2023北师大版八年级上册期中试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数中，最小的实数是（ ）
A． B． C．0 D．
2．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积依次为，，，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知在第二象限，且，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为（ ）
A．2011 B．1 C． D．无法确定
5．如图，在矩形中，，为上一点且，为的中点下列结论：；平分；；其中结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6…若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知：，，则的值为 ．
8．如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 ．
9．一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm．
10．如图，四边形中，，．，若，则的长为 ．
11．如图，直线经过原点O，点A在x轴上，于点D，若点，，，，则 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标为，，，点P从点B出发，沿﹣运动，速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒；点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发，在DA间往返运动，（两个点同时出发，当点P到达点A停止时点Q也停止），在运动过程中，当时，点P的坐标为 .
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)
14．在平面直角坐标系中，有，，三点．
(1)当轴时，求的值；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点所在的象限．
15．如图，已知．
(1)请画出关于y轴对称的，点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法；
(2)直接写出，，三点的坐标．
16．如图，在中，．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若点为线段上一点，连接，且，求的长．
17．为了绿化校园．学校计划在如图所示的一块四边形的空地（图中阴影部分）上种植草皮，经测量，请求出空地的面积．
18．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
19．对于平面直角坐标系xOy中的点，若B的坐标为，其中t为常数，且，则A、B互为“t系关联点”，比如：的“2系关联点”为，即：．
(1)计算点的“3系关联点”D的坐标；
(2)若点的“系关联点”为Q，且Q点到x轴距离是到y轴距离的一半，求P点的坐标．
20．已知：在平面直角坐标系中，，，
(1)求的面积；
(2)设点P在x轴上，且与的面积相等，求点P的坐标.
21．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对进行如下操作：
，这样对只需进行3次操作后变为1．
(1)仿照以上方法计算：_____________．
(2)若，写出满足题意的x的整数值______________．
(3)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______________．
22．已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．
(1)求边的长；
(2)当为直角三角形时，求t的值；
(3)当为等腰三角形时，求t的值．
23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
当，即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，
∴在实数中，最小的实数是．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．B
【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
根据勾股定理，得，
∴，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边．
3．D
【分析】根据，可得，再根据第二象限内点的坐标符号为，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵在第二象限，，
∴，
∴，
∴，
故选D
【点睛】本题考查的是乘方的含义，坐标系内点的坐标特点，熟记第二象限内点的坐标符号为是解本题的关键．
4．C
【分析】由可得，，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，熟记“几个非负数的和为0，则其中每个非负数都为0”是解本题的关键．
5．B
【分析】对于，由于是直角斜边上的中线，欲证，只需证明即可；
对于，在直角中，由于，，得出，然后分别算出与的度数即可；
对于，由于，，从而进行判断；
对于，如果设，则可用含的代数式表示、、的长度，然后在直角中运用勾股定理算出的值，再算出的值，比较即可．
【详解】解：在直角中，，为的中点，
.
，，
，正确；
在直角中，，，
．
，
，．
在中，，，
，
，
平分，正确；
，，
，错误；
在矩形中，设，则，，
．
在直角中，，，错误．
所以正确的有2个.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直角三角形、矩形的性质以及多边形的面积，勾股定理．综合性较强，有一定难度．
6．B
【分析】根据题意发现规律：当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数；当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，据此即可得到答案．
【详解】解：∵图中的各三角形都是等腰直角三角形，
∴各等腰直角三角形的直角顶点的纵坐标的绝对值为斜边的一半，
∴、，，，，
当下标为偶数时的点的坐标规律如下：
当下标是2、6、10…时，横坐标为1，纵坐标为下标的一半的相反数，
当下标是4、8、12…时，横坐标是2，纵坐标为下标的一半，
∵每四个字母为一组，
，
点在第一象限，横坐标为１，
纵坐标是，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据坐标正确得到规律是解题关键．
7．
【分析】先计算出、、的值，然后把因式分解后代入计算即可．
【详解】∵，，
∴，
，
，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，求出、、的值是解答本题的关键．
8．
【分析】根据，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可．
【详解】解：如图所示，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
9．10
【分析】将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：如图1所示：
；
如图2所示：
．
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路程是．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
10．
【分析】过点作于点，证明，可得，根据，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
11．/
【分析】过点B作轴于点F，过点C作轴于点E，根据点的坐标，得到，，，进而得到，，求出，再根据，即可求出的长．
【详解】解：过点B作轴于点F，过点C作轴于点E，
点，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，三角形的面积公式，解题关键是根据点的坐标得出相关三角形的底和高．
12．或或
【分析】由题意易得，然后根据题意可分三种情况，然后分类求解即可．
【详解】解：∵点A，B，D的坐标为，，，
∴，
∴，
由题意可知，
①当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
∴，
此时点P的坐标为；
②当点P在线段BC上时，即，存在，如图所示：
由点Q在DA间往返运动，所以设点Q在DA间往返运动n次后存在，
∴，
整理得：，
由①可知：当时，PQ与OB第一次平行，
∴当时，则有，此时满足题意；
∴点
③当点P在线段CA上时，即，此时要满足，则有点A与点Q重合，如图所示：
∴，
此时点Q刚好与点A重合，满足题意；
∴
综上所述：当时，点P的坐标为或或；
故答案为或或．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平行线的性质，熟练掌握图形与坐标及平行线的性质是解题的关键．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算，即可求解；
（2）根据完全平方公式展开，根据二次根式的性质化简，再运用二次根式的混合运算即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查乘法公式，二次根式性质，二次根式的混合运算，掌握以上知识及运算法则是解题的关键．
14．(1)
(2)第二或第三象限
【分析】（1）根据轴，则，解出，即可；
（2）根据点到两坐标轴的距离相等，则，分类讨论：或，解出，即可．
【详解】（1）∵轴，
∴，
∴．
（2）∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
当时，，
∴点；
当时，，
∴点；
∴综上所述，点或，
∴点在第二或第三象限．
【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点的性质，线段平行的性质．
15．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置写出，，的坐标即可；
【详解】（1）如图所示：
（2）由图可知，；
【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义和性质，并据此作出变换后的对应点．
16．(1)直角三角形，见解析
(2)3.5
【分析】（1）由勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）由勾股定理得，设，列出方程求解即可．
【详解】（1）是直角三角形，理由如下：
在中，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
（2）设，则．
在中，∵，
∴，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
17．
【分析】先在中利用勾股定理求得的长，再由的长度关系利用勾股定理的逆定理可证得为，且为斜边．最后根据四边形由和构成，即可求解．
【详解】解：，
在中，有．
在中，，
．
是，且．
答：空地的面积是．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
18．(1)．
(2)
【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可；
（2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M，
根据题意可得，，
在中，，
即凳子的高度为．
（2）解：延长交墙面于点N，可得，
设cm，则，，，
在中，，即，
解得，则．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答．
19．(1);
(2)或
【分析】（1）根据“t系关联点”的定义可得D的坐标；
（2）根据定义找到点Q的坐标，根据题意建立等量关系即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
即
（2）解：由题意得：
即
Q点到x轴距离为：，Q点到y轴距离为：
故：，解得：
故点或
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查点坐标的变换以及点到坐标轴的距离等相关知识点．
20．(1)4
(2)或
【分析】（1）过点向、轴作垂线，垂足分别为、，然后依据求解即可．
（2）设点的坐标为，于是得到，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，，垂足分别为、．
．
（2）设点的坐标为，则．
与的面积相等，
．
解得：或．
所以点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得的面积是解题的关键．
21．(1)6
(2)1
(3)255
【分析】（1）估算在哪两个整数之间，即可求解；
（2）根据题意即可找到满足条件的x的整数值；
（3）根据题目示例即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
故答案为：6
（2）解：∵
∴
故答案为：1（不唯一）
（3）解：∵
∴需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是
故答案为：
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了无理数的估算．掌握相关结论即可．
22．(1)3cm
(2)3或
(3)5或6或
【分析】（1）利用勾股定理即可求出结论；
（2）由题意可得：，，然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用勾股定理等知识即可解答；
（3）当为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据三线合一、勾股定理等知识即可解答．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴．
（2）解：
当时，点与点重合，
∴，
即；
当时，如下图所示：
∴．
∵，
∴，
解得：．
综上：当为直角三角形时，或；
（3）解：当时，如下图所示：
∵，
∴，
即．
当时，如下图所示：
∴；
当时，如下图所示：
则，，
在中，，
即，
解得： ．
综上：当为轴对称图形时，或或．
【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是解决此题的关键．
23．(1)4；
(2)
(3)
【分析】（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值；
（2）由，结合（1）的结论可得答案；
（3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案．
【详解】（1）解：当时，
，
当即时，的最小值为4；
当时，，
，
，
当即时，的最大值为；
（2）
而，由（1）可知的最小值为4
的最小值是．
（3）设的面积为，
，
即，．
四边形的面积，
由（1）可知的最小值为4
的最小值是．
四边形面积最小为9．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
