第6章 空间向量与立体几何 章节测试
一、单选题
1．已知空间向量，，，若向量共面，则实数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
5．如图，已知四棱锥的各棱长均为，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OC上，且OM=3MC，点N为AB中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，，且与互相平行，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在棱长均为1的四面体中，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与所成的角可能是
C．不是定值
D．当时，点到平面的距离为1
11．如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）
A．平面
B．点到平面的距离为
C．正方体的内切球半径为
D．平面与平面夹角的余弦值为
12．若是的三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量，则在基底下的坐标为为 .
14．已知点在平面内，并且对空间任一点，，则 ．
15．如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：
①当为的中点时，平面；
②存在点，使得；
③直线与所成角的余弦值的最小值为；
④三棱锥的外接球的表面积为.
其中正确的结论序号为 .（填写所有正确结论的序号）
16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，当的长最小时，平面与平面夹角的正弦值为 .
四、应用题
17．如图，且且且平面．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离．
18．如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD满足，且 ，三角形的面积为
(1)画出平面PAB和平面PCD的交线，并说明理由，
(2)求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
19．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3)．
20．在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．
21．如图，三棱柱中，底面，，，，为侧面的对角线的交点，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．如图，在三棱柱中，侧面正方形的中心为点M，平面，且，，点E满足.
(1)若，求证面；
(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.
参考答案
1．C
【分析】根据题意和空间向量的基本定理列出方程组，解之即可.
【详解】因为三向量、、共面，
设，其中、，
则，解得.
故选：C.
2．A
【分析】依题意可得，即可得到方程组，解得即可.
【详解】解：因为，且，
所以，
即，即，解得，，．
故选：A．
3．B
【分析】利用投影向量的定义求解作答.
【详解】向量，，，
所以向量在向量上的投影向量.
故选：B
4．D
【分析】依题意有，由求的值.
【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，
所以，解得，
故选：D，
5．D
【分析】依题意可得底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，根据，数量积的运算律及数量积的定义计算可得.
【详解】因为四棱锥的各棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，
所以底面四边形为正方形，为边长为的正三角形，
所以，且，
因为，
所以.
故选：D
6．D
【分析】由题意结合图形，直接利用，即可求解.
【详解】因为空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，
所以，，
所以.
故选：D
7．B
【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】取的中点，连接，，因为，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又，所以，
可得，，两两垂直，所以以为坐标原点，
，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ，
所以，
又异面直线所成角的取值范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：B.
8．D
【分析】由空间向量共线的坐标表示求解
【详解】，，
则，解得，
故选：D
9．ABC
【分析】取的中点，连接，，通过证明平面，即可得到，从而判断A，根据空间向量线性运算判断B，根据空间向量数量积的定义判断C，根据数量积的运算律求出，即可判断D；
【详解】解：取的中点，连接，，∴，，
，平面，
所以平面，又平面，所以，则，故A正确；
因为，故B正确；
∵，，
又，，
所以，故C正确；
因为，
所以，故D不正确，
故选：ABC.
10．AD
【分析】以D为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，计算可判断A；假设与所成的角是，则，求解可判断B；计算可判断C；当时，，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式可判断D．
【详解】以D为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，
设，则，，
∵，∴，故A正确；
∵，，
∴，
若与所成的角是，则，
得，整理得，得，与矛盾，故B错误；
∵，∴为定值，故C错误；
当时，，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
点到平面的距离为，故D正确．
故选：AD．
11．AB
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断.
【详解】
对于A，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，所以，
由于平面，所以平面，A正确；
对于B，由A可知，平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，B正确；
对于C，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
所以正方体的内切球半径为，C错误；
对于D，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，D错误.
故选：AB.
12．AC
【分析】根据向量共线即可由坐标运算求解.
【详解】因为,
若,
若，
故的坐标为或
故选：AC
13．
【分析】在基底下表示出的坐标，然后计算．
【详解】由已知在基底下，，，，
．
故答案为：，
14．
【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得.
【详解】由于平面，
所以，解得.
故答案为：
15．①④
【分析】根据线面平行的判定定理，以及线线垂直的判定，结合异面直线所成角，以及棱锥外接球半径的求解，对每一项进行逐一求解和分析即可.
【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，
因为分别为的中点，
故可得//，，
根据已知条件可知：//，
故//，
故四边形为平行四边形，则//，又平面平面，
故//面，故①正确；
对②：因为平面，平面，
故，
又四边形为矩形，
故，则两两垂直，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，设，，
若，则，不满足题意，故②错误；
对③：，，
，
，，，
，，
令，设，，，
则，当时，
根据对勾函数的性质得，则，
当时，有最小值，最小值为，故③错误；
对④：由题可得平面，又面为正方形，
∴，
∴AB⊥平面BCF，则AB，BC，CF两两垂直，
∴AF为三棱锥的外接球的直径，
又，
∴三棱锥的外接球表面积为，故④正确.
故答案为：①④.
16．/
【分析】建立空间直角坐标系，直接由两点间的距离公式可得，利用配方法求最值，求出、的坐标，取的中点，连接，，可得的坐标，连接，，得到是平面与平面的夹角或其补角，再由与的夹角求解．
【详解】以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，， ，，
，，，
，
当时，最小，即当，分别为和中点时，最短，
则， ，取的中点，连接，，则，
，，，，
是平面与平面的夹角或其补角，
，，
．
所以平面与平面夹角的正弦值是．
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ，通过证明平面平面，可得平面；（2）如图，建立以D为原点的空间直角坐标系，分别求出平面和平面夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设，直线与平面所成的角为可得点P坐标，可得点到平面的距离.
【详解】（1）取GD中点为Q，连接NQ，MQ.
因为的中点，为的中点，Q为GD中点，
由三角形及梯形中位线定理，可得.
又注意到，平面EDC，平面EDC，
平面MNQ，，则平面平面.
又平面MQN，则平面.
（2）因平面ABCD，平面ABCD，
则，又，则如图建立以D为原点的空间坐标系.
则.
.
设平面和平面的法向量分别为.
则，取；
，取.
设平面和平面夹角为，则.
则平面和平面夹角的正弦值为.
（3）由（2），设，其中，则
又由题可得，平面的一个法向量可取.
结合直线与平面所成的角为，
则.
则，.
设平面法向量为，则.
取，则点到平面的距离.
18．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）延长BA、CD交于点，连接EP，则EP为平面PAB和平面PCD的交线，分别证明点平面平面PCD，平面平面PCD，即可；
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答..
【详解】（1）延长BA、CD交于点，连接EP，则EP为平面PAB和平面PCD的交线，如图，
∵，平面PAB，∴平面PAB．
同理可得平面PCD．
∴平面平面PCD．
∵平面PAB，平面PCD，∴平面平面PCD．
∴EP为平面PAB和平面PCD的交线.
（2）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，，
∵三角形PAC的面积为，，
∴，解得．从而，又在直角三角形PAB中，，∴，
在中，，，，∴，∴，
∵，，∴平面PAB，平面PAB，则，而，有，
以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量，则，令，得，
显然平面PAB的一个法向量为，设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，
则，
所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】利用空间向量的运算法则进行化简计算，并在图中标出化简后的向量
【详解】（1）
（2）因为M是的中点，所以．又，所以，所以．
（3）．
20．，作图见解析
【分析】根据图形进行空间向量加减法运算，并作图即可.
【详解】在正六棱柱中，四边形是平行四边形，所以．
同理，，由正六棱柱性质可知，
所以，
所以化简结果如下图所示：
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过线线平行证明线面平行即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量坐标法求解线面角的正弦值.
【详解】（1）三棱柱中，底面，故该三棱柱为直三棱柱，
所以侧面为矩形，可得为的中点，又由为的中点，
在中，，因为平面，平面，
所以平面.
（2）由题意，底面，，
故以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，∴，
设直线与平面所成角为，则.
22．(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）根据几何体特征，由中位线定理利用线面平行的判定定理即可证明出结论；
（2）建立以M为原点的空间直角坐标系，利用空间向量分别求得平面与平面的法向量，再由余弦值即可求得或.
【详解】（1）因为，，可得点E是的中点，
又因为M是的中点，
所以，
又面，面，
所以面.
（2）因为是正方形，所以，且平面，
平面，所以两两垂直，
以M为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：
由题意知，，
则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，即平面的法向量为，
因为，所以，
则，，
设面的法向量为，
则，令，可得法向量为，
所以，
因为平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
可得，
则或
