建水县2023-2024学年高一上学期10月月考
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章～第三章第1节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．与的大小无法判断
6．已知集合，则集合子集的个数为（ ）
A．4个 B．8个 C．16个 D．64个
7．数学上有两个重要的函数：狄利克雷函数与高斯函数，分别定义如下：对任意的，函数称为狄利克雷函数；记为不超过的最大整数，则称为高斯函数，下列关于狄利克雷函数与高斯函数的结论，错误的是（ ）
A． B．
C． D．的值域为
8．已知一元二次方程的两个解分别是，且不等式的必要条件是，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）
A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数
C．实数都可以写成小数形式 D．一定存在没有最大值的二次函数
10．若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是2 B．若，则
C．若，则的最小值为2 D．若，则
12．已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则（ ）
A．的值域为 B．
C． D．，不等式的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的定义域为______．
14．已知三个不等式：①；②；③，请写出1个真命题：______，____________．（横线上填①，②或③）
15．若集合的非空子集为，则关于的不等式的解集为______．
16．设，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知集合．
（1）求；
（2）若，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
（1）已知函数，求的解析式；
（2）已知为二次函数，且，求的解析式．
19．（本小题满分12分）
已知．
（1）当时，求满足和的实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
设集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若且，求实数的值．
21．（本小题满分12分）
已知关于的不等式的解集为或．
（1）求的值；
（2）当，且满足时，恒成立，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）
初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．
图1 图2
（1）用表示图1中的面积；
（2）郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励．其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．
建水县2023-2024学年高一上学期10月月考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 因为集合，所以．故选A．
2．B 命题“”为全称量词命题，其否定为：．故选B．
3．B 的定义域为．对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于B，定义域为，与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数；对于D，与的对应关系不同，不是同一函数．故选B．
4．D 因为或，又时，不能得出时，不能得出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
5．B 因为，所以，故．故选B．
6．D ，即子集的个数为．故选D．
7．C 由高斯函数的定义知，对于都是整数，即都是有理数，所以，A正确；若为有理数，则也是有理数，；若为无理数，则也是无理数，，B正确；取，则，C错误；的值域是，所以的值域为，D正确．故选C．
8．A 因为不等式的必要条件是，关于的一元二次方程的两个解是（其中），所以．故选A．
9．AC A选项中，“任何”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；
B选项中，所有的自然数都是整数，它是全称量词命题，由于0是自然数，不是正整数，故该命题是假命题；
C选项中，“都”是全称量词，它是全称量词命题，且为真命题；
D选项中，“存在”是存在量词，它是存在量词命题．故选AC．
10．AD 由知：，即A正确，
，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确．故选AD．
11．BD 对于A，当时，，故A错误；对于B，由基本不等式知当时，则，故B正确；对于C，令，方程无解，则等号不成立，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确．故选BD．
12．ACD 根据题意，当时，设解析式为，图象经过，所以解得所以时，设解析式为，图象经过，，所以解得所以解析式为，即，所以C正确；对于A选项，根据函数的图象可知的值域为，故A正确；对于B选项，根据函数图象得，故B错误；对于D选项，由于，所以当，使得不等式的解集为，故D正确．故选ACD．
13． 由题意得故且，从而的定义域为．
14．①，②，③ 命题：①，②③．若①，②成立，即，则，即命题为真命题．
15． 由已知得抛物线的开口向下，与轴交于点，故不等式的解集为．
16． 因为，所以，所以，当且仅当时取等号．
17．解：（1）因为，
所以．
（2）因为且，
所以，即的取值范围为．
18．解：（1）设，可得，则，
故．
（2）因为，可设，
则，解得，因此，．
19．解：（1）当时，即为，
解得；
对于即为，解得．
同时满足和时，．
故实数的取值范围是．
（2）对于，解得．
由是的充分条件，得，
所以，解得．故实数的取值范围是．
20．解：（1）由题可得，由，得．
从而2，3是方程的两个根，即解得．
（2）．因为，所以，又，所以，
即，解得或．
当时，，则，不符合题意；
当时，，则且，故符合题意．
综上，实数的值为．
21．解：（1）因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以解得
（2）由（1）知，且，
所以，当且仅当，
即时等号成立，
依题意有，即，
所以，解得，所以的取值范围为．
22．解：（1）因为，所以，
因为为较长边，所以，即．
设，则，
因为，
所以，所以．
在中，由勾股定理得，
即，解得，所以．
所以的面积．所以的面积．
（2）设一颗钮扣的镀金费用为元，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以当为时，一颗钮扣的镀金部分所需的最大费用为元．
