阜宁县2023-2024学年高二上学期期中考试
数 学 试 题
时间：120分钟 分值：150分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知点，，则直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
2、圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离
3、设函数，则（ ）
A. B. C. D.
4、已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
5、已知函数，则曲线在点处的切线经过定点（ ）
A. B. C. D.
6、已知等比数列的前项和为，，，则（ ）
A. B. C. D.
7、已知双曲线的左、右顶点分别为，是上一点，为等腰三角形，且的外接圆面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8、设数列的前项和为，，且，若存在，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9、下列函数的图象可能与直线相切的是（ ）
A. B. C. D.
10、在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线恒过定点，且定点坐标为
B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则
C. 若直线过第一、三象限，则
D. 若直线和直线与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则
11、已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. 数列为等差数列 B.
C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为
12、已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交抛物线于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的准线方程为 B. 直线与抛物线相切
C. 为定值 D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设为函数的导函数，若，则________．
14、设各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则________．
15、已知直线关于直线的对称直线与圆有公共点，则实数的取值范围为________．
16、希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，点，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_______________________；若点为抛物线上的动点，点在上的射影为，则的最小值为________．（第一空分，第二空分）
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10分）已知数列的前项和为，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
18、（12分）已知直线过直线和直线的交点．
（1）若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程；
（2）若直线的倾斜角为，且，求直线的方程．
19、（12分）已知直线与圆相交于两点．
（1）若，求直线的倾斜角；
（2）问在轴上是否存在点，使得当实数变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20、（12分）设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，且，设，求数列的前项和．
21、（12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，设动点到直线的距离为，且．
（1）求动点的轨迹的方程，并指出它表示什么曲线；
（2）已知过点的直线与曲线交于两点，点，直线与轴分别交于点，试问：线段的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
22、（12分）已知椭圆的下顶点为，右顶点为，且，左焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，交轴于点，设为线段的中点，直线交于点，过点作交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求的值．
阜宁县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题答案
一、单项选择题
1--4、B C A D 5--8、A D C D
二、多项选择题
9、 AC 10、 ACD 11、 ABC 12、 ABD
三、填空题
13、 14、 15、 16、；
四、解答题
17、（10分）已知数列的前项和为，且．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
解：（1）∵ ，∴
两式相减得：，∴ …………………2分
∴ ，
令得：，∴ ，
∴ 是以1为首项，2为公比的等比数列
∴ ，即． …………………5分
（2）由（1）得：，是以1为首项，为公比的等比数列
∴ ． …………………10分
18、（12分）已知直线过直线和直线的交点．
（1）若坐标原点到直线的距离为，求直线的方程；
（2）若直线的倾斜角为，且，求直线的方程．
解：（1）由得：，∴ 点的坐标为 …………………2分
当直线的斜率不存在时，其方程为，适合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即
∵ 坐标原点到直线的距离为
∴ ，解得，此时直线的方程为
∴ 直线的方程为或． …………………6分
（2）∵ 直线的倾斜角为，且，，
∴ ， ∴ …………………8分
当时，直线的方程为；当时，直线的方程为
∴ 直线的方程为或． …………………12分
19、（12分）已知直线与圆相交于两点．
（1）若，求直线的倾斜角；（2）问在轴上是否存在点，使得当实数变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵ 圆的方程为 ∴ 圆的圆心为，半径…………2分
∵ ，∴ 圆心到直线的距离
解得，即 …………………4分
当时，倾斜角，当时，倾斜角
∴ 直线的倾斜角为或． …………………6分
（2）设点，，假设存在满足题意的点，即
由得：，
∴ ， …………………8分
∴
由得：
∴ ，解得：
∴ 在轴上存在满足题意的点，且点的坐标为． …………………12分
20、（12分）设数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，，且，
设，求数列的前项和．
解：（1）由得：
两式相减得：
又，适合上式 ∴ ． …………………5分
（2）∵ ，且， ∴ ∴ 数列是等比数列
又，∴ 公比，∴ …………………8分
∴
∴
． …………………12分
21、（12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，设动点到直线的距离为，且．（1）求动点的轨迹的方程，并说明它是说明曲线；（2）已知过点的直线与曲线交于两点，点，直线与轴分别交于点，试问：线段的中点是否为定点，若是定点，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
解：（1）设点，由得：
整理得：，即 …………………4分
它表示中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，且长轴长为4，短轴长为2 …………………5分
（2）设直线的方程为，即
由得：
由得：
设点，，则， …………………7分
直线的方程为，令得：，所以点
直线的方程为，令得：，所以点 ……………9分
∴
∴ ，即线段的中点坐标为
∴ 线段的中点为定点，其坐标为． …………………12分
22、（12分）已知椭圆的下顶点为，右顶点为，且，左焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，交轴于点，设为线段的中点，直线交于点，过点作交轴于点．
（1）求椭圆的方程； （2）当的面积为时，求的值．
解：（1）由题意知，点，，则 ，又，，
解得：，，∴椭圆的方程为． …………………4分
（2）设，，因为直线l过F且斜率为，设，
由得，所以，，
因为M为线段AB的中点，所以，， …………6分
所以，又因为，所以，因为在直线上，
令，所以，所以直线的方程为，令，所以，
，所以，
又点到直线的距离为：，所以的面积为：
…………………9分
化简得：，则，解得：，即，
所以，则直线的方程为，又直线的方程为：，
联立直线的方程与的方程可得：，
所以. ………………12分
1
