北京三帆中学 2023-2024学年度第一学期期中考试试卷
初三 数学学科
班级＿＿＿ 分层班级＿＿＿ 姓名＿＿＿＿ 学号＿＿＿ 成绩＿＿＿＿
注意：(1)时间 120分钟, 满分 100分；(2)请将答案填写在答题纸上.
一、选择题(共 8小题, 每小题 2分, 满分 16分)
1. 下列图形中, 既是中心对称图形也是轴对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
2. 抛物线 y 3(x 2)2 4的开口方向和顶点坐标分别是 ( )
A．向上, (2, 4) B．向上, (－2, 4) C．向下, (2, 4) D．向下, (－2, 4)
3. 如图, A, B, C, D是⊙O上的四点, 若∠D=70°,
则∠B的度数为 ( )
A．100° B．110°
C．70° D．109°
4. y = x2把抛物线 +1向右平移 3个单位, 再向下平移 2个单位, 得到抛物
线的解析式为 ( )
A． y x 2 3 1 B 2． y x 3 3
C． y x 3 2 1 D 2 ． y x 3 3
5. 抛物线 y = mx2 - 2mx - 3与 x轴交于 A, B两点, 若点 A的坐标是 ( 1,0) , 则点 B的坐标为 ( )
A． (3,0) B． (5,0) C． (0, 3) D． (1,0)
6. 如图, 已知⊙O的半径 OC经过弦 AB的中点 D, 分别连接 OB, AC,
则 2∠A+∠B的度数为 ( )
A．80° B．45°
C．90° D．70°
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7. 数学课上, 邱老师提出如下问题：
已知：如图, AB是⊙O的直径, 射线 AC交⊙O于C .
求作： 的中点 D.
同学们分享了如下四种方案：
①如图 1, 连接 BC, 作 BC的垂直平分线, 交⊙O于点 D．
②如图 2, 过点 O作 AC的平行线, 交⊙O于点 D．
③如图 3, 作∠BAC的平分线, 交⊙O于点 D．
④如图 4, 在射线 AC上截取 AE, 使 AE=AB, 连接 BE, 交⊙O于点 D．
图 1 图 2 图 3 图 4
上述四种方案中, 正确的方案的序号是( )
A.①② B.②③ C. ②③④ D.①②③④
8. 下面的三个问题中都有两个变量：
①边长为 3dm 的正方形纸片中间剪去一个边长为 x dm 的正方形纸
片, 剩下纸片的面积 y与 x；
②用长为 50cm的绳子围成一个矩形, 矩形的面积 y与一边长 x；
③某种商品的价格为 4 元, 准备进行两次降价, 如果每次降价的百
分率都是 x, 经过两次降价后的价格 y与 x.
其中变量 y与 x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是
( )
A.① B.② C. ③ D.①③
二、填空题(共 8小题, 每小题 2分, 满分 16分)
9. 已知 x=1是关于 x的一元二次方程 x2 mx 6 0的一个根, 则 m= .
10. 已知抛物线 y x 1 2 4经过两点 A(2, y1)和 B(3, y2 ) , 则 y1________ y2 (填“>”, “<”或“=”)．
11. 扇形圆心角为 120°, 半径长为 6cm, (计算结果保留π)则弧长为__________ cm, 扇形的面积为
_______ cm2.
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12. 杭州亚运会射击项目比赛, 中国队取得 16金 9银 4铜的成绩, 继
续保持着亚洲射击运动霸主的位置. 如图, 是射击靶的示意图, 环靶
为圆形, 直径 122 cm, 自中心向外共 10个等宽的同心圆环区, 得分标
准如图所示. 若最小的圆半径为 6.1cm, 最大的圆半径为 61cm, 某运
动员一次训练中, 击中了与圆心 O的距离为 15cm的位置, 则该运动
员本次射击得分为__________分.
13. 如图,⊙O的直径 AB垂直弦 CD于点 E, 若 AB=4,∠A=15°, 则弦 CD的长为___________.
13题图 15题图 16题图
14. 二次函数 y x2 4x c满足以下条件：当3 x 4时, 它的图象位于 x轴的下方；当 4 x 5时,
它的图象位于 x轴的上方, 则 c的值为_____.
15. 如图, 是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分, 有下面四个结论：
① ac<0；② b>2a；③9a－3b+c<0；④关于 x的方程 ax2＋bx＋c=1(a≠0)有两个不相等的实数根.
其中所有正确结论的序号是____________.
16.在平面直角坐标系中, 已知点 A(-3, 0), B(3, 0), T(0, 2). 点 C为坐标平面内的一个动点, 满足
∠ACB=60°, 则线段 CT长度的最大值为 .
三、解答题(共 12小题, 满分 68分, 17-19, 21-23 每题 5分, 20, 24-26每题 6分, 27, 28每
题 7分)
17. 解方程： x2-4x+3=0
18. 已知关于 x的方程 x2-(k+4)x+2k+4=0
(1)求证：不论 k为何值, 该方程总有两个实数根；
(2)设该方程有两个根为 x1, x2, 若 x1+x2=7, 求 k的值.
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19. 如图, A是⊙O外一点, AB与⊙O相切于点 B, 连接 OA, 交⊙O于点 C. 若 AC=2, AB= 2 3 , 求圆的
半径.
20. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a, b, c是常数, a≠0)的 y与 x的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -3 0 1 0 -3 …
(1)根据上表画出函数图象, 并填空：
① 该函数的顶点坐标为 ;
② 抛物线与坐标轴的交点坐标为 ；
③ 当 y >0时, x的取值范围是 ；
(2)求该二次函数的解析式.
21. 2023年 9月, 以“人文自主庚七秩, 二附一心向未来”为主题的北师大二附中建校 70周年庆祝活动
在校隆重举行, 师生校友参与了丰富多彩的校庆活动, 并通过购买文创纪念品的方式献上爱心, 其中
的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睐, 这两种吉祥物成本价均为每个 40元, 设两种吉祥物的销售单价
均为 x元, 每小时共售出两种吉祥物 y个, 经研究发现 y与 x之间有如下关系：y=-x+60. 设在这次活
动中两种吉祥物每小时的利润共 w元.
(1)求 w与 x之间的函数表达式(需写出 x的取值范围).
(2)这两种吉祥物的销售单价定为多少元, 可以使每小时的利润最大？
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22. 阅读对话, 解答问题.
（1）分别用 m, n表示好好从珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上标有的数字, 请用列表法写出(m, n)的所有
取值；
（2）求在(m, n)的所有取值中使关于 x的一元二次方程 x2－mx+2n=0有实数根的概率 P.
23. 已知：如图, 在△ABC中, AB=AC．
求作：△ABC的外接圆．
下面是小张的作法：
①如图, 作 BC的垂直平分线 l1；
②作 AC的垂直平分线 l2, 与 l1交于点 O；
③以 O为圆心, OA长度为半径作圆.
则⊙O是△ABC的外接圆．
(1)请你用无刻度直尺和圆规在图中补全图形.
(2)小李看到他的作法后灵机一动, 找到了△ABC的内心. 下面是小李的作法：
直线 l2与 交于点 D, 连接 DB, 交 AO于点 I, 则点 I是△ABC的内心.
请你补全下面证明.
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∵l2⊥AC, l2经过点 O,
∴ = ( ① )(填推理的依据),
∴∠ABD= ② ( ③ )(填推理的依据),
∵l1⊥BC, AB=AC,
∴∠BAO=∠CAO,
∵DB与 AO交于点 I,
∴点 I是△ABC的内心.
24. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一, 投篮时, 球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条
抛物线的一部分, 建立如图所示平面直角坐标系, 从出手到球进篮筐的过程中, 篮球的竖直高度 y (单
2
位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满足函数关系 y a x h k (a 0) .
出手点
（1）某球员一次投篮时, 记录了篮球的水平距离 x与竖直高度 y的几组数据如下：
水平距离 x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
竖直高度 y/m 2 2.72 3.28 3.68 3.92 4 3.92 3.68 …
请你根据表格中数据, 直接写出篮球飞行轨迹的最高点坐标 , 并求出满足的函数解析式.
（2）小明同学在此基础上想要研究自己的投篮情况, 已经求得第一次的投篮轨迹近似满足函数关系
5
式： y x 2.4 2 4.5 , 请回答下列问题：
12
①小明同学第一次投篮的出手点高度为 m；
②已知篮筐中心位置在水平距离 4.2m, 竖直高度 3m处. 当篮球的竖直高度为 3m时对应的水平
距离与篮筐中心位置的水平距离相差 0.1m以内, 篮球可以进入篮筐. 若小明第二次的投篮轨迹近似
y 5满足函数关系式： x 2.1 2 4 , 已知两次投篮只有一次投中, 则 投中（填写
12
“第一次”或“第二次”）.
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25. 如图, BC是⊙O的直径, 点 A是⊙O上一点, PO⊥AB , PB⊥BO于 B, 分别连接 AC, AP.
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)作 AD平分∠BAC交⊙O于点 D, 连接 CD. 若 AB＝OB, CD=2 3 ,
请补全图形, 并求 OP的长.
26. 平面直角坐标系 xOy中, 抛物线 y = ax2+bx+c (a≠0) 的对称轴为直线 x=t.
(1) 若抛物线经过点(2, c), 求 t的值；
(2) 若抛物线上存在两点 A(x1, y1), B(x2, y2), 其中-1< x1<0, 1< x2<3, 且 y1 = y2, 求 t的取值范围．
27. 已知在 Rt ABC中, ACB 90 , AC BC , CD AB于D , E为线段 BC上的一动点, 连接 ED ,
将 ED绕点 E逆时针旋转90 , 得到线段 EF, 连接 AF交直．线．CD于点G .
(1)当E与C重合时, 如图 1, 求证： AG FG；
(2)当E与C不重合时, 如图 2, 则(1)中的结论是否成立？若成立请证明, 若不成立请说明理由；
(3)若 AC 2 , 直接写出CG长的最大值.
图 1 图 2
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28. 设 T是平面内的几何变换, 它使得平面内任意一点 P都有唯一的对应点 P′, 从而使任何图形 G都
能经过变换 T得到另一图形 G′. 在此基础上：
若点 P的对应点是它本身, 则称点 P是变换 T的不动点；
若图形 G经过变换 T后得到的图形仍然是它本身, 则称图形 G是变换 T的不动图形.
如图, 在平面直角坐标系 xOy中, 已知点 A(1, 1), B(0, 2), C(2, 0).
（1） 变换 T1：先关于 y轴对称, 再将坐标为(a, b)的点变为点(4－a, b).
1 若点 A在经过变换 T1后得到点 A′, 则 AA′=_________；
2 有下列图形：
（A） 过点 A且平行于 x轴的直线；
（B） 开口向下, 且以 B为顶点的抛物线；
（C） 以点 C为圆心的半径为 1的圆.
其中是变换 T1的不动图形的是__________；
（2） 变换 T2：先关于直线 y=kx+1对称, 再关于 y轴对称.
请判断点 B、点 C中哪个点经过变换 T2后可能得到点 A, 并求出此时 k的值；
（3） 变换 T3：先绕点 O顺时针旋转 90°, 再绕点 C逆时针旋转 60°.
1 以C为圆心作半径为 r的圆, 若⊙C上存在点M, 它经过变换T3后的对应点恰好在 x轴上, 直
接写出 r的取值范围；
2 变换 T3是否有不动点？若有, 写出其不动点的坐标；若没有, 说明理由.
备用图
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