专题 勾股定理中的七类翻折模型
翻折（折叠）问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
例2．（2022·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______．
变式1．（2022·四川初二期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内 结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上 结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
例1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.
（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
变式1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东济宁·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）．
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内 结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
例1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
例2．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
例3．（2023春·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．
变式1．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
变式2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形中，，点G在边上，，边上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为__________．
变式3．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广西·八年级专题练习）（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．①求的长．②求的长．
例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
变式1．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
变式2．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
变式3．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
例2．（2022·上海八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
变式1．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
变式2．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（ ）
A．12 B．25 C．20 D．15
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
变式1．（2022·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是___．
变式2．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．4
模型7其他三角形翻折模型
【模型解读】
例1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
变式1．（2023·广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
变式2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
变式3．（2022·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
课后专项训练
1．（2023秋·成都市八年级期中）如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点落在点处，连接交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．（2023·浙江八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
6．（2022·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·重庆八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022·广东·江门八年级期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）
A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm
9．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·深圳市初三月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的处，点A对应点为，且＝3，则BN＝______，AM＝______．
12．（2022·江西·兴国县八年级期末）如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________．
13．（2023·山东济南·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点N为边DC上一动点（不与C、D重合），连接BN，作C关于直线BN的对称点C′连接B C′， C′N，当C′恰好在△ABD的边上时，CN的长为__________．
14．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为____________．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，______．
16．（2023春·浙江·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
17．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为______.
18．（2023·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是___________．
19．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
20．（2023·安徽阜阳·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E处，折痕的一端G点在上．(1)如图1，当折痕的另一端F在上且时，求的长；(2)如图2，当折痕的另一端F在上且时，求的长．
21．（2023·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= .
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
22．（2023·江苏苏州·八年级期末）(1)如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______ .(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．
【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚)；
【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=，求B'D的长；
23．（2023·山西太原·八年级统考期中）图形的折叠即图形的翻折或者说是对称变换.这类问题与生活紧密联系，内容丰富，解法灵活，具有开放性，可以培养我们的动手能力，空间想象能力和几何变换的思想.在综合与实践课上，每个小组剪了一些如图1所示的直角三角形纸片（，，），并将纸片中的各内角进行折叠操作：
（1）如图2，“奋斗”小组将纸片中的进行折叠，使直角边落在斜边上，点落在点位置，折痕为，则的长为______.（2）如图3，“勤奋”小组将中的进行折叠，使点落在直角边中点上，折痕为，则的长为______.（3）如图4，“雄鹰”小组将纸片中的进行折叠，使点落在直角边延长线上的点处，折痕为，求出的长.
专题 勾股定理中的七类翻折模型
翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。
【知识储备】
勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
模型1.折痕过对角线模型
【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.
结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEC是等腰三角形。
例1．（2023·成都市八年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于F，，则（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．
【详解】解：∵，，∴AD=，，
由折叠可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，
∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，
∴在Rt中，由勾股定理得：，
∴，解得：EF=，故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，灵活利用折叠进行发掘条件是解题的关键．
例2．（2022·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形ABCD中，，，如果将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是，，由此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积．
【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，，，
由折叠的性质，可得，，，，，
设，则，
，即，解得，．故答案为．
【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积．
变式1．（2022·四川初二期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.
【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A.
【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
变式2．（2022春·福建泉州·八年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在处．(1)求CF的长；(2)求重叠部分△AFC的面积．
【答案】(1)5(2)10
【分析】（1）矩形沿对角线AC对折后，所以，，，可得，再设AF＝CF＝x，BF＝8﹣x，Rt△BCF中利用勾股定理列出方程，解出x，即可得出答案；
（2）直接根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
以，，，∴（AAS），∴CF＝AF.
设AF＝CF＝x，∴BF＝8﹣x，在Rt△BCF中，，即，解得x＝5．所以CF=5；
（2）由（1）得AF=CF=5，根据题意，得．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等，根据全等三角形的性质得出AF=CF是解题的关键．
模型2.折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
折在矩形内 结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形边上 结论1：≌；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：AEF是等腰三角形。
例1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理即可求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：，，，，
根据折叠可得：，，
设，则，，在中：，解得：，故选：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
例2．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为.
（1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？
【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时.
【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
（2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答;
【详解】解：（1）由题意可得,∴
设,则在中,
∴重叠的面积
（2）由题意可得 ∴
在中∵∴∴
在中此时
∴当时，点恰好落在边上这时.
【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答.
变式1．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质，得，；根据，解出，可得的值，根据直角三角形，利用勾股定理，即可求出．
【详解】∵四边形是矩形，∴，，，
∵是沿折痕折叠得到的，∴，，
∵，∴，
∴在直角三角形中，，∴，∴，
∴，，设，∴，
∴在直角三角形，，∴，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理的知识，解题的关键是掌握折叠的性质，勾股定理的运用．
变式2．（2022·山东济宁·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BF，（见详解图），由翻折变换可知，BF⊥AE，BE=EF，由点E是BC的中点，可知BE=3，根据勾股定理即可求得AE；根据三角形的面积公式可求得BH，进而可得到BF的长度；结合题意可知FE=BE=EC，进而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的长度即可
【详解】如图，连接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折叠得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．
∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=EC=EF=3根据勾股定理有AE=AB+BE
代入数据求得AE=5 根据三角形的面积公式
得BH=即可得BF= 由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°
再由勾股定理有BC-BF=CF代入数据求得CF= 故答案为：
【点睛】此题考查矩形性质和折叠问题，解题关键在于利用好折叠的性质，对应点的连线被折痕垂直平分．
变式3．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，得折痕，若，，求折痕的长（结果保留根号）．
【答案】折痕的长
【分析】在中，，，由勾股定理得到，由折叠性质得到，从而得到，设，则，在中，利用勾股定理得到，解得，在中，利用勾股定理得到，从而得到答案．
【详解】解：由题意可知，在中，，，则由勾股定理得到，
折叠矩形纸片的，使点落在对角线上的点处，
，，
设，则，
在中，利用勾股定理得到，解得，，
在中，利用勾股定理得到，折痕的长．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，涉及折叠的性质、解方程等知识，熟练掌握折叠的性质及勾股定理的运用是解决问题的关键．
模型3.折痕任意两点模型
【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.
折在矩形内 结论1：≌；
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
折在矩形边上 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
折在矩形外 结论1：四边形≌四边形；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3：GC’F是直角三角形。
例1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图所示，四边形是一张长方形纸片，将该纸片沿着翻折，顶点B与顶点D重合，点A的对应点为点，若，，则的面积为_________．
【答案】
【分析】根据长方形得到，，根据折叠的性质得到， ，根据全等三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴，,如图所示：
∵将该纸片沿着EF翻折，顶点B与顶点D重合，
∴A'D，，
∴，，，
∴，∴，
，∴，解得，
∴，∴过作于H，∴，
∴AA'E的面积为，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），长方形的性质，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
例2．（2023春·广西南宁·八年级统考期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
【答案】4
【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；
∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9 x，
由勾股定理得：x2＝32＋(9 x)2，解得：x＝5，∴BF＝9 5＝4．故答案为4．
【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．
例3．（2023春·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．
【答案】2或
【分析】分情况讨论：当时，当时，当时三种情况下，分别利用勾股定理和翻折的性质可得到答案．
【详解】解：当为直角三角形时，可有：
①当时，如图1，
此时，由折叠性质可知，，
∵，∴，∴；
②当时，如图2，
由折叠性质可知，，，，
∴，即M、E、C三点共线，设，则，
在中，，∴，
在中，有，即，
解得 ，即，
③当时，点E在直线CD上，此时，故此种情况不符合题意．
综上所述，满足条件的BN的长为2或．故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．
变式1．（2022·成都市八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
变式2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）在矩形中，，点G在边上，，边上有一点H，将矩形沿边折叠，点C和D的对应点分别是和，若点A、和三个点恰好在同一条直线上时，的长为__________．
【答案】7或1/1或7
【分析】分两种情况，分别画出图形，再根据勾股定理求出线段长，进而得出答案．
【详解】当点A，点，点，共线时，
根据题意可知，，∴．
在中，，∴；
当点A，点，点，共线时，根据题意可知，，
∴．在中，，
∴.所以的长为7或1．故答案为：7或1．
【点睛】这是一道关于矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，准确的画出图形是解题的关键．
变式3．（2022·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________．
【答案】
【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，
连接 ，则有四边形 ，四边形相当于四边形沿 边对折得到．
已知，，则 ， ，在 中，
，则 ，
设 ，则 ， ，在 中， ，
即 ，解得 ，故答案为：．
【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点．
模型4.过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例1．（2023春·广西·八年级专题练习）（1）如图①，的斜边比直角边长2cm，另一直角边长为6cm，求的长．（2）拓展：如图②，在图①的的边上取一点D，连接，将沿翻折，使点B的对称点E落在边上．①求的长．②求的长．
【答案】（1）10cm；（2）① 4cm；② 3cm
【分析】（1）利用勾股定理，进行求解即可；（2）①根据翻折得到，利用求出的长即可；②在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：（1）设，则，
在中：，即：，解得：；∴；
（2）①∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，
∴，∴；
②∵将沿翻折，使点B的对称点E落在边上，∴，
设，则，
在中：，即：，解得：；即：．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质，对应边相等，对应角相等，以及勾股定理，是解题的关键．
例2．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长是 ___________．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解得，则．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
根据折叠的性质可知：，，∵，∴，
设，则，在中，由勾股定理得
∴，解得∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键．
变式1．（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】A
【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=AD，AB=2AD=4，可求AB2-AC2的值．
【详解】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，∴AC=AD=，
∵∠B=30°，∴AB=2AD=2×2=4，∴AB2-AC2=42-（）2=8，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
变式2．（2023春·重庆九龙坡·八年级校考期中）如图，在中，，，，点D在边上，连接．将沿翻折后得到，若，则线段的长为______．
【答案】
【分析】与交于点F，设，则，根据勾股定理得出，，再由翻折的性质得出，，设，则，继续利用勾股定理求解即可．
【详解】解：与交于点F，设，则，
∵，，，，
∴即，解得：，
∴，∴，
∵将沿翻折后得到，∴，，
∴，设，则，
∴即，
解得： 线段的长为 故答案为：
【点睛】本题考翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握运用勾股定理进行求解，属中考常考题型．
变式3．（2023春·广东阳江·八年级统考期中）如图，中，，，．
(1)的长为 ．(2)把沿着直线翻折，使得点C落在边上E处，求的长．
【答案】(1)20(2)6
【分析】（1）在中利用勾股定理即可求出的长；
（2）首先根据折叠的性质可得，，则，设，则，根据勾股定理得出即可求出．
【详解】（1）解：∵ ∴
∵，∴ 故答案为：；
（2）根据折叠可得：， 则，
设，则，
∵ ∴ 解得：， ∴
【点睛】该题主要考查了折叠的性质，勾股定理，掌握翻折变换的性质是解题的关键．
模型5.过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例1．（2022·山东枣庄·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得AE=BE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AE=BE，∵ AC=8，∴BE+CE=8，设CE=x，则BE=8-x，
在中，，∴，解得：．故答案为：
【点睛】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
例2．（2022·上海八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．
【答案】．
【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．
【详解】如图所示，∵，∴BC==8，
∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，
设DE=x，BE=y，根据题意，得，，
解得x=，y=,∴,故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．
变式1．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，
设，则，，在中，∵，∴，
解得，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
变式2．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（ ）
A．12 B．25 C．20 D．15
【答案】D
【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，， ，
∵折叠，点B与点重合， ， ， ， ，
设，则 ，
又 ，在中， ，
即 ，解得： ， ．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．
模型6.过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例1．（2022·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，
则和，，在中，，
当时，，解得：，
当时，，解得：，故选D．
【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．
例2．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．
【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，
∵，∴，∴，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，
∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．
变式1．（2022·陕西西安·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝2，AB＝2，D、E分别是AB和BC上的点，若把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，则BD的长是___．
【答案】/1.75
【分析】根据折叠的性质可得，设，则，在中，勾股定理列出方程即可求得的长，进而求得BD的长．
【详解】把△BDE沿DE翻折，B的对应点恰好落在AC的中点处，
,设，则，
在中，即解得故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
变式2．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，
∵，，，点是边的中点，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．
模型7其他三角形翻折模型
【模型解读】
例1．（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用折叠和中线的性质，得到的面积，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式求出，进而求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵∴为的中线，∴，
∵翻折，∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴；故选B．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．
例2．（2022·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，
∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
变式1．（2023·广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】由折叠可得，，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由折叠可得：，，
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相应直角边．
变式2．（2022·内江九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
变式3．（2022·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，∴AC BC＝AB CE，∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝ ∴B′F＝．选：A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
课后专项训练
1．（2023秋·成都市八年级期中）如图，已知中，，，将此三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据折叠可得，再在中利用勾股定理列方程计算即可．
【详解】∵三角形沿翻折，使得点A与点B重 合，∴，
∵，∴，在中，
∴，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（2023春·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图，已知直角三角形，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，连接交于点F．若，，则点E到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作于点M，先根据勾股定理求出的长度，再根据翻折的性质得出，继而利用三角形的面积公式求出，再求出,，利用三角形的面积求解即可．
【详解】过点E作于点M，
∴，在直角三角形，，，，∴，
∵把沿着翻折，得到，∴，
∴，∴，即，
解得，∴,，
∵，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，折叠的性质，熟练掌握知识点，准确添加辅助线是解题的关键．
3．（2022秋·江苏镇江·八年级校联考期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，点落在点处，连接交于点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据可得最小时，最大，当时， 最大，根据折叠的性质可得，根据等面积法求得，进而即可求解．
【详解】解：∵，，，∴，
将边沿翻折，∴，∵，
∴当时，最小，此时最大，则，
∴，∴的最大值为，故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等面积法求得的最小值是解题的关键．
4．（2023春·成都市八年级课时练习）如图，在中，，cm，cm，点、分别在、边上．现将沿翻折，使点落在点处．连接，则长度的最小值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．
【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=10cm，
由折叠的性质知，BH=BC=6cm，∴AH=AB-BH=4cm．故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5．（2023·浙江八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝，D是BC上一点，连接AD．把△ACD沿AD翻折得到△ADE，且DE⊥AB于点F，连接BE，则点E到BC的距离为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出BH、CG的长度，根据等面积法可计算出AG的长度，再由翻折的性质可得△AGD≌△AFD，在Rt△BDF中，可计算出DF的长度，即可得出DE的长，再由在△BDF中应用等面积法即可得出答案．
【详解】解：过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点B作BH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝BC＝5，∴，
在Rt△BCH中，BH2+CH2＝BC2，BH2+()2＝52，解得BH＝，
解得：AG＝3，
在中，CG2+AG2＝AC2，CG2+33＝，解得：CG＝1，
由翻折可得，∠ADF＝∠ADG，∵DE⊥AB，∴∠AGD＝∠AFD＝90°，
∴△AGD≌△AFD(AAS)，∴AF＝AG＝3，BF＝AB﹣AF＝2，
设GD＝x，则DF＝x，BD＝4﹣x，在Rt△BDF中，DF2+BF2＝BD2，x2+22＝（4﹣x）2，解得，
∴DE＝CD＝，BD＝BC﹣CD＝，设点E到BC的距离为d，
解得d＝2．所以点E到BC的距离为2．故选：C．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
6．（2022·河北保定·八年级校考期末）如图，已知中，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由折叠可得△AEF≌△DEF，可知AE=DE，由点为边的中点，可求CD=，设DE=x，CE=6-x，在Rt△CDE中由勾股定理解方程即可．
【详解】解：∵将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，∴△AEF≌△DEF，∴AE=DE，∵点为边的中点，∴CD=，设DE=x，CE=6-x，
在Rt△CDE中由勾股定理，即，解得．故选择：C．
【点睛】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．
7．（2022·重庆八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，
，∴，∴BF=4，∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，解得，x= ，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
8．（2022·广东·江门八年级期中）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）
A．6cm B．9cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【详解】解：∵长方形折叠点B与点D重合，∴BE＝ED，设AE＝x，则ED＝BE＝9﹣x，
在Rt△ABE中，，即，解得x＝4，
∴AE的长是4cm，∴BE＝9﹣4＝5（cm），故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键．
9．（2022·山东济宁·中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，∴∠B+ ∠C= 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，∴AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，解得即AE=故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
10．（2022·深圳市初三月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
分析：先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF===4，设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，故选D．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
11．（2022·江苏·无锡八年级期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的处，点A对应点为，且＝3，则BN＝______，AM＝______．
【答案】 5 2
【分析】由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理构建方程求出x；连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】解：由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，
∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；设AM=y，连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，
即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案为：5；2．
【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
12．（2022·江西·兴国县八年级期末）如图，将一个边长分别为 8，16 的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是___________．
【答案】4
【分析】根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，得到EC=AE，∠AEF=∠CEF，推出AE=AF=CE，勾股定理求出AE，得到BE，作EG⊥AF于点G，根据勾股定理求出EF．
【详解】解：根据折叠的性质知，EC=AE，∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=CE，
由勾股定理得，AB2+BE2=AE2即82+（16-AE）2=AE2，
解得，AE=AF=10，BE=6，作EG⊥AF于点G，
则四边形AGEB是矩形，有AG=6，GF=4，GE=AB=8，由勾股定理得EF=4．故答案为：4．
【点睛】此题考查了矩形与翻折，勾股定理，等角对等边证明边相等，熟记翻折的性质是解题的关键．
13．（2023·山东济南·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点N为边DC上一动点（不与C、D重合），连接BN，作C关于直线BN的对称点C′连接B C′， C′N，当C′恰好在△ABD的边上时，CN的长为__________．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论：点C'在BD上或点C'在AD上，依勾股定理以及折叠的性质，即可得到CN的长．
【详解】如图所示，当点C'在BD上时，
设CN=x，则C'N=x，DN=3-x，由折叠可得，∠C=∠BC'N=90°，BC'=BC=4，
Rt△BCD中，BD= ，∴C'D=5-4=1，∴Rt△DC'N中，12+x2=（3-x）2，解得x=；
如图所示，当点C'在AD上时，
设CN=x，则C'N=x，DN=3-x，由折叠可得，BC'=BC=4，
Rt△ABC'中，AC'=，∴C'D=，
∴Rt△DC'N中，()2+(3 x)2＝x2，解得x=；
综上所述，CN的长为或．故答案为：或．
【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理的运用，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
14．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，中，，，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为____________．
【答案】
【分析】由折叠可知可得，知，根据，，用面积法可得，由勾股定理得，即得，故．
【详解】解：由折叠可知，，，，
，，，∴，
∵，∴，∴是等腰直角三角形，，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∵，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查图形的折叠，熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质是解题的关键．
15．（2022秋·江苏无锡·八年级校考期中）如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，______．
【答案】或10
【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：当P点在E点左边时，如图1，由折叠性质得，
∵，，，∴，
∵，∴，
∵，∴∴，
设，则，，∵，∴ ，解得，，即；
当P点在E点右边时，如图2，
由折叠知，，∴，
设，则，，
∵ ，∴，解得，，即；
综上，或10．故答案为：或10．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，注意分类讨论的思想是解答本题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，，,，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，，则______．
【答案】1
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，
∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴BE=EG，
∵，，∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，
∵在Rt△ABC中，，，
∴AE2+AB2=BE2即，∴AE=1，故答案为：1．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
17．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为______.
【答案】（0，）．
【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．
【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC，∴EA=EC（设为x）；
由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，
解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
18．（2023·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC，D为AB的中点，E为BC上一点，将△BDE沿DE翻折，得到△FDE，EF交AC于点G，则△ECG的周长是___________．
【答案】
【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，
【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．BC= ,
∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,
∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，
∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长=EG+GC+CE=BE+EC=BC=,故答案为.
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．
19．（2022·吉林白城·八年级期末）如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．
【答案】(1)16(2)36
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；（2）根据折叠的性质得出，设CD＝x，则，利用勾股定理得出CD=6，由三角形面积公式求解即可．
（1）∵在中，，，，∴，故答案为：16；
（2）由折叠可知，∵AC＝12，∴设CD＝x，则在中，，∴解得x＝6，∴．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握运用勾股定理及折叠的性质是解题关键．
20．（2023·安徽阜阳·八年级期末）如图，在矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E处，折痕的一端G点在上．(1)如图1，当折痕的另一端F在上且时，求的长；(2)如图2，当折痕的另一端F在上且时，求的长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据折叠的性质，，设，则EF=16-x，根据勾股定理列方程并求解即可；
（2）根据折叠的性质可得，，，AF=FH，因为，所以，可得，所以，在Rt中利用勾股定理求出FH即为AF的长．
（1）由折叠，得 设．
在Rt中，由勾股定理，得 即解得，即
（2）由折叠，得，，
在Rt中又
【点睛】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠后对应线段、角度相等的性质和用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
21．（2023·广东深圳·八年级校考期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=3.
(1)如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE=x，则DE= (用含x的代数式表示)，CD′=AD=3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE= .
(2)如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长；
(3)如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E. F，且DF=A′F，请直接写出此时CE的长.
【答案】（1），;（2）;（3）
【分析】（1）可得表达式，由折叠可得，然后用勾股定理列方程求解；
（2）首先证明DE=EB，设DE=EB=y，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
（3）如图③中，设．首先证明△DFP≌△A′FE，推出，，由，推出，，，在Rt△ECB中，可得，解方程即可.
【详解】解：（1），由折叠可得，
在中， 即，解得
（2）如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴DE=EB，设CE =y，则DE=EB=5 y，
在Rt△BEC中,，解得，所以CE=
(3)如图③中,设PA=PA′=m.
在△DFP和△A′FE中，∴，∴，，
∵，∴，，，
在Rt△ECB中,，解得，∴
【点睛】本题考查勾股定理中的折叠问题，利用折叠的性质，找出线段关系，在直角三角形中利用勾股定理建立方程，是此类问题的通用解法.
22．（2023·江苏苏州·八年级期末）(1)如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C'处，若∠ADB=46°，则∠DBE的度数为______ .(2)小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9．
【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN(点M，N分别在边AD，BC上)，利用直尺和圆规画出折痕MN(不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚)；
【算一算】如图3，点F在这张矩形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A'，B'处，若AG=，求B'D的长；
【答案】(1)23(2)【画一画】画图见解析;【算一算】DB`=3
【分析】(1)根据矩形性质可得AD∥BC,从而可得∠ADB=∠DBC=46°,再根据翻折的性质即可求得∠DBE的度
(2)画一画:连接CE并延长交BA的延长线与点G,利用尺规作图画出∠BGC的角平分线即可得抓痕MN,
算一算:由已知可得GD=,根据矩形的性质及翻折的性质可得∠DFG=∠DGF,从而可得DF=DG=,在Rt△CDE中,根据勾股定理可求得CF= ,根据BF=BC-CF求得BF的长,再根据翻折的性质继而可求得DB`的长即可
【详解】(1)如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=46°，
由翻折不变性可知，∠DBE=∠EBC= ∠DBC=23°，故答案为23．
(2)【画一画】，如图2中， 【算一算】如图3中，
∵AG=，AD=9，∴GD=9 =，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠DGF=∠BFG，
由翻折不变性可知，∠BFG=∠DFG，∴∠DFG=∠DGF，∴DF=DG=，
∵CD=AB=4，∠C=90°，∴在Rt△CDF中，CF=，∴BF=BC CF= ，
由翻折不变性可知，FB=FB'=，∴DB'=DF FB'= =3．
【点睛】此题考查作图-折叠变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于掌握作图法则
23．（2023·山西太原·八年级统考期中）图形的折叠即图形的翻折或者说是对称变换.这类问题与生活紧密联系，内容丰富，解法灵活，具有开放性，可以培养我们的动手能力，空间想象能力和几何变换的思想.在综合与实践课上，每个小组剪了一些如图1所示的直角三角形纸片（，，），并将纸片中的各内角进行折叠操作：
（1）如图2，“奋斗”小组将纸片中的进行折叠，使直角边落在斜边上，点落在点位置，折痕为，则的长为______.（2）如图3，“勤奋”小组将中的进行折叠，使点落在直角边中点上，折痕为，则的长为______.（3）如图4，“雄鹰”小组将纸片中的进行折叠，使点落在直角边延长线上的点处，折痕为，求出的长.
【答案】（1）3；（2）；（3）长为.
【分析】（1）设CD为xcm，则BD=BC-CD=（8-x）cm，利用折叠的性质表示出DE、BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理得，得到一个关于x的方程，解出即可.（2）设BD为ycm，则CD=BC-BD=（8-y）cm. 利用折叠的性质表示出DE、CE、DE,在Rt△CDE中，，得到一个关于y的方程，解出即可.（3）在中，利用勾股定理求AB，进而利用折叠的性质求BE，CE，设，则，，在中，根据勾股定理得，可得，解出即可.
【详解】解：（1）设CD为xcm，则BD=BC-CD=（8-x）cm.
∵纸片中的进行折叠，使直角边落在斜边上，点落在点位置
∴DE=CD=xcm,AE=AC=6cm,BE=AB-AE=10-6=4cm
∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得 解得x=3cm
（2）设BD为ycm，则CD=BC-BD=（8-y）cm.
∵中的进行折叠，使点落在直角边中点上，折痕为
∴DE=BD=ycm,CE= =6cm ∴在Rt△CDE中，利用勾股定理得
解得y=cm
（3）在中，， 根据折叠的性质可知：，
∵， ∴，设，则，，
在中，根据勾股定理得，即，
解得，即长为.
【点睛】本题主要考查了利用折叠得到图形的特性来解决问题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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