2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若，，三点共线，则（ ）
A．4 B． C．1 D．0
2．已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
3．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．设是双曲线的左 右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
10．已知直线：和圆O：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在k使得直线与直线：垂直
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线，给出以下命题：①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点；④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是 ．
14．在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为 ．
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
16．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆，．
(1)求过点且与相切的直线方程；
(2)直线l过点，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．求的最小值，并求此时直线l的方程．
18．（12分）
已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
（12分）
在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（12分）
已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
21．（12分）
已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
22．（12分）
设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.2023-2024学年高二数学上学期期中模拟考试
全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．若，，三点共线，则（ ）
A．4 B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.
【详解】因为，，所以，
解得．故．
故选：A.
2．已知直线，则直线l的倾斜角为（ ）
A．120° B．60° C．30° D．150°
【答案】D
【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可.
【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率，
设倾斜角为，则，因为，所以.
故选：D.
3．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据空间向量共面定理的知识确定正确答案.
【详解】依题意构成空间的一个基底，
A选项，由于，所以，，共面，故A错误；
B选项，由于，所以共面，故B错误；
C选项，因为，所以共面，故C错误.
D选项，假设存在实数使得，
则有，无实数解，则假设不成立，则不共面.
故选：D.
4．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
5．在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.
【详解】设直线与椭圆相切，
联立方程，得①，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
当时，与的距离最大，最大距离为，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以点的坐标为，
故选：A
6．设是双曲线的左 右焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，先求得焦点到渐近线的距离为，在直角中，求得，再在中，利用余弦定理求得，结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，渐近线方程为，
如图所示，则焦点到渐近线的距离为，
在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
又由，所以，可得，
所以双曲线的离心率为.
故选：A.
7．已知是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用点差法得到，再利用重心的性质与基本不等式得到，由此得解.
【详解】依题意，设，，，由，在轴上方，故，，
因为抛物线为，所以，
则，所以，则，
注意到，故，即，
又，代入可得，
故，即，解得，
当且仅当时，等号成立，
因而.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键有两个地方，一个是利用点差法得到，一个是利用三角形重心的性质得到，从而得解.
8．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案.
【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，
则①，即，
由余弦定理得，
，故，②
联立①②，解得：，
而，所以，
即，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
【答案】ABC
【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.
【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；
对于B，因为且，
所以P，A，B，C四点共面，B正确；
对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，
假设共面，则，
即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，
所以也是空间的一组基底，C正确；
对于D，若，则是钝角或是，D错误；
故选：ABC
10．已知直线：和圆O：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在k使得直线与直线：垂直
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BC
【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.
【详解】对A，由可得，，
令，即，此时，
所以直线恒过定点，A错误；
对B，因为直线：的斜率为，
所以直线的斜率为，即，
此时直线与直线垂直，满足题意，B正确；
对C，因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交,C正确；
对D，设直线恒过定点，
圆心到直线的最大距离为,
此时直线被圆截得的弦长最短为，D错误；
故选：BC.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
【答案】AC
【分析】A选项，联立求出双曲线与直线只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；C选项，根据焦点在轴上，得到不等式组，求出；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程.
【详解】对于A，解方程组得唯一解,
所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当时，满足的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则且，解得，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为，由，则，
渐近线方程为，即，由，解得，，
双曲线的标准方程为，所以D错.
故选：AC
12．已知抛物线的准线为，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于，两点，于，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设，则
D．过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】ABC
【分析】根据过焦点的直线与抛物线的相交的交点坐标关系、圆的几何性质逐项判断即可.
【详解】由题意，抛物线的准线为，所以，抛物线C的方程为，焦点为，
过作于，
则由抛物线的定义可得，故A正确；
，则以PQ为直径的圆的半径，
线段PQ的中点坐标为，
则线段PQ的中点到准线的距离为，
所以以PQ为直径的圆与准线l相切，故B正确；
抛物线的焦点为，，
当且仅当M，P，F三点共线时取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立消去x，并整理得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线有3条，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线，给出以下命题：①直线的一个法向量是；②直线的斜率是；③对任意，直线都不过原点；④存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，所有正确命题的序号是 ．
【答案】③
【分析】①根据直线方程即可得出法向量；②根据直线方程即可得出斜率；③将代入直线方程，得出等式不成立，即可得出结论；④求出三角形的面积表达式，即可得出面积的范围.
【详解】由题意，
在直线中，
直线的方向向量为，法向量为，①错误；
当时，，而不存在，故②错误；
当时，代入直线方程得，，显然不存在，故对任意，直线都不过原点，③正确；
当直线和两坐标轴都相交时，交点为 ， 它和坐标轴围成的三角形的面积为 ，
∴不存在，使直线与坐标轴围成的三角形面积小于1，④错误
故答案为：③.
14．在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出圆关于原点的对称圆圆的方程，分析可知，圆与无公共点，可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】圆关于原点的对称圆为，
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
由已知得，圆与无公共点，所以或，
所以或，解得或，
又，所以．
故答案为：.
15．已知双曲线的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】依题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立等量关系求解离心率.
【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则在右支上，设双曲线左焦点为，
依题意，三角形为正三角形，
则，连接，
在中，，
由余弦定理得，
，
可得，又，即，
所以.
故答案为：.
16．已知椭圆的右焦点是，直线交椭圆于两点﹐直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】设椭圆的左焦点为，利用已知条件结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，再利用勾股定理方程组求解即可.
【详解】设椭圆的左焦点为，连接，，，，
由直线交椭圆于两点﹐及，
结合椭圆的对称性可得，
所以，，均为直角三角形，所以四边形为矩形，
设，则，，，
所以在直角中，即①，
在直角中，即②，
由②解得，
将代入①得，即，
所以，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知圆，．
(1)求过点且与相切的直线方程；
(2)直线l过点，且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．求的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)和；
(2)最小值为12，直线l的方程为x+y-5＝0.
【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑，当斜率存在时，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求切线方程；
（2）设直线的方程为，根据A，P，B三点共线得到，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为圆，圆心为，半径为2，，
由题知点在圆外，故过点作的切线有两条，
当切线斜率不存在时，，显然是的切线；
当切线斜率存在时，可设切线方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：，解得，即，
综上，可得切线方程为：和.
（2）设直线l的方程为，其中a>0，b>0，，
因为过点P（2，3），所以，
因为A，P，B三点共线，
所以，
因为，当且仅当a＝5，b＝5时取等号，
所以，此时直线l的方程为x+y-5＝0，
综上，的最小值为12，直线l的方程为x+y-5＝0.
18．（12分）已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据已知条件确定圆心、半径，写出圆的方程即可；
（2）由题意知，易知点M落在以EP为直径且在圆E内部的一段圆弧，再写出轨迹方程，注意范围.
【详解】（1）由直线方程知：，故直线恒过点，
因为圆E恒被直线平分，所以圆E的圆心为，
因为在圆上，故圆的半径，
综上，圆E的方程为：；
（2）
因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为、，以EP为直径的圆的方程为，
由，
所以M的轨迹方程为：，.
19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
为的中点，
，又，
，
四边形为平行四边形：
，
平面平面，
平面；
（2）平面平面，平面平面平面，平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
,平面与平面所成的夹角的余弦为
20．（12分）已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析求解；
（2）不妨设，，，由可得，结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
由条件可得，即，
则根据双曲线的定义可知，点是以，为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，
则，可得，
所以曲线的方程为．
（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为，即，
由于且直线的斜率不等于0，
不妨设，，，
则，，
由可得，
联立方程，消去x得
则，由韦达定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直线，即.
21．（12分）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.
(1)求的方程；
(2)记为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；
（2）设，直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出面积关于k的表达式，进而求其最大值.
【详解】（1）由题意得，，解得，故的方程为.--
（2）设，直线，
联立，整理得：.
由得，且，
，
点到直线的距离，
，
令，故，故，
当且仅当，即时等号成立，
故面积的最大值为.-
22．（12分）设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；
（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究计算其范围即可.
【详解】（1）由题意可设直线的方程为：，，
联立抛物线方程，
所以，
又，
化简得，
解之得，即直线为：，显然过定点；
（2）由抛物线，
则点的切线方程分别为，
易知，联立切线方程可得，
结合（1）可知，∴，
故，，
由弦长公式及（1）可得，
所以，
易知，
即的取值范围为.
