杭州市拱墅区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科试卷
（考试说明：考试时间：11月7日7：40-9：40，试卷共4页，满分150分，不能使用计算器等设备答题。）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.设集合，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数，则（ ）
A. B.5 C. D.3
3.幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）
A.1 B.0或2 C.0 D.2
4.过定点的直线与过定点的直线交于点（与，不重合），则面积的最大值为（ ）
A. B. C.8 D.16
5.第19届亚洲运动会于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行.现要安排甲、乙等5名志愿者去，，三个比赛场馆服务，要求每个场馆都有人去，每人都只能去一个场馆，则甲、乙两人被分在同一个比赛场馆的安排方法种数为（ ）
A.12 B.18 C.36 D.48
6.若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点（为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.2
7.已知函数，若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知平面向量，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.）
9.下列说法正确的是（ ）
A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1
B.已知一组数据1，2，，，89的平均数为5，则这组数据的中位数是5
C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩的百分位数是20
D.若样本数据的方差为8，则数据的方差为15
10.已知函数是定义域为的偶函数，是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.是以4为周期的函数 D.的图象关于对称
11.已知，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.如图，在正四棱台中，，，高为2，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面平面
B.点到平面的距离是点到平面的距离的
C.若点为的中点，则三棱雉外接球的表面积为
D.异面直线与所成角的正切值的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知，则______.
14.已知点满足方程，点，，若直线的斜率为，斜率为，则的值为______.
15.设圆：，圆：，点、分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______.
16.已知函数，对任意在区间上总存在两个实数，，使成立，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分）
某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩（假设考试成绩均在内）分组如下：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.得到频率分布直方图如图.
（I）求测试成绩在内的频率；
（II）从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率.
18.（12分）
已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（I）求的解析式和单调递增区间.
（II）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.
19.（12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（I）求角；
（II）若，求面积的取值范围.
20.（12分）
已知圆：，直线：.
（I）若直线与圆相切，求的值；
（II）若直线与圆交于不同的两点，，当为锐角时，求的取值范围；
（III）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线，，切点为，，探究：直线是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由.
21.（12分）
椭圆：离心率为，是椭圆上的任意一点，、分别是椭圆的左右焦点，且的周长为6.
（I）求椭圆的方程；
（II）若是椭圆的左顶点，过的两条直线，分别与交于异于点的、两点，若直线，的斜率之和为，则直线是否经过定点？如果是，求出定点，如果不是，说明理由.
22.（12分）
已知函数，.
（I）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；
（II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）求函数在区间上的最大值.
杭州市拱墅区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学学科答案
一、单选
1 2 3 4 5 6 7 8
D C D C C C A B
二、多选
9 10 11 12
AB ACD AD ACD
三、填空
13. 14. 14.
15.
四、解答
17.
（1）测试成绩在内的频率为：
（2）第三组的人数等于，
第四组的人数等于，
第五组的人数等于，
分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人.
设第三组抽到的3人为，，，第四组抽到的2人为，，第五组抽到的1人为.
这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：
，，，，，，，
，，，，，，.
设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件，事件包含的事件个数有9种，
即：，，，，，，，，.
所以，事件的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为.
18.（1），单调递增区间为，；
（2）
19.（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，
而，，则，
所以.
（2）在中，由余弦定理得：，
因此，即，当且仅当时取等号，
又，
所以面积的取值范围是.
20.（1）由题意得到直线的距离，解得，
（2）当为锐角时，，
，即，
解得或，
故的取值范围为，
（3）设，，，
则，得直线的方程为，故
同理得的方程为，
故直线的方程为，而，
化简得，由得，
故直线过定点.
21.（1）由题意得，解得，
所以，
所以椭圆的方程为，
（2）由（1），由题意得直线的斜率存在，
设直线为，
由，得，
化简得，
由，得，
设，，则，
所以
，
所以，
所以直线：，
所以直线恒过点.
22.解：（1）方程，即，变形得，
显然，已是该方程的根，
从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得.
（2）不等式对恒成立，
即（*）对恒成立，
①当时，（*）显然成立，此时；
②当时，（*）可变形为，
令
因为当时，，当时，，
所以，故此时.
综合①②，得所求实数的取值范围是.
（3）因为
当，即时，结合图形可知在上递减，在上递增，
且，，经比较，此时在上的最大值为.
当，即时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，
且，，，
经比较，知此时在上的最大值为.
当，即时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，
且，，，
经比较，知此时在上的最大值为.
当，即时，结合图形可知在，上递减，
在，上递增，且，
经比较，知此时在上的最大值为.
当，即时，结合图形可知在上递增，在上递减，
故此时在上的最大值为.
综上所述，
当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为0.
① ② ③ ④-1 ④-2
