2024届高三数学阶段测试卷（二）
请注意：本卷共4页，22小题，满分150分，考试时量为120分钟.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为
A. 1 B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求得方程的两个复数根，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，方程，可得，
所以方程的两个复数根分别为或，
所以.
故选：B.
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合A，结合集合B的描述求交集.
【详解】由题设，而，，则，
所以.
故选：D
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
4. 已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为（ ）
A. 28 B. -28 C. 45 D. -45
【答案】A
【解析】
【分析】根据展开式各项系数之和可得的值，从而可得展开式的通项，进而可得的系数.
【详解】的展开式中各项系数之和为0
所以令得，则，
所以的通项为
所以展开式中的系数为.
故选：A.
5. 已知，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数的单调性可得，利用指数、对数函数的单调性得到，结合对数函数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以，
得.
若，则，即，
得，与矛盾.
故，由，得，
得.
综上，.
故选：B.
6. 直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解.
【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离，
又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径，
又因为球的表面积为，所以，
而，所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，
，
设直线和所成的角为，则
.
故选：A.
7. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等腰三角形中角的关系以及直线斜率与倾斜角关系得，再根据二倍角的正切公式即可求出，最后结合的范围以及同角三角函数的关系即可得到答案.
【详解】由题意得，，，
则直线所对的倾斜角为，
，即，则，
则，
，，，
又因为，，
则，结合，
解得，
故选：B.
8. 已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a取值范围是（ ）
A. (-e，2) B. (-e，1-e) C. (1，2) D.
【答案】A
【解析】
【分析】在上递增，根据在上有最小值，可知有极小值点，也即最小值点，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】在区间上单调递增，由题意只需
，
这时存在，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．
所以的取值范围是.
故选：A
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 数据的第75百分位数为10
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
D. 某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据相关系数的含义判断A；由百分位数求法可判断B；根据独立性检验的思想判断C；由分层抽样比例分配建立关系求解即可判断D.
【详解】对于A，相关系数，且越接近于1，相关程度越大，
反之两个变量的线性相关性越弱，
当时，线性相关系数越大，则越小，
线性相关性越弱，故选项A错误；
对于B，数据是从小到大排列的，由，
则第75百分位数为第6项数据与第7项数据的平均数，
故选项B正确：
对于C：因为，
所以有的把握可判断分类变量与有关联，
此推断犯错误的概率不大于，故选项C正确；
对于D，设该校女生人数是，则由分层抽样的比例分配方式，
得，解得，故选项D正确.
故选：BCD.
10. 已知直线：与：相交于点P，直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，则（ ）
A. 点
B. 数列的前n项和满足：
C. 数列单调递减
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意，点，，，在直线上，点，，，在直线上，设点，则，可得，可得，利用数列递推关系变形可得是等比数列，进而可求得，依次可判断各选项.
详解】由题可知，，，，故A正确；
设点，则，
故，即有，
∴，
故是以1为首项，为公比的等比数列，，
，
可得，故选项B错误；
对于数列有：，
故数列单调递增，选项C错误；
由两直线交点和点可得：，故D正确.
故选：AD.
11. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆 椭圆 双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）
A. 圆的面积为
B. 椭圆的长轴长为
C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为
D. 抛物线的焦点到准线的距离为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断B、C、D.
【详解】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对；
B：如下图轴截面中，作于，则长轴长，
又，则，对；
C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点O、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
故两条渐近线夹角正切值为，对；
D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则，故，
设抛物线方程为，则，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，错.
故选：ABC
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 不等式的解集为
C. 若关于的方程有6个实根，则
D. ，，都有
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数为奇函数求出时的解析式并求导，根据导数的几何意义，得出切线方程，即可判断A；结合的解析式，求出不等式的解集即可判断B；根据函数的性质作出的大致图象，可知当时，，由此即可判断D；根据的图象，结合函数图象的变换规律，作出的大致图象，根据直线与交点个数的情况，即可判断C．
【详解】函数是定义在上的奇函数，，
∵当时，，
∴当时，，则，
∴，，又
∴曲线在点处的切线方程为，故A正确；
∵
∴令，则
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，符合题意，
故的解集为，故B错误；
当时，，∴，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴当时，取极小值，
在时，，
函数是上的奇函数，图象关于原点对称，
根据以上信息，作出的大致图象如图，
由图可知，当时，，
，，都有，故D错误．
根据函数图象的变换规律，作出的大致图象如图，
由图可知，当时，直线与的图象有6个交点，则关于的方程有6个实根，故C正确；
故选：AC．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，，则的值是______________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据三角形内角和是，以及两角和的余弦公式，并使用诱导公式和平方关系，可得结果.
【详解】在中，，
所以
又，所以
可知为锐角，
所以
又，可知
所以
即
所以
故答案为：
【点睛】本题考查两角和的余弦公式，还考查三角形中角的大小的判断，属基础题.
14. 数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.
【答案】##1.75
【解析】
【分析】由条件求数列的通项公式，再研究数列的单调性，由此确定其最大项.
【详解】数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以，
所以
因为
所以当时，，即，
又，
所以数列的最大项为第二项，其值为.
故答案为：.
15. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【详解】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故答案为：．
16. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可.
【详解】设为的中点，为的中点，如图所示，
则
，
在正三角形中，，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以的最小值为：
.
故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在中，角的对边分别为，已知，且.
（1）求的外接圆半径；
（2）求内切圆半径的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；
（2）由正弦定理求的范围，再用求得后即可求的取值范围.
小问1详解】
由正弦定理，，可得
再由余弦定理，，又，所以.
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，则.
则.
在中，由正弦定理，
，所以，
则
，
又，所以，
所以，
，所以.
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得，即，可证明是等比数列；
（2）有（1）知，即，合理利用放缩然后利用裂项相消可得证明.
【详解】证明：（1）∵数列的前n项和为，，，∴，
∴，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列．
（2）∵是以为首项，以4为公比的等比数列，∴，∴．∴．
，，所以，
当时，
∴
．
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了由递推数列求证等比数列，以及放缩法证明不等式，其中合理利用放缩然后再利用裂项相消求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）求出的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；
（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，由条件概率公式代入求解即可.
【小问1详解】
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
∴的分布列如下：
0 1 2 3
P
．
【小问2详解】
记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，
．
20. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.
【答案】（1）2 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明线线和线面垂直，并结合已知条件即可得出三棱锥的体积；
（2）建立空间直角坐标系，表达出各点的坐标，求出所成角为与的正余弦值，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意，
∵平面平面，且平面平面，，平面ABC
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面ABC
∴平面，
连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴三棱锥底面的面积，高，
∴其体积为：.
【小问2详解】
证明：由题意及（1）得，
以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图
则.
设平面的法向量为，
由，取，则，
平面的一个法向量为，
所以
又因为，所以
又，所以.
21. 已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）对任意的，恒成立，分离参数，则，令，利用导数进行研究求出函数的最大值即可；
（2）由（1）可得，令，整理即可得，然后利用此不等式将待证不等式左边每一项放缩，进而利用对数的运算性质证得原不等式.
【小问1详解】
解：对任意的，恒成立，
即为，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
又当时，，
注意到，则当时，，即；
当时，，即，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以；
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
即，令，
则，即，
所以.，
所以原不等式成立.
22. 已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对称性得到和在C上，得到，再根据离心率得到答案；
（2）设直线，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，计算的横坐标，得到，设，，，计算最值即可.
【小问1详解】
由椭圆的对称性可知点和在C上，代入方程得．
设C的半焦距为，则离心率为，所以，
所以，解得，以椭圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，，设直线．
由消去x得，
所以，
设点，直线EA的方程为，
由与联立得，
同理可得．
所以
．
整理得，
因为点到直线的距离，
所以．
设，则，
所以，
当，即时，．
【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，椭圆中的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系，利用换元法求最值是解题的关键.2024届高三数学阶段测试卷（二）
请注意：本卷共4页，22小题，满分150分，考试时量为120分钟.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数是一元二次方程一个根，则的值为
A. 1 B. C. 0 D. 2
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为（ ）
A. 28 B. -28 C. 45 D. -45
5. 已知，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于，两点，且，，若直线的斜率为，则（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数在区间(0，1)上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A. (-e，2) B. (-e，1-e) C. (1，2) D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B. 数据的第75百分位数为10
C. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
D. 某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
10. 已知直线：与：相交于点P，直线与x轴交于点，过点作x轴的垂线交直线于点，过点作y轴的垂线交直线于点，过点作x轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，则（ ）
A. 点
B. 数列的前n项和满足：
C. 数列单调递减
D.
11. 在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆 椭圆 双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）
A. 圆的面积为
B. 椭圆的长轴长为
C. 双曲线两渐近线的夹角正切值为
D. 抛物线的焦点到准线的距离为
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线在点处的切线方程为
B. 不等式的解集为
C. 若关于的方程有6个实根，则
D ，，都有
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，，，则的值是______________.
14. 数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.
15. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则_____.
16. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17. 在中，角的对边分别为，已知，且.
（1）求的外接圆半径；
（2）求内切圆半径的取值范围.
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）求证为等比数列；
（2）求证：．
19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．
（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．
20. 如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面.
（1）求三棱锥的体积；
（2）平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.
21. 已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，.
22. 已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若C上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值．
