2024年中考九年级数学一轮复习训练卷之方程与不等式01
一、单选题
1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．4、5、81 B．4、﹣5、81
C．4、﹣5、﹣81 D．﹣4、﹣5、﹣81
2．不等式组的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＞3 C．x＜4 D．x＞4
3．关于x的一元二次方程 ，下面说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个实数根 D．没有实数根
4．小霞原有存款52元，小明原有存款70元从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n>70+12n B．52+15n<70+12n
C．52+12n>70+15n D．52+12n<70+15n
5．已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5＝0有一根为x＝2，则4a﹣6b的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
6．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． （a和b为常数） D．
7．已知是关于x的方程的一个根，则实数b的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具，其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同．设A类玩具的进价为m元/个，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x的一元二次方程的两实数根分别为，则的值为（ ）
A． B．1 C．5 D．
10．如果关于的不等式组无解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数的和是
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
11．如果关于 的一元二次方程 没有实数根，那么 的取值范围是 ．
12．方程的根是 ．
13．如果 、 是两个不相等的实数，且满足 ， ，那么代数式 =
三、计算题
14．解方程：
15．解方程：
（1）
（2）
四、解答题
16．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来
17．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？
18．说明：从(A)，(B)两题中任选一题作答.
春节前夕，便民超市把一批进价为每件12元的商品，以每件定价20元销售，每天能售出240件.销售一段时间后发现：如果每件涨价1元，那么每天就少售出20件；如果每件降价1元，那么每天能多售出40件.
(A)在降价的情况下，要使该商品每天的销售盈利为1800元，每件应降价多少元？
(B)为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件应定价为多少元？
我选择： ▲
五、综合题
19．如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
（1）用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积；
（2）当 ＝6， ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．
20．某水果店第一次用1200元购进一批大樱桃，很快售完；又用2500元购进第二批大樱桃，所购公斤数是第一批的2倍，但进价比第一批每公斤多了5元。
（1）求第一批大樱桃每公斤进价多少元？
（2）若以每公斤150元的价格销售第二批大樱桃，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批大樱桃的销售利润不少于320元，剩余的大樱桃每公斤售价至少打几折(利润=售价-进价)？
六、实践探究题
21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0 （填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝ ．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为 ．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：方程4x2＝5x+81，
整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，
则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．
故答案为：C．
【分析】把方程整理为一般形式，再求二次项系数、一次项系数、常数项即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：解第一个不等式得：x<4，
解第二个不等式得：x＜3，
则不等式组的解集是： x＜3．
故答案为：A．
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：将方程 化为一般形式为
此方程的根的判别式为
则此方程没有实数根
故答案为：D.
【分析】先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程的根的判别式即可得.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：设经过n个月后小霞的存款数超过小明，根据题意得，则n个月后，小霞的存款为52+15n，小明的存款为70+12n，可列不等式如下，
52+15n＞70+12n.
故答案为：A
【分析】利用不等关系：经过n个月后小霞的存教超过小明，可得到关于n的不等式.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：当x＝2时，方程变为4a 6b 5＝0，
∴4a 6b＝5．
故答案为：B．
【分析】将x＝2代入原方程可得4a 6b 5＝0，据此即得结论.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：A、 是一元一次方程，故不符合题意；
B、 是分式方程，故不符合题意；
C、当a=0，b≠0时，方程 （a和b为常数）为一元一次方程，当a≠0时，方程 （a和b为常数）为一元二次方程，故不符合题意；
D、 是一元二次方程，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】一元二次方程：含一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程。一元二次方程的一般形式：（a≠0），其中，a、b、c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项。
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵是关于x的方程的一个根，
∴将代入关于x的方程，
可得：，
解得：，
∴实数b的值为1.
故答案为：B
【分析】根据方程解的概念，将x=3代入方程中可得关于b的方程，求解可得b的值.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：设A类玩具的进价为m元/个，则B类玩具的进价为（m﹣3）元/个，
由题意得， = ，
故选：C．
【分析】根据题意B类玩具的进价为（m﹣3）元/个，根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的两实数根分别为，
∴根据根与系数的关系得，，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：由 得： ，
由 得： ．
不等式组无解，
且 ．
，
，
，
．
方程有正整数解，
， 且n+1≠2 ，
∴n＞-1，且n≠1，
∵2≤n≤
∴整数n有2，3，
∴复合条件的所有整数n的和是5.
故答案为：C．
【分析】根据不等式无解可推出，解分式方程可得，由方程有正整数解，可确定n值，继而得解.
11．【答案】
【解析】【解答】由题意得：△=22-4×1×（-a）<0，解得：a<-1，
故答案为：a<-1.
【分析】由判断式小于0列不等式再解不等式即可。
12．【答案】x=-2
【解析】【解答】解：去分母可得x=-2.
经检验x=-2是分式方程的解.
故答案为：x=-2.
【分析】给方程两边同时乘以x-3约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程得出x的值，然后进行检验即可.
13．【答案】2026
【解析】【解答】解：如果 m 、 n 是两个不相等的实数，且满足 m 2 m = 3 ， n 2 n = 3 ，
则 、 是关于 的一元二次方程 的两根，
∴ ， ，
＝
＝
＝2×1-（-3）+2021
=2026
【分析】根据题意可得出 m 、 n 是关于 x 的一元二次方程 x 2 x = 3 的两根，再利用根与系数的关系求出m+n和mn的值及n 2 =n+ 3，分别代入可解答。
14．【答案】解：解方程两边同乘得，
解得，
经检验得是原方程得解．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
15．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
【解析】【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用因式分解法进行解方程即可.
16．【答案】解：
由①得：x≥ 1；
由②得：x＜3；
∴原不等式组的解集为 1≤x＜3，
在坐标轴上表示：
.
【解析】【分析】一元一次不等式组的解法步骤：
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②将每个不等式的解集再同一数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
③根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解.
17．【答案】【解答】解：降价x元，则售价为（60﹣x）元，销售量为（300+20x）件，
根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）=6080，
解得x1=1，x2=4，
又顾客得实惠，故取x=4，即定价为56元，
答：应将销售单价定位56元．
【解析】【解答】设降价x元，表示出售价和销售量，列出方程求解即可．
【分析】此题考查了实际问题与一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程并求解，注意答案的取舍问题.
18．【答案】解：若选（A）设每件商品应降价x元，根据题意得（20-x-12）(240+40x)=1800，解得 ， （不符合题意，舍去），答：每件商品应降价3元；若选（B）①设每件商品应降价x元，根据题意得（20-x-12）(240+40x)=1980，∵△＜0，∴原方程无实数根；②设每件应涨价y元，根据题意得（20+y-12）(240-20y)=1980，解得 ， ，∴20+3=23(元)，20+1=21（元），答：为了使该商品每天销售盈利为1980元，每件定价21元或23元.
【解析】【分析】（A）设应降价x元，根据题意列出方程，有符合题意的解；（B）只规定销售盈利为1980元，没有指明是降价还是涨价，则分2种情况讨论，分别设降价和涨价为x元和y元，根据列出方程，解出符合题意的解即可。
19．【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为： ，
（2）解：当a＝6，b＝4时，根据题意有： ，∴ ，∴ 即 ，
∴剪去的正方形的边长 ．
【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．
20．【答案】（1）设第一批大樱桃每公斤进价x元，
根据题意，得： ----3分
解得x=120
经检验，x=120是原方程的解且符合题意。
答：第一批大樱桃每公斤进价为120元。
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折。
根据题意，得：
×150×80%+ ×150×(1-80%)×0.1y-2500≥320
解得：y≥7。
答：剩余的大樱桃每公斤售价最少打7折
【解析】【分析】（1）设第一批大樱桃每公斤进价x元，根据购进第二批大樱桃的数量=购进第一批大樱桃的数量的2倍，列出方程，解出方程并检验即可；
（2）设剩余的大樱桃每公斤售价打y折， 根据第二批大樱桃的销售利润不少于320元，列出不等式并解出不等式即可；
21．【答案】（1）不是
（2）2
（3）2b2＝9ac
（4）解：∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0），
∴x1＝2，x2＝，
∵（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，
∴＝4或＝1，
∴n=4m或n=m，
当n＝4m时，原式＝4m2-5m×4m+（4m）2=0；
当n＝m时，
原式＝4m2-5m×m+m2=0．
【解析】【解答】解：（1）∵2x2+x-1=0，
∴(2x-1)(x+1)=0，
则2x-1=0或x+1=0，
解得x1=，x2=-1，
∴一元二次方程2x2+x-1=0，不是倍根方程；
故答案为：不是；
（2）∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，
∴设方程的一个根为m，则另一个根为2m，
∴m+2m=3，
解得m=1，
∴方程的两个根为1与2，
∴c=1×2=2；
故答案为：2；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，
∴设方程的一个根为n，则另一个根为2n，
∴n+2n=-，n×2n=，
消去n得2b2=9ac；
故答案为：2b2=9ac；
【分析】（1）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据倍根方程的定义判断即可；
（2）由倍根方程的定义，设方程的一个根为m，则另一个根为2m，由根与系数的关系可得方程m+2m=3，据此可求出m的值，从而得出方程的两个根，进而再根据一元二次方程根与系数的关系可得c的值；
（3）由倍根方程的定义，设方程的一个根为n，则另一个根为2n，由根与系数的关系可得n+2n=-，n×2n=，从而消去n即可求出a、b、c之间的关系；
（4）先利用因式分解法求出方程的两个根为x1＝2，x2＝，再根据倍根方程的定义可得＝4或＝1，即n=4m或n=m，然后分两种情况代入所求代数式根据整式混合运算的运算顺序计算可得答案.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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