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嘉祥教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学
注意事项：
1．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存。
2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效。
4．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．椭圆C：一个焦点的坐标是（ ）
A．（2，0） B．（0，2） C．（0，4） D．（4，0）
3．已知点P是圆C：x2 + y2―4x―2y + 1 = 0上一点，点Q（―1，5），则线段PQ的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．直线l：y = 2x－4关于点A（1，0）对称的直线方程为（ ）
A．y = 2x B．y =－2x C．y = 2x－8 D．y = 2x + 4
5．若{，，}为空间的一个基底，则下列各项中能作为基底的是（ ）
A．{，，} B．{，，} C．{，，} D．{，，}
6．已知直线l1：2x－ay + 1 = 0，l2：（a－1）x－y + a = 0，则“a = 2”是“ l1∥l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA = AB = 1，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图（1）、（2）、（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为、、，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3，则（ ）
A．e1＜e3＜e2 B．e2＜e3＜e1 C．e1＜e2＜e3 D．e2＜e1＜e3
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（1，－2，2），则正确的是（ ）
A．点P关于x轴对称点的坐标为（－1，－2，2）
B．点P关于平面xOy的对称点坐标为（1，－2，－2）
C．点P到原点O的距离是3
D．直线OP与y轴所在直线夹角的余弦值为
10．已知直线l过点P（4，5），且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线，点，，，P为曲线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为6 B．的面积的最大值为
C．存在点P，使得 D．的最大值为7
12．已知直线和圆，点A是直线上的一个动点，点是圆上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当最小时，直线的方程为
C．若圆O上总存在点D，使得，则A的横坐标的取值范围是
D．定点（3，3）到动直线BC距离最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知光线经过点A（4，6），经x轴上的B（2，0）反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为 ．
14．已知a∈R，方程a2x2 +（a + 2）y2 + 4x + 8y + 5a = 0表示圆，则a = ．
15．椭圆C：（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为 ．
16．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，斜率为正的直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于P，Q两点，点的位置如图所示，且，则直线l的斜率为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）已知△ABC的顶点A（3，2），边AB上的中线所在直线方程为x－3y + 8 = 0，边AC上的高所在直线方程为2x－y－9 = 0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
18．（本题满分12分）已知以点A（－1，2）为圆心的圆与直线l1：x + 2y + 7 = 0相切，过点B（－2，0）的直线l与圆A相交于M，N两点，且︱MN︱=．
（1）求圆A的标准方程；
（2）求直线l的一般方程．
19．（本题满分12分）已知四面体ABCD的顶点坐标分别为A（0，0，2），B（2，2，0），C（1，2，1），D（2，2，2）．
（1）若M是BD的中点，求直线CM与平面ACD所成的角的正弦值；
（2）若P，A，C，D四点共面，且BP⊥平面ACD，求点P的坐标．
20．（本题满分12分）如图，已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，过F2的直线 l：x = ty + 1（t∈R）与椭圆C交于A，B两点，且△ABF1的周长为8．
(
y
x
D
F
1
E
F
2
B
A
)（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的长轴是DE，直线AD，BE的斜率分别是k1，k2，求的值．
21．（本题满分12分）如图，正三棱锥A－BCD中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF．
(
A
B
C
D
F
E
)（1）判断AB与EF的位置关系，说明理由；
（2）若AB =，BC = 2，求平面BCD与平面BEF所成角的余弦值．
22．（本题满分12分）已知圆H：x2 + y2 + 2x－15 = 0和定点A（1，0），B是圆H上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求的取值范围．嘉祥教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B C A C C D B BC ABC BD BCD
11．【答案】BD 改编于教材115页第1题
【详解】对于A，由椭圆，得的周长为，A错误；
对于B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积，B正确；
对于C，当P为椭圆短轴顶点时，最大，
此时，即为锐角，故不存在点P使得，C错误；
对于D，由椭圆，所以．又，所以，
所以，当且仅当三点共线时，取等号，D正确．
12．【答案】BCD 改编
解：对于A：最大值为1，故A错误；
对于B： 最小时，就是最小，只需要最小时． 因为当是点到直线的距离时，最小，最小值为，易知此时直线的方程为．
对于C：因为点A是直线上的一个动点，所以设，
因为曲线上总存在点，使得，所以，
因此，又因为在中，，
所以，即，解得，
因此点A的横坐标的取值范围是，故C正确；
对于D：由题意过点A作曲线的两条切线，切点分别为 ，
可知 两点在以为直径的圆上，设，则为直径的圆的方程为，
和相减可得直线的方程，即，即，由于，故由，得，所以直线恒过定点，故D正确．
13．（0，6） 14．－1 15． 16．
16．改编 解：设，因为直线斜率为正，设为，所以可设点在第一象限，
，且A，B，P，Q四点共线，，
，，
又，，，，
在椭圆上，，，
两式相减可得，，，
又，，
，即，，
，又直线斜率为正，．
17． 改编于教材79页第10题
解：（1）因为边上的高所在直线方程为，设直线的方程为，又因为直线过点，则，得到直线的方程为，联立，解得的坐标为．
……………………… 5分
（2）设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，所以，解得，即的坐标为．
则直线的方程为． ……………………… 10分
18． 解：（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切，则点到直线的距离等于半径，得，∴圆A的标准方程为． ……………………… 4分
（2）由（1）知，，，则圆心A到直线的距离 d =︱AQ︱= 1．
当直线l与x轴垂直时，即，此时圆心A到直线的距离为，符合题意；
当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，
， 解得，∴直线l为：．
综上所述，直线l的方程为或． ……………………… 12分
19．解：（1）由题意，，，，，
设平面ACD的法向量，则，即，
化简得．令，则，，可得平面ACD的一个法向量，
设直线CM与平面ACD所成的角为，则，
即直线CM与平面ACD所成的角的正弦值为． ……………………… 6分
（2）由题意，，于是点P的坐标为，
又P，A，C，D四点共面，可设，
即，即，解得，
所以所求点P的坐标为． ……………………… 12分
20．（满分12分）已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点，过F2（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF1的周长为8．
(
y
x
D
F
1
E
F
2
B
A
)（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的长轴是DE，直线AD，BE的斜率分别是k1，k2，求的值．
解：（1）由已知得2a + 2a = 8，c = 1，
∴ a = 2，c = 1，b2 = 3，
因此，椭圆C的方程为． ……………………… 4分
（2）由（1）知D（－2，0），E（2，0）．
设l：x = ty + 1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立x = ty + 1和，
消去x，整理得 （3t2 + 4）y2 + 6ty－9 = 0，
∴ ，，
从而 ． ……………………… 8分
∴ =．……………………… 12分
说明：若l⊥x轴，△ABF1的周长为8，面积为3，如何求椭圆的方程呢？
21．（满分12分）如图，正三棱锥A－BCD中，E，F分别是侧棱AC，AD的中点，连接EF．
（1）试判断AB与EF的位置关系，并说明理由；
(
A
B
C
D
F
E
)（2）若AB =，BC = 2，求平面BCD与BEF所成角的余弦值．
解：（1）AB与EF异面垂直．
因为点A，直线EF在平面ACD内，且点A在直线EF在外，
点B在平面ACD外，所以AB与EF是异面直线．
而AB⊥CD，EF∥CD，所以AB⊥EF．
进而AB与EF异面垂直． ……………………… 4分
（2）取等边△BCD的中心O，连接AO，OC，则AO⊥平面BCD，
OC⊥BD，作Oy垂直OC，如图所示建立空间直角坐标系．
则A（0，0，），B（，－1，0），C（，0，0），D（，1，0），
(
A
B
C
D
F
E
z
O
y
x
)E（，0，），F（，，），
有，． ……………………… 8分
取平面BEF的法向量m =（x，y，z），
则
解得 m =（1，，）．
取平面BCD得法向量 n =（0，0，1），
则平面BCD与BEF所成角的余弦值． ……………………… 12分
方法二：易知BE = BF = 2，则 S△BEF =．
设△BEF在平面BCD内的射影为△BPQ，容易计算S△BPQ =
所以．
22．解：改编教材115页第6题（1）由，得，
所以圆心为，半径为4，连接MA，由l是线段AB的中垂线，得，
所以，又，
根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆，
所以，，，所求曲线C的方程为． ……………………… 4分
（2）由直线EF与直线PQ垂直，可得，
于是，
①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零，
此时可不妨取，，，，
所以，
②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得，
③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为，，，，，
则直线EF的方程为，
将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，，
所以，，
于是
，
将上面的k换成，可得，
所以，
令，则，于是上式化简整理可得，
，
由，得，所以，
综合①②③可知，的取值范围为． ……………………… 12分
