苏州市2023-2024学年高一上学期期中考试
数学
2023.11
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题-第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题-第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回、
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清楚．
4．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．19世纪德国数学家狄利克雷提出了一个有趣的函数若函数，则下列实数中不属于函数值域的是（ ）
A．0 B． C． D．
5．若是定义在上的偶函数，且，下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．给定函数，用表示函数中的较大者，即，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．2
8．已知若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设为正数，且，下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．将某几何图形置于坐标系中，直线从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线左侧部分的面积为，若函数的大致图象如右图所示，则该几何图形可以是（ ）
A． B．
C． D．
11．定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（ ）
A． B．
C．为上的增函数 D．为奇函数
12．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，其中正确的有（ ）
A．
B．，都有
C．的值域为
D．，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是_________（只要写一个即可）
14．命题“”的否定为_________．
15．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，若集合，则中元素的个数是_________．
16．已知函数，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
设全集为，集合．
（1）求；
（2）已知，若，求实数的取值范围．
18．（12分）
若正数满足．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的取值范围．
19．（12分）
已知二次函数的图象与直线有且仅有一个公共点，且不等式的解集为．
（1）求的解析式；
（2）关于的不等式的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围．
20．（12分）
立德中学学生在社会实践活动中，通过对某商店一种换季商品销售情况的调查发现：该商品在过去的两个月内（以60天计）的日销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足．该商品的日销售量（个）与时间（天）部分数据如下表所示：
x（天） 20 25 45 60
（个） 1680 1670 1690 1720
给出以下两种函数模型：①，②．
（1）请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式；
（2）求该商品的日销售收入的最小值．
21．（12分）
定义：对于函数，如果存在实数，使得，那么称为和的生成函数．
（1）给出函数，请判断是否为和的生成函数？并说明理由；
（2）设，当时，和的生成函数为．若对于任意正实数且，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．
22．（12分）
已知：
（1）若，判断的奇偶性；
（2）若在上的最小值是3，求正数的值．
苏州市2023-2024学年高一上学期期中考试
数学答案2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B A B C A
二、多选选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
题号 9 10 11 12
答案 ABD BC ABD ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．
13．（答案不唯一） 14． 15．5 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）解：（1），
．
（2）因为集合不是空集，所有．
18．（12分）解：（1）当时，有，
即
所以
当且仅当时取“=”．
（2）当时，有，
所以，
令，即，解得或（舍）
所以．
19．（12分）解：（1）由题意，且方程的两根为．
设
因为对称轴直线为，所以，
解得
因此，二次函数
（2）因为
所以，即7分
当时，此时不等式无解；
当时，此时不等式解集为，
由题意知含有两个整数，所以10分
当时，此时不等式解为，
由题意知含有2，3两个整数，则．
综上的取值范围是．
20．（12分）解：（1）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量先减后增．
若选择①，利用待定系数法，发现数据不能统一，故舍去；
故只能选②，从表中任取两组值代入，
求得．
（2）由（1）知
所以
当时，在区间上是单调递减的，
当时，在上是单调递减的，在上是单调递增的．
所以当时，取得最小值，且．
故该商品的日销售收入的最小值为1764元．
21．（12分）解：（1）若是的生成函数，则存在实数使得成立，所以，
即解得．
（2）生成函数，
假设存在实数，使得对任意正实数，满足恒成立，
所以．
令
因为在单调递减，
所以的最小值为100．所以的最大值为100
22．（12分）（1）函数的定义域为，因为，所以，
解得或
当时，，因为，
所以是奇函数．
当时，，因为，
所以既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）①当时，因为在上单调递增，所以在处取得最小值，因为，所以或（舍）；
②当时，因为在单调递增，在单调递减，在单调递增．
若，即时，函数在上单调递增，
所以在处取得最小值，所以，所以（舍）；
若，即时，在单调递增，在上单调递减，
因为，所以在处取得最小值，所以，所以（舍）；
，即在单调递增，在单调递减，在单调递增，因为，所以或，所以（舍）或（舍）；
综上，．
