乐平中学2023~2024学年上学期高二期中考试
数学试卷
全卷满分150分 考试时间120分钟
一、一 单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
2．直线l：与曲线C：的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都可以
3．已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．双曲线（，）的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最小值为（ ）．
A． B． C． D．2
7．设，分别为椭圆C：的左、右焦点，点A，B均在C上，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知四面体为正四面体，分别是中点.若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，
由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为.
A． B． C． D．
二 多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．直线与直线平行，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．平面
11．已知圆，圆，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为 B．圆与圆有四条公切线
C．点在圆上，点在圆上，则线段长的最大值为
D．直线与圆一定相交，且相交的弦长最小值为
12．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，研究发现：平面和直线所成的角为，该圆锥侧面与平面的交线为曲线.当时，曲线为圆；当时，曲线为椭圆；当时，曲线为抛物线；当时，曲线为双曲线.则下列结论正确的为（ ）
A．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为2
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．若，则曲线必为双曲线的一部分
三 填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为_________
双曲线的光学性质为：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.如图：为双曲线的左，右焦点，若从右焦点发出的光线在上的点处反射后射出（共线），且，则的离心率为__________
15．我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑现有一个“鳖臑”，底面，，且，AC=4，BC=3，则该四面体的外接球的表面积为__________,该四面体内切球表面积为_________。
16．已知是椭圆和双曲线的交点，，是，的公共焦点，，分别为，的离心率，若，则的最小值为______．
四 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明 证明过程及演算步骤．
17．如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，顶点位于坐标原点，若是棱的中点，是侧面的中心.
(1)求向量在方向上的投影向量；
（2）求平面OEB与平面OEF夹角的余弦值。
18.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．
(1)求直线的方程；
(2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值．
19．已知，直线和圆．
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？请说明理由．
20.已知椭圆的两焦点分别为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求 的面积．
21．已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点，直线与轴相交于，试探究在轴上是否存在异于的定点，使得轴为的角平分线，若存在，请求出点坐标； 若不存在，请说明理由.
22．已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，
（1）证明:平面PBD平面ABCD；
（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，
使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．B
2．B
3．A
4．C
5．D
6．B
7．C
8．A
9．AB
10．ABC
11．ACD
12．ACD
和.
16． 试卷第1页，共3页
17.(1)由题设，，，则，
所以，
所以向量在方向上的投影数量.
故向量在方向上的投影向量为。
（2）
18．【答案】(1)
(2)
19．(1)；
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）由题设可得直线斜率，则，讨论k=0、求其范围即可；
（2）由（1）及圆的标准方程可得圆心，半径且直线为，其中，应用点线距离求C到直线的距离并与比较大小，讨论直线与圆C的位置关系，即可判断结论.
【详解】（1）由题设，直线，此时斜率，
∴，当k=0时，m=0符合要求；当，则，可得；
所以，斜率k的取值范围是．
（2）不能．由（1）知：直线可写为，其中；
而，即，
所以圆心，半径；圆心C到直线的距离，
由，得，即，
若与圆C相交，显然圆C截直线所得弦的圆心角小于，
所以不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义求得的值，又，再由，求得，即可得椭圆方程；
（2）根据已知得直线方程方程，代入椭圆方程可得交点坐标关系，从而可求得 的面积．
【详解】（1）已知椭圆的两焦点分别为，且经过点，
由椭圆的定义知，
，
椭圆的方程为；
（2）由题意得直线方程为，即设，
由，消去得，
由韦达定理得，
所以的面积为．
21．(1)
(2)存在，.
【分析】(1)根据题意求出双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式列方程求，即可求解；
(2)设：，联立抛物线方程，利用韦达定理结合已知求出，由轴为的角平分线知，化简计算求点的坐标.
【详解】（1）双曲线 的一条渐近线为，
又抛物线 的焦点的坐标为，
由题可得: ，
解得，
故抛物线方程为:.
（2）若直线的斜率为0，则直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，
故设 ，
联立: ，消得，
方程的判别式，
设
故 ，
故，
因为 ，
则 ，
则或(舍去)，故.
因为都在轴上，轴为的角平分线，
若，则垂直于轴，轴平分，
则垂直于轴，
则直线的方程为，此时，
而相异，故，同理，
故与的斜率互为相反数，
即
为定值.
故当时，有轴为的角平分线.
【点睛】(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形
22.【答案】（1）见解析；（2）存在N点到平面ABCD的距离为
【分析】（1）通过证明，结合题目所给已知，由此证得平面，进而证得平面平面.
（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点，使平面，利用向量线性运算设出点坐标，结合求得点坐标，由此证得存在一点，使得平面.利用点到平面距离的向量求法，求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，
可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC.
∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,
又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD.又∵AE 平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2) 存在.在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,
∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO=
∴易得OP=OC=，PB=PD,PO⊥BD,所以O为BD的中点，OC⊥BD.
以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C（0,，0）D(-1,0,0),P（0,0,）假设在侧面内存在点，使得平面成立，
设，易得 由得，满足题意，所以N点到平面ABCD的距离为
答案第1页，共2页
