2023-2024学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
3．（2分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2、3、6 B．3、5、9 C．3、4、5 D．2、3、5
4．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，直接判定△BCD≌△CBE的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
5．（2分）下面的多边形中，内角和等于外角和的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2分）如图，∠ABD＝∠BED＝90°，AB＝BD，AC＝5，DE＝2（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，则BC＝（ ）
A．3 B．4 C．6 D．不确定
8．（2分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
9．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，则∠A′DB＝（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
10．（2分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，AO＝DO＝6m，CD＝15m，B两点间的距离为 m．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝120°，则∠A＝ °．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，则∠1＝ °．
14．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE ．
15．（3分）如图，等边△ABC中，BD＝CE，则∠APE的度数是 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D ．
三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18题、19题、20题各8分，共30分）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 ，线段BB1的长为 ．
18．（8分）已知如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
19．（8分）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，2小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西60°方向
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
四、解答题（本题共3小题，其中21题10分，22题8分，23题10分，共28分）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，点E在AB边上，∠BDE＝∠A．求证：△ADE是等腰三角形．
22．（8分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A坐标为（1，3），OA＝OB，∠AOB＝90°．
（1）点B的坐标为 ；
（2）点C为整点，△AOC≌△BOC，若点C在第一象限 ；若点C在第三象限，请写出一个符合条件的点C的坐标 ．
23．（10分）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？
问题解决：
如图3，作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？
如图4，在连接A，B′两点的线中，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．
数学思考：
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
（1）如图5，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为AD上一动点，若AD＝12，求△PBE周长的最小值；
（2）如图6，在△ABC中，AB＝AC＝4，点E是AB上一动点，P为AD上一动点，S△ABC＝6，则PB+PE的最小值为 ．
五、解答题（本题共2小题，24、25题各12分，共24分）
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CE＝CB，∠BAE＝2∠B．
（1）探究∠CAE和∠CAB之间的数量关系，并证明；
（2）若BD＝2AD，求的值．
25．（12分）综合与实践：
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
如图，△ABC中，AB＝AC，使BD＝BC，连接CD，交AB延长线于点E．
动手操作：
（1）请按要求，补全图形；（画图工具不限）
问题初探：
（2）小明发现，图中CD＝CE，请你证明此结论；
深入探究：
（3）数学小组经过讨论研究，提出问题：延长BC到F，使CF＝BE，线段CG，BD有确定的数量关系．请你解答此问题．
2023-2024学年辽宁省大连市中山区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°（ ）
A．20° B．30° C．40° D．70°
【分析】由直角三角形的性质可直接求得答案．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
【解答】解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是：（2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
3．（2分）在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．2、3、6 B．3、5、9 C．3、4、5 D．2、3、5
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：A、3+3＝4；
B、3+5＝5＜9；
C、3+6＝7＞5；
D、3+3＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
4．（2分）如图，BE，CD是△ABC的高，直接判定△BCD≌△CBE的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．HL
【分析】根据HL即可证明Rt△BCD≌Rt△CBE．
【解答】解：在Rt△BCD与Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
5．（2分）下面的多边形中，内角和等于外角和的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】根据任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°解决此题．
【解答】解：A．三角形的内角和等于180°，故三角形的内角和与外角和不相等．
B．四边形的内角和等于360°，故四边形的内角和和外角和相等．
C．五边形的内角和等于540°，故五边形的内角和与外角和不相等．
D．六边形的内角和等于720°，故六边形的内角和与外角和不相等．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的内角和、外角和，熟练掌握任意多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°是解决本题的关键．
6．（2分）如图，∠ABD＝∠BED＝90°，AB＝BD，AC＝5，DE＝2（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据AAS证明△ABC与△BDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BED＝90°，AC⊥BE，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC＝BE，BC＝DE，
∴CE＝BE﹣BC＝AC﹣DE＝5﹣2＝7，
故选：B．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明△ABC与△BDE全等解答．
7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，则BC＝（ ）
A．3 B．4 C．6 D．不确定
【分析】利用直角三角形中30°的角对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了30°角直角三角形中直角边与斜边的关系，解题的关键是构造全等三角形和等腰三角形．
8．（2分）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．
【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．
故选：B．
【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．
9．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，则∠A′DB＝（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
由折叠可得：∠CA′D＝∠A＝55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，
则∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
10．（2分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点
D．三边的垂直平分线的交点
【分析】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．此点称为外心，也是这个三角形外接圆的圆心．），难度一般．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，AO＝DO＝6m，CD＝15m，B两点间的距离为 15 m．
【分析】结合AC＝BD，AO＝DO，可得BO＝CO，再利用∠AOB＝∠DOC，即可证出△ABO≌△DCO（SAS），利用全等三角形的性质可得出AB＝CD．
【解答】解：∵AC＝BD，AO＝DO＝6m，
∴BO＝CO，
在△ABO和△DCO中，
，
∴ABO≌△DCO（SAS），
∴AB＝DC＝15m．
故答案为：15．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理SAS证出△ABO≌△DCO是解题的关键．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝120°，则∠A＝ 30 °．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝120°，
∴∠C是顶角，
∴∠A＝（180°﹣120°）÷2＝30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟悉相关的性质和定理．
13．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，则∠1＝ 55 °．
【分析】由等边对等角得出∠ACB＝∠B＝70°，则∠ACD＝110°，再利用角平分线的性质可得结论．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠ACB＝∠B＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝110°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，求出∠ACD的度数是解题关键．
14．（3分）如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，若要用“斜边、直角边（HL）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE BC＝FE ．
【分析】由AC＝DE，BC＝FE，即可推出Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），于是得到答案．
【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL）．
故答案为：BC＝FE．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．
15．（3分）如图，等边△ABC中，BD＝CE，则∠APE的度数是 60° ．
【分析】分析可知，要想直接求∠APE的度数不容易，故考虑借助证明全等来简化问题；根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CBE，进而结合三角形外角定理求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝∠C，AB＝BC．
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE．
∵∠ABE+∠EBC＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°，
∴∠APE＝∠ABP+∠BAP＝60°，
∴∠APE＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题侧重考查等边三角形的性质和全等三角形的知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D 65° ．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠A＝∠B＝65°，再根据同角的余角相等可求得∠EDF的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠B，∠C＝50°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∵DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D，
∴∠AED＝∠FDA＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣∠EDA＝∠A＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18题、19题、20题各8分，共30分）
17．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，1）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；
（2）点A1的坐标为 （﹣3，﹣4） ，线段BB1的长为 2 ．
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
（2）由图形可得出结果．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C7即为所求；
（2）A1（﹣3，﹣2）1的长为2，
故答案为：（﹣4，﹣4）；2．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟记轴对称变换的性质是解题的关键．
18．（8分）已知如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
【分析】根据∠1＝∠2，可以得到∠BAC＝∠DAE，然后即可得到△BAC和△DAE全等，从而可以证明结论成立．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠5+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC＝DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，一艘轮船从点A向正北方向航行，每小时航行15海里，2小时后轮船航行到点B，小岛P此时在轮船的北偏西60°方向
【分析】由三角形的外角性质结合∠PBC、∠PAB的度数即可得出∠APB＝∠PAB，由此即可得出△PAB为等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可得出PB＝AB，再根据路程＝速度×时间即可求出AB的长度，此题得解．
【解答】解：∵∠PBC＝30°，∠PAB＝30°，
∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝30°＝∠PAB，
∴△PAB为等腰三角形，
∴PB＝AB＝15×2＝30海里．
答：此时轮船和小岛的距离为30海里．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，以及三角形的外角性质，通过角的计算找出∠APB＝∠PAB是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可补全图形；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可求∠DBC的度数．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB．
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
四、解答题（本题共3小题，其中21题10分，22题8分，23题10分，共28分）
21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，点E在AB边上，∠BDE＝∠A．求证：△ADE是等腰三角形．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝ABC＝22.7°，
∴∠BDC＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∵∠BDE＝∠A＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE﹣∠BDC＝180°﹣45°﹣67.8°＝67.5°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝67.5°，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∴△ADE是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．
22．（8分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A坐标为（1，3），OA＝OB，∠AOB＝90°．
（1）点B的坐标为 （3，﹣1） ；
（2）点C为整点，△AOC≌△BOC，若点C在第一象限 （2，1）（答案不唯一） ；若点C在第三象限，请写出一个符合条件的点C的坐标 （﹣4，﹣2）（答案不唯一） ．
【分析】（1）如图，过A作AE⊥轴于E，过B作BD⊥x轴于D，根据等腰三角形的性质得到和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥轴于E，
∵点A坐标为（1，3），
∴OE＝5，AC＝1，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOE＝∠BOD，
在△AOE与△BOD中，
，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴OD＝OE＝3，BD＝AE＝4，
∴B（3，﹣1）；
故答案为：（8，﹣1）；
（2）如图，若点C在第一象限，1），请写出一个符合条件的点C的坐标（﹣5．
故答案为：（2，1）（答案不唯一），﹣5）（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
23．（10分）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题：
问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？
问题解决：
如图3，作出点B关于l的对称点B′，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？
如图4，在连接A，B′两点的线中，线段AB′与直线l的交点C的位置即为所求．
数学思考：
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
（1）如图5，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，P为AD上一动点，若AD＝12，求△PBE周长的最小值；
（2）如图6，在△ABC中，AB＝AC＝4，点E是AB上一动点，P为AD上一动点，S△ABC＝6，则PB+PE的最小值为 3 ．
【分析】（1）连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值．
（2）作CE⊥AB于E，交AD于点P，则CE的长度即为PE与PB和的最小值．
【解答】解：（1）如图5，连接CE，此时PE+PB最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PB＝PC+PE＝CE，
即CE就是PE+PB的最小值，
∵AD＝12，AB＝8，
∴AD＝CE＝12，BE＝4，
∴PE+PB+BE的最小值是12+6，即△PBE周长的最小值是12+4．
（2）作CE⊥AB于E，交AD于点P，
∵S△ABC＝6，AB＝AC＝4，
∴＝6，
∴CE＝8，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴EP+PC＝EP+BP＝CE＝3，
∴PB+PE的最小值为3，
故答案为：7．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
五、解答题（本题共2小题，24、25题各12分，共24分）
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CE＝CB，∠BAE＝2∠B．
（1）探究∠CAE和∠CAB之间的数量关系，并证明；
（2）若BD＝2AD，求的值．
【分析】（1）易得∠B+∠CAB＝90°，于是∠CAE+∠CAB＝∠CAB+2∠B+∠CAB＝2（∠CAB+∠B）＝180°；
（2）将△ACE沿AC折叠得到△ACF，由折叠的性质可得CF＝CE，∠CAF＝∠CAE，S△ACF＝S△ACE，结合（1）中结论可得F、A、B三点共线，且△BCF为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质知BD＝FD，则AF＝AD，AB＝3AD，进而利用三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∠CAE+∠CAB＝180°，证明如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠BAE＝2∠B，
∴∠CAE+∠CAB＝∠CAB+∠BAE+∠CAB＝∠CAB+2∠B+∠CAB＝2（∠CAB+∠B）＝180°；
（2）如图，将△ACE沿AC折叠得到△ACF，
则△ACF≌△ACE（折叠的性质），
∴CF＝CE，∠CAF＝∠CAE，S△ACF＝S△ACE，
由（1）知，∠CAE+∠CAB＝180°，
∴∠CAF+∠CAB＝180°，即F、A，
∵CE＝CB，
∴CF＝CB，
∴△BCF为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴BD＝FD，
又∵BD＝2AD，
∴DF＝2AD，
∴AF＝AD，AB＝BD+AD＝6AD，
∴＝＝4，
∴＝3．
【点评】本题主要考查角的和差关系、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积．在解决第（2）时，利用（1）中的结论对图形适当变形，将△ACE和△ABC转化为等高，且底在同一条直线上进行解答．
25．（12分）综合与实践：
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
如图，△ABC中，AB＝AC，使BD＝BC，连接CD，交AB延长线于点E．
动手操作：
（1）请按要求，补全图形；（画图工具不限）
问题初探：
（2）小明发现，图中CD＝CE，请你证明此结论；
深入探究：
（3）数学小组经过讨论研究，提出问题：延长BC到F，使CF＝BE，线段CG，BD有确定的数量关系．请你解答此问题．
【分析】（1）按题意画出图形即可；
（2）由等腰三角形的判定与性质可得出结论；
（3）在CA上截取CM＝CB，连接DM．证明△CDM≌△CEB（SAS），由全等三角形的性质得出DM＝BE，∠CMD＝∠CBE，证明△CGF≌△MGD（AAS）．由全等三角形的性质得出MG＝CG，则可得出结论．
【解答】（1）解：如图即为所求作的图形．
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠E+∠BCE，∠ACB＝∠BCD+∠ACD，
∴∠BCD＝∠E，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠E，
∴CD＝CE，
（3）解：BD＝2CG．
在CA上截取CM＝CB，连接DM．
在△CDM和△CEB中，
，
∴△CDM≌△CEB（SAS），
∴DM＝BE，∠CMD＝∠CBE，
∵CF＝BE，
∴DM＝CF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ACB+∠FCG＝80°，
∴∠FCG＝∠CBE，
∴∠FCG＝∠DMG，
又∵∠FGC＝∠DGM，
∴△CGF≌△MGD（AAS）．
∴MG＝CG，
∵CD＝CE，
∴BD＝2CG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是通过题目的条件作出图形．
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