辽宁省鞍山市海城四中2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(解析版)
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．直径所对的弧是半圆
B．相等的圆周角所对的弦相等
C．两个半圆是等弧
D．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
4．（3分）将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+4 B．y＝2（x﹣1）2
C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x+1）2+2
5．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
6．（3分）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣，1） D．（﹣2，1）
7．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 ．
10．（3分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 ．
11．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝ ．
12．（3分）已知A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2（x﹣1）2上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
13．（3分）一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是 平方米（接缝不计）
14．（3分）如图，在⊙O中，直径AD交弦BC于点E，BE＝CE，∠ACB＝30°，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的有 （填写序号）．
①△AMB≌△ENB；
②S四边形AMBE＝S四边形ADCM；
③连接AN，则AN⊥BE；
④若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形AB的边长为2．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）解方程：2x2+3x＝3．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；
（3）连接A1A2，直接写出△C1A1A2的面积．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
20．（10分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
22．（10分）如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，AH是⊙O的直径，点E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，B为直径OH上一点，AE平分∠FAH交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．
24．（10分）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（万元/件） 25 30 35
销售量y（件） 50 40 30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少？
七、（12分）
25．（12分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．
问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为 ；
题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为 ；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；
问题拓展：（3）在①②的条件下，若AP＝，∠DEM＝15°，则DM＝ ．
八、（14分）
26．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG＝4时，求t的值；
（3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ）
A．m＝±2 B．m＝2
C．m＝﹣2 D．m为全体实数
【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，m2﹣2＝2，
解得m≠2，且m＝±2，
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏．
2．（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
3．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．直径所对的弧是半圆
B．相等的圆周角所对的弦相等
C．两个半圆是等弧
D．一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的一半
【分析】利用圆周角定理等有关圆的定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、直径所对的弧是半圆，正确，符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，故原命题错误，不符合题意；
C、半径相等的两个半圆是等弧，故原命题错误，不符合题意；
D、一条弧所对的圆心角等于它对的圆周角的2倍，故原命题错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】考查了圆周角定理等知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
4．（3分）将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2+4 B．y＝2（x﹣1）2
C．y＝2（x﹣3）2+2 D．y＝2（x+1）2+2
【分析】利用二次函数平移规律“左加右减”求解即可．
【解答】解：将二次函数y＝2（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x﹣1﹣2）2+2，即y＝2（x﹣3）2+2，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．（3分）对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x的增大而减小
【分析】根据抛物线的性质由a＝﹣2得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大．
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y 随 x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下．
6．（3分）如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为（2，0），以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（ ）
A．（﹣1，） B．（，﹣1） C．（﹣，1） D．（﹣2，1）
【分析】如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．
∵B（2，0），△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∵AE⊥OB，
∴OE＝EB＝1，
∴AE＝＝＝，
∵A′H⊥OH，
∴∠A′HO＝∠AEO＝∠AOA′＝90°，
∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠A′OH＝∠OAE，
∴△A′OH≌△OAE（AAS），
∴A′H＝OE＝1，OH＝AE＝，
∴A′（﹣，1），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（3分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：当点Q在AC上时，
∵∠A＝30°，AP＝x，
∴PQ＝xtan30°＝，
∴y＝×AP×PQ＝×x×＝x2；
当点Q在BC上时，如图所示：
∵AP＝x，AB＝16，∠A＝30°，
∴BP＝16﹣x，∠B＝60°，
∴PQ＝BP tan60°＝（16﹣x）．
∴＝＝．
∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）把关于y的方程（2y﹣3）2＝y（y﹣2）化成一般形式为 3y2﹣10y+9＝0 ．
【分析】依次去括号、移项、合并同类项可得答案．
【解答】解：∵（2y﹣3）2＝y（y﹣2），
∴4y2﹣12y+9＝y2﹣2y，
∴4y2﹣12y+9﹣y2+2y＝0，
∴3y2﹣10y+9＝0，
故答案为：3y2﹣10y+9＝0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握完全平方公式、去括号和移项法则及一元二次方程的一般形式．
10．（3分）关于x的一元二次方程（k+2）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 1 ．
【分析】把x＝0代入方程计算，检验即可求出k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：k2+k﹣2＝0，
（k﹣1）（k+2）＝0，
可得k﹣1＝0或k+2＝0，
解得：k＝1或k＝﹣2，
当k＝﹣2时，k+2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则k的值为1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
11．（3分）如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，若AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形，正方形，正n边形的一边，则n＝ 12 ．
【分析】如图，连接OA，OC，OB．想办法求出中心角∠BOC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA，OC，OB．
∵若AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC＝120°，∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，
由题意得30°＝，
∴n＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．
12．（3分）已知A（﹣4，y1），B（1，y2），C（3，y3）三点都在抛物线y＝2（x﹣1）2上，则y1，y2，y3的大小关系是 y1＞y3＞y2 ．
【分析】首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，A、B、C三点与对称轴的远近，判断y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2可知抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∵A（﹣4，y1）与对称轴的距离最远，B（1，y2）在对称轴上，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为y1＞y3＞y2．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
13．（3分）一把大遮阳伞，伞面撑开时可近似地看成是圆锥形，如图，它的母线长是2.5米，底面半径为2米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是 5π 平方米（接缝不计）
【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积计算方法求得圆锥的侧面积即可．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2πr＝2π×2＝4π，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
∴圆锥的侧面积＝lr＝×4π×2.5＝5π．
故答案为5π．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的面积．
14．（3分）如图，在⊙O中，直径AD交弦BC于点E，BE＝CE，∠ACB＝30°，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 π﹣2 ．
【分析】连接AB，根据已知条件得到∠AOB＝60°，根据等边三角形的性质得到BC⊥AO，由垂径定理得到BE＝CE＝2，根据扇形和三角形的面积即刻得到结论．
【解答】解：连接AB，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵BE＝CE，
∴BC⊥AO，
∴BE＝CE＝2，
∴OE＝AE＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）若二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，则m＝ ﹣2或 ．
【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+（m﹣2）x+m的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m＝﹣2或．
故答案为：﹣2或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点坐标公式并列出方程是解题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的有 ①④⑤ （填写序号）．
①△AMB≌△ENB；
②S四边形AMBE＝S四边形ADCM；
③连接AN，则AN⊥BE；
④若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时，菱形AB的边长为2．
【分析】①用“SAS”证明即可；②分析组成四边形的三角形面积之间关系即可判断；③先假设AN⊥BE，而后逆推即可判断；④根据菱形性质A与C对称可知AM+CM最小为AC长；⑤根据图形特征得出当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC，交CB的延长线于F，在Rt△EFC中利用勾股定理求解．
【解答】解：①∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确；
②∵S四边形AMBE＝S△ABE+S△ABM，S四边形ADCM＝S△ACD+S△AMC，
∵S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，
∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故本答案错误；
③假设AN⊥BE，且AE＝AB，
∴AN是BE的垂直平分线．
∴EN＝BN＝BM＝MN＝BC，无法得到AN是BE的垂直平分线，显然与条件矛盾，故本答案错误；
④连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，BD⊥AC，AO＝CO．
∴点A和点C关于直线BD对称，
∴当M点与O点重合时，AM+CM的值最小为AC的值．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝1．
即AM+CM的值最小为1，本答案正确；
⑤连接MN，由①知△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
过E点作EF⊥BC，交CB的延长线于F，
则∠EBF＝180°﹣120°＝60°，设菱形的边长为a，
∴BF＝a，EF＝a．
在Rt△EFC中，（a）2+（a+a）2＝（2）2，
解得a＝2．故本答案正确．
综上所述①④⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、菱形的性质、轴对称求最值以及勾股定理，综合性较强．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）解方程：2x2+3x＝3．
【分析】先整理成一般式，再根据公式法求解即可．
【解答】解：∵2x2+3x＝3，
∴2x2+3x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，
∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．（8分）在如图所示的平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），解答下列问题：
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）画出以C1为旋转中心，将△A1B1C1顺时针旋转90°后的△A2B2C1；
（3）连接A1A2，直接写出△C1A1A2的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.
（2）如图，△A2B2C1即为所求．
（3）△C1A1A2的面积为＝．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
四、（每小题10分，共20分）
19．（10分）关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，取一个合适的值代入求出方程的解．
【分析】（1）根据方程有实数根可得△≥0，列式即可得到结果．
（2）根据（1）可得m的取值范围，根据m是正整数的要求分别计算即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝4﹣4m+8＝12﹣4m．
∵12﹣4m≥0，
∴m≤3，m≠2．
（2）∵m≤3且m≠2，
∴m＝1或3，
∴当m＝1时，原方程为﹣x2﹣2x+1＝0．x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
当m＝3时，原方程为x2﹣2x+1＝0．x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式应用，根据根的情况列式准确判断参数取值是关键．
20．（10分）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1600元，每件应降价多少元？
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）关系式为：每件商品的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x，
依题意，得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：该种商品每次降价的百分率为10%．
（2）设每件商品应降价x元，根据题意，得：
（200﹣156﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件商品应降价4元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．
【分析】（1）由AB＝AC，得到＝，求得∠ABC＝∠ACB，推出∠CAD＝∠ACD，得到∠ACB＝2∠ACD，于是得到结论；
（2）根据平角的定义得到∠BAC＝40°，连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝80°，根据弧长公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵D为的中点，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACD，
∴＝2，
∴∠ACB＝2∠ACD，
又∵∠DAE＝105°，
∴∠BCD＝105°，
∴∠ACD＝×105°＝35°，
∴∠CAD＝35°；
（2）∵∠DAE＝105°，∠CAD＝35°，
∴∠BAC＝40°，
连接OB，OC，
∴∠BOC＝80°，
∴弧BC的长＝＝．
【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
22．（10分）如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由抛物线解析式确定出顶点A坐标，根据S△AOB＝确定出a的值，即可确定出解析式；
（2）过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），根据S△ABC＝S△ACD+S△BCD表示出△ABC的面积，根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝﹣a，
∵S△AOB＝．
∴＝，
解得，a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；
（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），
∴直线AB为y＝﹣x﹣1，
过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，
设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），
∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝[﹣（x+1）2+x+1]×1，
∴S△ABC＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，
∴△ABC面积的最大值是．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，表示出C、D的坐标是解本题的关键．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，AH是⊙O的直径，点E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，B为直径OH上一点，AE平分∠FAH交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．
【分析】（1）根据角平分线和半径相等，得∠OEA＝∠EAF，推得OE∥AF，进而根据切线的判定即可证明；
（2）先证明Rt△ABE≌Rt△AFE，得AF＝AB，再根据勾股定理即可求得半径的长，进而求得直径的长．
【解答】解：
（1）如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵AE平分∠FAH，
∴∠OAE＝∠FAE，
∴∠OEA＝∠FAE，
∴OE∥AF，
∴∠AFE+∠OEF＝180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，
∴EF＝BE＝5，
在Rt△CEF中，根据勾股定理，得CF＝4，
∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝AB＝x，
在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，
∴x＝10，
∴AB＝10，
设⊙O的半径为r，
∴OB＝10﹣r，
在Rt△BOE中，r2＝（10﹣r）2+25，
∴r＝，
答：⊙O的直径为．
【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，与角平分线、勾股定理、矩形等知识综合，解题的关键是作辅助线．
24．（10分）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（万元/件） 25 30 35
销售量y（件） 50 40 30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+140x﹣2000；
（3）∵W＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，20≤x≤40，
∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，
当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，
答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35万元时获得最大利润，最大利润是450万元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
七、（12分）
25．（12分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．
问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为 DM＝AD+AP ；
题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为 DM＝AD﹣AP ；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；
问题拓展：（3）在①②的条件下，若AP＝，∠DEM＝15°，则DM＝ 3﹣或﹣1． ．
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；
（2）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；
②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；
（3）分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．
【解答】解：（1）DM＝AD+AP，理由如下：
∵正方形ABCD，
∴DC＝AB，∠DAP＝90°，
∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，
∴DP＝PE，∠PNE＝90°，∠DPE＝90°，
∵∠ADP+∠DPA＝90°，∠DPA+∠EPN＝90°，
∴∠DAP＝∠EPN，
在△ADP与△NPE中，
，
∴△ADP≌△NPE（AAS），
∴AD＝PN，AP＝EN，
∴AN＝DM＝AP+PN＝AD+AP；
（2）①DM＝AD﹣AP，理由如下：
∵正方形ABCD，
∴DC＝AB，∠DAP＝90°，
∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，
∴DP＝PE，∠PNE＝90°，∠DPE＝90°，
∵∠ADP+∠DPA＝90°，∠DPA+∠EPN＝90°，
∴∠DAP＝∠EPN，
在△ADP与△NPE中，
，
∴△ADP≌△NPE（AAS），
∴AD＝PN，AP＝EN，
∴AN＝DM＝PN﹣AP＝AD﹣AP；
②DM＝AP﹣AD，理由如下：
∵∠DPA+∠EPN＝90°，∠EPN+∠PEN＝90°，
∴∠DPA＝∠PEN，
又∵∠A＝∠PNE＝90°，DP＝PE，
∴△DAP≌△PEN，
∴AD＝PN，
∴DM＝AN＝AP﹣PN＝AP﹣AD；
（3）有两种情况，如图2，DM＝3﹣，如图3，DM＝﹣1；
①如图2：∵∠DEM＝15°，
∴∠PDA＝∠PDE﹣∠ADE＝45°﹣15°＝30°，
在Rt△PAD中AP＝，AD＝，
∴DM＝AD﹣AP＝3﹣；
②如图3：∵∠DEM＝15°，
∴∠PDA＝∠PDE﹣∠ADE＝45°﹣15°＝30°，
在Rt△PAD中AP＝，AD＝AP tan30°＝，
∴DM＝AP﹣AD＝﹣1．
故答案为：DM＝AD+AP；DM＝AD﹣AP；3﹣或﹣1．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想解决问题，判断出△ADP≌△PFN是解本题的关键．
八、（14分）
26．（14分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴相交于点B，与y轴相交于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过两点B，C，与x轴另一交点为A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D，点E以每秒1个单位长度的速度在线段OB上由点O向点B运动（点E不与点O和点B重合），设运动时间为t秒，过点E作EF⊥x轴交CD于点F，作EH⊥BC于点H，交y轴右侧的抛物线于点G，连接FG，当S△EFG＝4时，求t的值；
（3）如图2，正方形MNPQ，边MQ在x轴上，点Q与点B重合，边长MN为1个单位长度，将正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，在平移过程中，请写出正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点时t的取值范围．
【分析】（1）求出B（4，0），C（0，4），代入抛物线解析式即可；
（2）过点G作GM⊥EF于M，点G的坐标为（t+2，2），由点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，得到﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2，则当S△EFG＝4时，t的值为秒；
（3）由题意可知当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位，平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），①当N点移动后在抛物线上时1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，0＜t＜3﹣时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；②当P点在抛物线上时，1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，t＝2+，当M点在抛物线上时，t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，t＝3+，所以时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点．
【解答】（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，
∴B（4，0），C（0，4），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过B，C两点，
解得：
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+3x+4；
（2）过点G作GM⊥EF于M，
∵OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝45°，
∵EH⊥BC，
∴∠BEH＝45°，
∴EF⊥x轴，
∴∠MEG＝90°﹣45°＝45°，
∴MG＝ME，
∵CD∥x轴，EF⊥x轴，
∴EF＝OC＝4，
∴，
∴GM＝ME＝2，
∵点E从O点运动，时间为t，
∴OE＝t，
∴点E，M的横坐标都为t，点G的横坐标都为t+2，
∴点G的坐标为（t+2，2），
∵点G在抛物线y＝﹣x2+3x+4上，
∴﹣（t+2）2+3（t+2）+4＝2，
解得：（舍去），
∴当S△EFG＝4时，t的值为秒；
（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴∠CBO＝45°，
∵正方形MNPQ沿射线BC方向，以每秒个单位长度的速度平移，时间为t秒，
∴当正方形运动t时，正方形上各点的横坐标向左平移t个单位，纵坐标向上平移t个单位，
∵M（5，0），N（5，1），P（4，1），Q（4，0），
∴平移后M（5﹣t，t），N（5﹣t，1+t），P（4﹣t，1+t），Q（4﹣t，t），
①当N点移动后在抛物线上时
1+t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，
解得t＝3+或t＝3﹣，
∵此时N点在对称轴的右侧，
∴t＝3﹣，
∴0＜t＜3﹣时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；
②当P点在抛物线上时，
1+t＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∵此时N点在对称轴的左侧，
∴t＝2+，
当M点在抛物线上时，
t＝﹣（5﹣t）2+3（5﹣t）+4，
解得t＝3+或t＝3﹣，
∵此时N点在对称轴的左侧，
∴t＝3+，
∴时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点；
综上所述：或 时正方形MNPQ的边恰好与抛物线有两个交点．
【点评】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数的图象及性质，理解平移的坐标特点是解题的关键．
