N∈平面PQR.所以直线MN 平面PQR.
(2)因为M∈直线CB，CB 平面BCD，所以M∈平面BCD.
由(1)知，M∈平面PQR，
所以M在平面PQR与平面BCD的交线上，
同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，
所以M，N，K三点共线，所以点K在直线MN上．课时作业(三十七) 平面与平面平行的判定
[练基础]
1．已知两个不重合的平面α，β，若直线l∥α，则“l∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
3．经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．0个 B．1个
C．0个、1个或2个 D．0个或1个
4.
在正方体EFGH E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，E、F分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．面ABB1A1 B．面BCC1B1
C．面BCFED．面DCC1D1
6．(多选)以下命题中，正确的命题有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
7．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a α，b、c β，则α与β的关系是________．
8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________．
9．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD.
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．
(1)求证：EF∥平面PAC；
(2)求证：平面PCG∥平面AEF；
(3)在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．
[提能力]
11．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是( )
12．(多选)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下列结论，其中正确的结论是( )
A．平面EFGH∥平面ABCD
B．直线PA∥平面BDG
C．直线EF∥平面PBC
D．直线EF∥平面BDG
13．已知a和b是异面直线，且a 平面α，b 平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
14.
如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
15．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论．
[培优生]
16．如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．
(1)求证：EF∥平面BDD1B1.
(2)在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
课时作业(三十七) 平面与平面平行的判定
1．解析：根据面面平行的判定定理，可知因为l∥α，l∥β推不出α∥β，反之，当α∥β，l∥α，则l与β的位置关系也不确定，所以“l∥β”是“α∥β”的既不充分不必要条件．
答案：D
2．解析：因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.
又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.
答案：B
3．解析：若平面α外的两点所确定的直线与平面α平行，则过该直线与平面α平行的平面有且只有一个；
若平面α外的两点所确定的直线与平面α相交，则过该直线的平面与平面α平行的平面不存在．
答案：D
4.
解析：如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1.
又G1F∥H1E，
同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，H1E，EG 平面EGH1，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
故选A.
答案：A
5.
解析：取AB、DC的中点分别为E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1(如图)，
故面A1E1F1D1∥面BCFE.
答案：C
6．解析：如图1，作α，β交线的无数条平行线，可知A，B错误；
对C，由题意可知AB∥β，BC∥β，AB∩BC＝B，由面面平行的判定定理可知：α∥β，C正确；
对D，参考答案C，假设α内有一个点位于点A处，而其余点均位于直线BC上，则两个平面平行；如图2，α内有一个点位于点A处，而其余点均位于直线BC上，可知两个平面相交，D正确．
答案：CD
7．解析：b、c β，a α，a∥b∥c，若α∥β，满足要求；若α与β相交，交线为l，b∥c∥l，a∥l，满足要求．
答案：相交或平行
8．解析：假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
答案：平行
9．证明：连接B1D1，B1C.
∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN 平面A1BD，BD 平面A1BD，
∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.
又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
10．解析：(1)因为E，F分别是BC，BP的中点，所以EF綊PC，
因为PC 平面PAC，EF 平面PAC，所以EF∥平面PAC.
(2)因为E，G分别是BC，AD中点，
所以AE∥CG，因为AE 平面PCG，CG 平面PCG，
所以AE∥平面PCG，又因为EF∥PC，
PC 平面PCG，EF 平面PCG，所以EF∥平面PCG，
AE∩EF＝E，AE，EF 平面AEF，所以平面AEF∥平面PCG.
(3)设AE与BD交于M点，
由(2)知，平面PCG∥平面AEF.
因为点F，M在平面AEF上，连接FM，
则FM 平面AEF，且FM 平面PCG.
所以FM∥平面PCG，即M点为所找的H点．
11.
解析：由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面PGRHNQ，如图所示：
可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QN是相交直线，所以A不正确；
因为A1C1∥RH，BC1∥QN，A1C1∩BC1＝C1，
又容易知RH，QN也相交，
A1C1，BC1 平面A1C1B；RH，QN 平面PGRHNQ，
故平面A1C1B∥平面PGRHNQ.
答案：D
12.
解析：作出立体图形如图所示．连接E，F，G，H四点构成平面EFGH.
对于A，因为E，F分别是PA，PD的中点，所以EF∥AD.又EF 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.同理，EH∥平面ABCD.又EF∩EH＝E，EF 平面EFGH，EH 平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确；
对于B，连接AC，BD，DG，BG，设AC的中点为M，则M也是BD的中点，所以MG∥PA，又MG 平面BDG，PA 平面BDG，所以PA∥平面BDG，故B正确；
对于C，由A中的分析知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，所以直线EF∥平面PBC，故C正确；
对于D，根据C中的分析可知EF∥BC再结合图形可得，BC∩BD＝B，则直线EF与平面BDG不平行，故D错误．故选ABC.
答案：ABC
13．解析：在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，设γ∩β＝l，则l β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.
又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案：平行
14．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
15．解析：能作出满足条件的平面α，其作法如下：
如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.
证明：如下：连接BD交AC于O，连接PO，
则O为BD的中点，
又P为DD1的中点，则PO∥D1B.
∵BD1 平面PAC，OP 平面PAC，
故D1B∥平面PAC.
又因为M为AA1的中点，
故D1M∥PA，
又D1M 平面PAC，PA 平面PAC，
从而D1M∥平面PAC.
又因为D1M∩D1B＝D1，D1M α，D1B α，
所以平面α∥平面PAC.
16.
解析：(1)证明：连接BM，因为E，F分别为BC，CM的中点，所以EF∥BM，又EF 平面BDD1B1，BM 平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1.
(2)棱CD上存在一点G，
使得平面GEF∥平面BDD1B1.
理由如下：连接GE，GF.
因为平面GEF∩平面ABCD＝EG，
平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，
所以EG∥BD，
又因为E是BC中点，所以G是DC中点，
所以棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1，且＝1.
