武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷
本试卷共6页，22题。满分150分。考试用时120分钟。
考试时间：2023年11月9日下午14：00-16：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 .两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线
A.相交或异面 B.相交 C.异面 D.平行
2.已知椭圆：的离心率为，则
A. B.1 C.3 D.4
3.一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为
A. B.
C. D.
4.实数，满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
5.已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为
A. B. C. D.
6.在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为
A. B. C. D.
7.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线：交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于，两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知椭圆：，，分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是
A.椭圆离心率为 B.的最小值为1
C. D.
10.下列说法正确的是
A.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线的倾斜角范围为
B.“”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C.曲线：与：恰有四条公切线，则实数的取值范围为
D.圆上有且仅有2个点到直线：的距离都等于
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（不含端点，），则下列说法正确的是
A.存在点，使得
B.不存在点，使得异面直线与所成的角为
C.三棱锥体积的取值范围为
D.当点运动到中点时，与平面所成的余弦值为
12.椭圆有如下的光学性质，从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点，左、右焦点分别为、.一束光线从射出，经椭圆镜面反射至，若两段光线总长度为6，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为，.则下列说法正确的是
A.椭圆的标准方程为
B.若点在椭圆上，则的最大值为
C.若点在椭圆上，的最大值为
D.过直线上一点分别作椭圆的切线，交椭圆于，两点，则直线恒过定点
三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共计20分.
13.圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为______.
14.所有棱长都为1的平行六面体中，若为与的交点，，，则的值为______.
15.已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线交于点，则______.
16.已知直线与圆：交于，两点，且，则的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在平面直角坐标系中，已知射线：，：.过点作直线分别交射线，于点，.
（1）已知点，求点的坐标；
（2）当线段的中点为时，求直线的方程；
18.（12分）
如图，和是不在同一平面上的两个矩形，，，记，，.请用基底，表示下列向量：
（1）；
（2）；
19.（12分）
已知圆，圆：，圆：，这三个圆有一条公共弦.
（1）当圆的面积最小时，求圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线同时满足以下三个条件：
（i）与直线垂直；
（ii）与圆相切；
（iii）在轴上的截距大于0，
若直线与圆交于，两点，求.
20.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为的中点，.为上的一点，已知.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）
已知，，是椭圆上的三点，其中、两点关于原点对称，直线和的斜率满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点作斜率不为0的直线，与椭圆的两个交点分别为、，若为定值，则称点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有的“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
22.（12分）
已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.
武汉市部分重点中学2023-2024学年高二上学期期中联考
数学试卷参考答案与评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C D C C A B D BD AC BC ACD
13. 14. 15. 16.30
17.解：（1）由，，可得直线的方程为，
即为，与联立解得，
即；
（2）由题意设，，，，则线段的中点为，
因为线段的中点为，所以，解得：，
所以，，则直线的斜率.
所以直线的方程为，即.
故直线的方程为.
18.（1）
（2）
19.解：（1）依题意，由，解得或，
因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，
当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程是.
（2）因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，
而直线与圆相切，则有，解得或
又因为在轴上的截距大于0，即，所以，即直线的方程为，而圆的圆心，半径，
点到直线：的距离为，
于是得，
20.解：（1）取中点，连接，
∵，为中点，∴；
∵，，∴；
∵四边形为菱形，，
∴为等边三角形，∴，
又，分别为，中点，
∴，∴，
即；
∵，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）连接，由（1）知：为等边三角形，∴，；
以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，，；
由得：，∴
设平面的法向量，
则，
令，解得：，，
∴
∵轴平面，∴平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21.解：（1）设，易知，
由，得，
化简得，故椭圆的标准方程为.
（2）∵点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设直线的方程为，，，
由，得，
∴，，恒成立.
又，
∴
，
要使其值为定值，则，
故当，即时，.
综上，存在这样的稳定点.
22.解：由题意得，
，解得，故椭圆的方程为
（2）设，，，直线的方程为.
将代入，整理得，
，即，
则，
故.
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即（*）时，等号成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值为1.
