武夷山第一中学2023-2024学年第一学期期中考试
数学（实验班）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合，即可由交运算求解.
【详解】由得，所以,
由得，所以，
故，
故选：B
2. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】首先设出半径，然后利用扇形弧长公式求解即可.
【详解】设该扇形半径为，
又∵圆心角，弧长，
∴扇形弧长公式可得，，解得，.
故选：B.
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数单调递增，计算，，得到答案.
【详解】在上单调递增，
，，故零点所在的区间为.
故选：D
4. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过指数运算与对数函数单调性比较大小即可.
【详解】因为，所以，所以，所以，
又，所以，所以，
又，所以，所以，所以.
故选：A.
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数为奇函数排除A，当时，排除C，计算函数零点排除B，得到答案.
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除A；
当时，排除C；
当时，取，，即函数上只有一个零点，排除B；
故选：D.
6. 已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组，求解即可得出答案．
【详解】因为是上的减函数，
所以，解得，即，
所以实数的取值不可能是，
故选：D．
7. 已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据的定义域为，且是奇函数，得到的图象关于对称，且，再根据的图象也关于对称，画出两个函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：因为的定义域为，且是奇函数，
所以，则的图象关于对称，且，
当时，，
又因为函数，
所以的图象关于对称，
所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和，
和的图象，如图所示：
由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1，另外四个，两两分别关于对称，
所以5个交点的横坐标之和为，
故选：C
8. 据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（ ）（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指对运算即可解出答案.
【详解】由题意得，即，
即，两边同取自然对数得，，
所以，
故选：B.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的定义域和对应关系是否相同来判断函数是否为同一函数，从而求解.
【详解】对于A：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；
对于B：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；
对于C：，，两函数对应关系相同，但定义域不同，所以不是同一函数，故不符合题意；
对于D：，，两函数定义域和对应关系都相同，故为同一函数，故符合题意；
故选：BD.
10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A. 给定幂函数，则对任意，都有
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 函数与互为反函数，则的单调递减区间为
D. 已知函数奇函数，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据幂函数的表达式，结合基本不等式即可求解A，根据抽象函数的定义域即可求解B，根据反函数的定义，由对数型函数的定义域即可判断C，根据奇函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，，
由于所以，进而可得，
从而可得，即,故A正确，
对于B，若函数的定义域为，则函数的定义域满足，
所以，故其定义域为，故B正确，
对于C，由于函数与互为反函数，所以，
则，定义域为，
由于不在定义域范围内，故C错误，
对于D，当时，，则，
由于为奇函数，所以，
故，D正确，
故选：ABD
11. 已知正数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用乘“1”法即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，构造二次函数结合C选项范围即可判断D.
【详解】对A，由题意得，
当且仅当，即时等号成立，故A错误，
对B，，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确；
对D，，所以，
所以，因为，
所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确.
故选：BCD
12. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A. B.
C. 是奇函数 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据赋值法，即可结合选项逐一求解.
【详解】令，则，故A正确，
令可得，
由于故，
令可得，
令可得，故，B正确，
由于，且，，所以，所以为偶函数，C错误，
令可得，故，由于不恒为0，所以，
又，故，
由于，
所以，故D正确，
故选：ABD
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为，计算得到答案.
【详解】分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.
故答案为：.
14. 已知函数，若，则________.
【答案】5
【解析】
【分析】
先利用换元法求解出原函数的解析式，然后利用得出的值.
【详解】令，则，.
因为，所以，解得.
故答案为：
【点睛】求解复合函数的解析式时，只需用换元法，令，用含的式子表示出然后代入原函数解析式便可得出的解析式.
15. 化简式子的值为__________.
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
16. 设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】当时，由二次函数性质可知无最大值；当时，，无最大值；当时，分别在两段区间内求得的取值范围，根据有最大值可构造不等式求得结果.
【详解】当时，开口方向向上，此时无最大值，不合题意；
当时，，此时，无最大值，不合题意；
当时，若，；若，在上单调递增，在上单调递减，则；
若存在最大值，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定，计算，得到，解得答案.
（2）变换，计算函数的最大值即可.
【小问1详解】
，故，
，
故，解得，即；
【小问2详解】
，即，
设，，
，故，即.
18 已知，
（1）判断零点的数量；
（2）若，且在区间有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）只有1个零点；
（2）.
【解析】
【分析】（1）解法1：画出函数的图象即可判断；
解法2：当时，没有零点，当时，根据函数的单调性及零点存在定理即可求解；
（2）在区间单调递增，故可得，求解即可.
【小问1详解】
解法1：令得，
在同一坐标系中作函数的图象：
两个函数图象有1个公共点，
则方程有1个实数解，有1个零点.
解法2：当时，没有零点，
当时，，
则在区间内有零点.
又因为函数在单调递增，则在单调递增，
所以在在有1个零点,
综上：只有1个零点.
【小问2详解】
又因为函数在单调递增，则在单调递增，
则在区间单调递增.
因为在区间有且仅有一个零点，
因此：，即，解得：.
19. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数及利润函数的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
【答案】（1）利润函数，最大值为（元）
（2）当台时，每台产品的利润取到最大值1900元
【解析】
【分析】（1）根据题意得到的解析式，再利用二次函数的性质即可求得的最大值；
（2）根据题意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.
小问1详解】
由题意知，
，
易得的对称轴为，
所以当或时，取得最大值为（元）．
所以利润函数，最大值为（元）；
【小问2详解】
依题意，得
（元）.
当且仅当时等号成立，即时，等号成立．
所以当台时，每台产品的利润取得最大值元．
20. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；
（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.
【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；
（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求得，再由求得、b的值；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；
（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求
【小问1详解】
由题意可知，
即，
，
又，即
【小问2详解】
，且，有
，
由于，即，
所以函数在区间上单调递增.
【小问3详解】
因为为奇函数，所以由，
得，
又因为函数在区间上单调递增，
所以
解得，故，
所以实数的取值范围是
22. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据不动点定义，，求解即可；
（2）由题意，，对任意实数，恒有两个根，利用判别式，分析即得解；
（3）由题意，因为，可得，结合均值不等式，即得解
【小问1详解】
，因为为不动点，
因此，所以，
所以为的不动点.
【小问2详解】
因为恒有两个不动点，，，由题设恒成立，
即对于任意恒成立，
令，则由对于任意恒成立可得，
所以，所以.
故a的取值范围是.
【小问3详解】
因为，
所以，
则
，当且仅当等号成立，
可得武夷山第一中学2023-2024学年第一学期期中考试
数学（实验班）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4 设，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数是上的减函数，则实数的取值不可能是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 据国家航天局表明，神舟十六号载人飞船将在今年11月左右返回地球．在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f，经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关，且满足，其中G为飞船重力，为飞船初速度．已知当时，飞船将达到平衡状态，开始匀速运动，则飞船达到平衡状态时，（ ）（）
A. B. C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
10. 有下列几个命题，其中正确的是（ ）
A. 给定幂函数，则对任意，都有
B. 若函数定义域为，则函数的定义域为
C. 函数与互为反函数，则的单调递减区间为
D. 已知函数是奇函数，则
11 已知正数a，b满足，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A B.
C. 是奇函数 D.
三 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为__________.
14. 已知函数，若，则________.
15. 化简式子的值为__________.
16. 设函数，若存在最大值，则实数的取值范围为_________．
四 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，都有，求实数的取值范围.
18. 已知，
（1）判断零点的数量；
（2）若，且在区间有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
19. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差．
（1）求利润函数及利润函数的最大值；
（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为，求的最大值及此时的值．
20. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
21. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用单调性定义证明：函数在区间上单调递增；
（3）若，求实数的取值范围.
22. 对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数.
（1）当时，求函数的不动点；
（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；
（3）在的条件下，若的两个不动点为，且，求实数的取值范围.
