福州市八县市一中2023-2024学年第一学期期中考联考
高中二年数学试卷
完卷时间：120分钟 满分：150分
第I卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
2． 圆 与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
3．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角的值是（ ）
A． B. C． D.
4．在平面直角坐标系中，若圆关于直线的对称圆为圆，则、的值分别为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知三个向量、及共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与椭圆：交于两点，是椭圆的右焦点，,则椭圆的离心率的值为（ ）
A． B． C． D．
7．班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：
已知椭圆C的方程为，其左 右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
8．设点是 圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知实数满足圆的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．圆心，半径为 B．过点作圆的切线，则切线方程为
C．的最大值是 D．的最大值是4
10. 三条直线 ， 与 不能围成三角形，则的所有可能值为（ ）
A. B. C D
11．在平面直角坐标系中，已知，点满足的斜率之积为，点的运动轨迹记为.下列结论正确的（ ）
A. 轨迹的方程 （）
B. 存在点使得
C. 点，则的最小值为
D. 斜率为的直线与轨迹交于，两点，点为的中点，则直线的斜率为
12. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积为定值 B．
C． D．线段长度的最大值为
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则的值为 .
14. 已知直线与圆相交，则直线过的定点是 ; 直线被圆截得的最短弦长等于 .
15. 如图，已知平面与平面的夹角为，在平面与平面的交线上有两点，线段分别在平面与平面内，且都垂直于直线,
若,,,则线段的长度为 .
16. 若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 .
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）
17．如图 在四面体中，，， ，为线段 中点，
(1)用基底表示向量 ,并求线段的长度;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
18．如图，在正方体中，点分别在棱上，
(1)证明：;
(2)求点到平面的距离;
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19. 已知直线过点，
（1）若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程；
（2）若直线与轴正半轴交于点,与轴正半轴交于点，求的最小值及取得最小值时直线的方程.
20．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在轴上，
（1）若圆过点 点， 求圆的方程;
（2）若圆与直线相切，且原点不在圆外，求当圆C的面积最小时圆的方程.
21．如图，圆锥的底面圆上有四点，四边形是正方形，且，点在线段上，若．
(1)证明：平面；
(2)若为等边三角形，点在劣弧上运动，记与平面所成的角为，求的最大值．
22. 已知椭圆的焦距，且过点
(1)求椭圆的方程；
(2)若斜率存在且不经过原点的直线交椭圆于两点异于椭圆的上、下顶点），当的面积最大时，求的值.
高中二年数学科试卷
完卷时间：120分钟 满分：150分
第I卷
选择题（单选8题，每小题5分；多项选择4题，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A A D C B BD ACD AD ABD
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13、 14、(2分) （3分） 15、 16、
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）
17．
解： (1) 是的中点
……………………2分
……………………4分
……………………5分
（2）
…………………7分
…………………9分
故异面直线与所成角的余弦值…………………10分
18.（1）法一证明：如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，1分
则，
，……………2分
……………3分
又不在同一条直线上，
……………4分
法二证明：取中点E,连结,是的中点，
四边形是平行四边形，……………2分
又四边形是平行四边形，……………3分
……………4分
(2) ……5分
设平面的法向量，
则，……6分
令 ，得，
，……7分
设点到平面的距离为
……8分
(3) 平面的法向量，……9分
……11分
故平面与平面的夹角的余弦值……12分
19. （1）法一解：设直线的方程为
则与轴的交点为（）,与轴的交点（）………………2分
由已知可得 ………………3分
解得 或………………4分
直线的方程为或………………5分
即或………………6分
法二：当直线过原点时，符合题意
则……………1分
即………………2分
当直线不过原点时，直线的方程为，………………3分
且过点
解得 ……………4分
即……………5分
故直线的方程为或…………6分
（2）法一解：设直线的方程为
则与轴的交点（）,与轴的交点（）……………7分
，=……………8分
……………9分
当且仅当即等号成立……………10分
故的最小值为……………11分
直线的方程为即直线的方程为……………12分
法二解：直线的方程为，且过点
……………7分
则与轴的交点（）,与轴的交点（）
，=……………8分
……………9分
当且仅当即等号成立……………10分
故的最小值为……………11分
直线的方程为即直线的方程为……………12分
20． (1)法一解：设圆的方程为
由已知可得……3分
解得……4分
故圆的方程为……5分
法二解： 设圆的方程为……1分
由已知可得……3分
解得 ……4分
故圆的方程为……5分
法三解：设圆的方程为……1分
已知点 点，则线段的中点……2分
,则线段的中垂线的方程即
……3分
……4分
故圆的方程为……5分
（2）解：设圆的方程为 ……6分
圆与直线相切
……7分
不在圆外
……8分
解得 ……9分（只要给对范围都得10分）
……10分
当时，……11分
故当圆C的面积最小时圆的方程……12分
21． （1）∵四边形ABCD为正方形
……1分
设到底面的距离分别为，
即，……2分
即，所以即．……3分
设的交点为所以，即，
连接，则，……4分
面面，
所以面．……5分
（2）以为坐标原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，……6分
因为，所以由可得：，
……7分
设平面的一个法向量为
∴，……8分
所以可取……9分
法一：设，则，
∴……10分
当且仅当，即与重合时取等号．……11分
所以的最小值为．的最大值……12分
法二：设且 ，则，
∴……10分
当且仅当，即与重合时取等号．……11分
所以的最小值为．的最大值……12分
22.（1）法一 解：由已知可得 ， ……1分
过点
解得……3分
椭圆的方程为……4分
法二 解：设椭圆的左右焦点分别是 、
由已知可得 ，，则……1分
……3分
，，
椭圆的方程为……4分
法三 解：设椭圆的左右焦点分别是 、，
由已知可得 ，，则……1分
,
……3分
，，
椭圆的方程为……4分
(2)
解：设直线的方程为，，，
将代入椭圆方程整理得，
， ……………………………………5分
，（没写不扣）
，，…………………………6分
异于椭圆的上、下顶点
则，…………………………7分
又原点到的距离为， …………………………8分
法一：故，
…………………………9分
当时，且
的面积最大 . …………………………10分
法二：故，…………………………9分
当且仅当时取等号，，
且（没写不扣）
的面积最大. . …………………………10分
故
.…………………………12分
