2022-2023学年广东省广州113中八年级（上）期中数学试卷
一、单项选择题（本题有8个小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）如图图案是轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3
C．a6 a2＝a12 D．（a6）2＝a12
3．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，∠A＝50°，∠B＝30°（ ）
A．50° B．30° C．80° D．100°
4．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
5．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．12
6．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
7．（3分）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E（ ）
A．72° B．36° C．60° D．82°
二、多项选择题（本题有2个小题，每题5分，满分10分）
（多选）9．（5分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
（多选）10．（5分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q（ ）
A．AD＝BE B．DE＝DP C．PQ＝CP D．∠AOE＝120°
三、填空题（本题有6个小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）计算：6x3y÷（﹣3x2）＝ ．
12．（4分）如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形的边数是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，且CD＝5，则点D到AB的距离为 ．
14．（4分）如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是 ．
15．（4分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 海里．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于点F，若BF＝AC 度．
四、解答题（本大题有8小题，共62分）
17．（6分）计算：a2 a4+（﹣2a3）2．
18．（6分）已知：如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小（保留画图痕迹）．
19．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，DC⊥BC于点C，求CD的长．
20．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的长．
21．（8分）先化简再求值：（2x﹣y）（x+y）﹣2x（﹣2x+3y）+6x（﹣x﹣y），y＝2．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是AC的中点．
（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F．
（2）证明：AF＝BC．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，DB＝DC，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+DC．
24．（10分）△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，AC＝BC，CD＝CE
（1）若点E在线段AB上，如图，求证：△CDA≌△CEB；
（2）若点E在边BA的延长线上，如图，探究△ACE面积与△BCD面积的数量关系
2022-2023学年广东省广州113中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题有8个小题，每题3分，满分24分）
1．（3分）如图图案是轴对称图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：第一个和第四个图是轴对称图形，第二个和第三个不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是正确找出对称轴．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2+a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3
C．a6 a2＝a12 D．（a6）2＝a12
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、2a2+a2＝3a2，故此选项错误；
B、a3÷a2＝a4，故此选项错误；
C、a4 a2＝a8，故此选项错误；
D、（a8）2＝a12，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，∠A＝50°，∠B＝30°（ ）
A．50° B．30° C．80° D．100°
【分析】利用SAS可证明△AOD≌△COB，则∠D＝∠B＝30°．
【解答】解：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠D＝∠B＝30°．
故选：B．
【点评】此题考查三角形全等的判定和性质，注意利用已知隐含的条件：对顶角相等．
4．（3分）点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【分析】两点关于x轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，
∴点M（4，2）关于x轴对称点的坐标为 （1．
故选：D．
【点评】本题考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
5．（3分）如图，△ABC中，∠B＝60°，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．12
【分析】根据∠B＝60°，AB＝AC，即可判定△ABC为等边三角形，由BC＝3，即可求出△ABC的周长．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC＝3，∴△ABC的周长为：3BC＝7，
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，属于基础题，关键是根据已知条件判定三角形为等边三角形．
6．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A．6 B．3 C．2 D．11
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10，
所以符合条件的整数为6，
故选：A．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．
7．（3分）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中没有画出AC边上的高；
B、图中没有画出AC边上的高；
C、图中没有画出AC边上的高；
D、图中画出的BE是AC边上的高；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E（ ）
A．72° B．36° C．60° D．82°
【分析】由垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，再由三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：法一、∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：A．
法二、∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°．
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解答此题的关键是熟知线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
二、多项选择题（本题有2个小题，每题5分，满分10分）
（多选）9．（5分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，其中能使△ABC≌△AED的条件有（ ）
A．AB＝AE B．BC＝ED C．∠C＝∠D D．∠B＝∠E
【分析】先由∠1＝∠2得到∠CAB＝∠DAE，然后分别根据“SAS”、“ASA”和“AAS”对添加的条件进行判断．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠DAE，
∵AC＝AD，
A．当AB＝AE时；
B．当BC＝ED时；
C．当∠C＝∠D时；
D．当∠B＝∠E时；
故选：ACD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（多选）10．（5分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q（ ）
A．AD＝BE B．DE＝DP C．PQ＝CP D．∠AOE＝120°
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°，可以证明△ACD与△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BE，所以A正确；根据全等三角形对应角相等可得∠CAD＝∠CBE，然后证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形对应边相等可得AP＝BQ，PC＝QC，从而得到△PCQ是等边三角形，进而得到PQ＝CP，C正确；根据全等三角形的性质得出AD＝BE，AP＝BQ，则DP＝QE，求出QE≠DE可得DP≠DE，B错误；求出∠CAD+∠CEO＝∠CBE+∠CEO＝∠ACB＝60°，可得∠AOE＝120°，故D正确．
【解答】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE；
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP与△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴AP＝BQ，PC＝QC，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，PQ＝CP；
∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，
∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴QE≠DE，
∴DP≠DE，B错误；
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠CAD+∠CEO＝∠CBE+∠CEO＝∠ACB＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣（∠CAD+∠CEO）＝180°﹣60°＝120°，D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，需要多次证明三角形全等，综合性质较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
三、填空题（本题有6个小题，每小题4分，满分24分）
11．（4分）计算：6x3y÷（﹣3x2）＝ ﹣2xy ．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：6x3y÷（﹣5x2）＝﹣2xy，
故答案为：﹣7xy．
【点评】本题考查单项式除以单项式，运算法则为：把被除式与除式的系数和相同指数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母连同字母的指数也作为商的因式．
12．（4分）如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形的边数是 八 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°＝1080°，然后解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则
（n﹣2）×180°＝1080°，
解得n＝8，
故这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°解答．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，且CD＝5，则点D到AB的距离为 5 ．
【分析】直接根据角平分线的性质定理即可得出结论．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝5，
∴DE＝5．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
14．（4分）如果等腰三角形的一个角是80°，那么其底角是 50°或80° ．
【分析】根据题意，分已知角是底角与不是底角两种情况讨论，结合三角形内角和等于180°，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°，
①当这个角是底角时，即该等腰三角形的底角的度数是80°，
②当这个角80°是顶角，
设等腰三角形的底角是x°，
则2x+80°＝180°，
解可得，x＝50°；
故答案为：50°或80°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理；通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．
15．（4分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 7 海里．
【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PAD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案为：7．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于点F，若BF＝AC 45 度．
【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，可求∠ABC＝∠BAD＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
即∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45．
【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
四、解答题（本大题有8小题，共62分）
17．（6分）计算：a2 a4+（﹣2a3）2．
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方等运算法则计算即可．
【解答】解：a2 a4+（﹣3a3）2
＝a2+4a6
＝5a6．
【点评】本题主要考查了整式的运算，灵活运用同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方等运算法则成为解答本题的关键．
18．（6分）已知：如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在x轴上画出点P，使PA+PB最小（保留画图痕迹）．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的性质得出各对应点位置，顺次连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点A''，连接A''B交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）如图所示，作点A关于x轴的对称点A''，点P即为所求．
证明：∵点A和点A''关于x轴对称，
∴PA＝PA''，
∴PA+PB＝PA''+PB，
∵PA''+PB≥A''B，
∴当A''、P、B三点共线时，即PA+PB取最小值，
∴连接A''B交x轴于点P，点P即为所求．
【点评】此题主要考查了画轴对称图形，利用轴对称求最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键．
19．（6分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，DC⊥BC于点C，求CD的长．
【分析】由已知可求得∠ABD＝∠DBC＝30°，已知DC⊥BC，则根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠C＝90°，
∵在Rt△BDC中，∠DBC＝30°，
∴CD＝，
∴CD＝3．
【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
20．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D，AD＝2.7cm
（1）求证：△ACD≌△CBE．
（2）求BE的长．
【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠CEB＝90°，求出∠ACD＝∠CBE，然后利用AAS即可证明△ACD≌△CBE；
（2）根据全等三角形的性质可得CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，根据CD＝CE﹣DE求出CD即可得到BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCE＝90°﹣∠BCE，
∵∠CBE＝90°﹣∠BCE，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：由（1）知，：△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD＝2.7cm，BE＝CD，
∵CD＝CE﹣DE＝5.7﹣1.6＝0.9cm，
∴BE＝4.9cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
21．（8分）先化简再求值：（2x﹣y）（x+y）﹣2x（﹣2x+3y）+6x（﹣x﹣y），y＝2．
【分析】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2x2+5xy﹣xy﹣y2+4x3﹣6xy﹣6x3﹣15xy
＝﹣20xy﹣y2，
当x＝﹣1，y＝5时．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是AC的中点．
（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM；
②连接BE并延长交AM于点F．
（2）证明：AF＝BC．
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法按要求作图即可；
（2）求出∠FAE＝∠C，利用ASA证明，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠DAC＝∠ABC+∠C＝2∠C，即，
∵AF平分∠DAC，
∴，
∴∠FAE＝∠C，
又∵AE＝CE，∠AEF＝∠CEB，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF＝BC．
【点评】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线定义，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，DB＝DC，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）求∠ADE的度数；
（2）求证：DE＝AD+DC．
【分析】（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直线垂直平分BC，根据等腰三角形底边三线合一性质可得AD平分∠BAC，根据三角形外角等于不相邻两内角性质即可解题；
（2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，易证△ABD≌△AEM，可得BD＝ME，根据BD＝CD即可求得ME＝CD，于是证得结论；
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，
∵DB＝DC，∠DCB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝15°，
∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°．
（2）如图1，在线段DE上截取DM＝AD，
∵∠ADE＝60°，DM＝AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AME＝120°，
∵AE＝AB，
∴∠ABD＝∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD＝ME，
∵BD＝CD，
∴CD＝ME，
∵DE＝DM+ME，
∴DE＝AD+CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，本题中求证△ABD≌△AEM是解题的关键．
24．（10分）△ABC、△CDE均为等腰直角三角形，AC＝BC，CD＝CE
（1）若点E在线段AB上，如图，求证：△CDA≌△CEB；
（2）若点E在边BA的延长线上，如图，探究△ACE面积与△BCD面积的数量关系
【分析】（1）已知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，则可得∠BCE＝∠ACD，进而证三角形全等即可；
（2）作AM⊥CE，BN⊥CD，再由已知条件可证△BCN≌△ACM，得BN＝AM，由三角形面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS）；
（2）解：如图，作AM⊥CE，与CD延长线交于点N，
∵∠ECD＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ECN＝90°，
∴∠BCN＝∠ACM，
在△BCN和△ACM中，
，
∴△BCN≌△ACM（AAS），
∴BN＝AM，
又∵，，CE＝CD，
∴S△ACE＝S△CBD，
即△ACE面积与△BCD面积相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，添加辅助线构造三角形全等是解题的关键．
