2023-2024学年人教版九年级数学上册《第21—24章》阶段性综合练习题（附答案）
一、选择题（共30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．﹣2＝0
C．3x2＝2（x+1） D．x2+2x＝x2﹣1
2．如图图形中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
4．关于x的二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
C．图象的顶点坐标是（﹣1，2）
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
6．如图，已知点E是⊙O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED＝（ ）
A．46° B．68° C．69° D．70°
7．如图，正六边形螺帽的边长为4cm，那么这个正六边形扳手的开口a的值是（ ）
A． B． C． D．
8．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（ ）
A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+6x+5
C．y＝x2+4x+4 D．y＝x2+8x+17
9．已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），且与x轴只有一个交点，则n的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF，OF．图中与∠OCF相等的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共20分）
11．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m＝ ．
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，用反证法证明：第一步是：假设 ．
13．在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为 ．
14．设二次函数y＝x2+2x﹣3的图象为C1，关于x的一次函数y＝kx+3k的图象为C2．
（1）C1和C2恰好都经过定点P，则点P的坐标为 ；
（2）若C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，则k的取值范围为 ．
三、解答题（共70分）
15．用适当方法解下列方程：
（1）x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）x2﹣4x﹣4＝0．
16．如图，AB为半径为3的⊙O的直径，弦BD、AC相交于点E，，求AC的长．
17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．点A，B，C，O都在格点上．
（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）在图中画出△ABC的外心P，请保留必要的作图痕迹．
18．两年前生产1吨某种药品的成本是5000元．随着生产技术的进步，成本逐年下降，第二年的年下降率是第1年的年下降率的2倍，现在生产1吨该种药品成本是2400元．求一年前的生产1吨该种药品的成本．
19．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．
（1）若连结EF，则△AEF是 三角形；并证明；
（2）若四边形AECF的面积为25，DE＝2，求AE的长．
20．如图，AB是⊙O的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作ED⊥AE交⊙O于点D，若AD平分∠BAC．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，AB＝10，求AE的长．
21．小磊进行铅球训练，他尝试用数学模型来研究铅球的运动情况．小磊某次试投时，铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面2m处的A点处出手，在距出手点A水平距离4m处达到最高点B，最高点B距地面的距离为3m．小磊以地面为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
（1）写出A，B两点的坐标：A ，B ；
（2）求铅球运动路径所在抛物线的函数解析式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩记为优秀，请通过计算，判断小磊此次成绩是否能达到优秀．
22．已知：⊙O的直径AB＝3，线段BC交⊙O于M，且BC＝5，点P在线段AC上，直线AC和PM分别与⊙O相切点A、M．
（1）求A点到直线BC的距离；
（2）求证：AP＝CP；
（3）根据题中提供的数据，猜想切线长CA、割线长CB及CM之间的数量关系．（不需证明）
猜想： ．
23．某校九年级数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的专题探究；一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的框，在实际使用中，如果竖档越多，窗框承重就越大，如果窗框面积越大，采光效果就越好．
小组讨论后，同学们做了以下试验：
请根据以上图案回答下列问题：
（1）在图案①中，如果铝合金材料总长度（图中所有黑线的长度和）为6m，当AB为1m，窗框ABCD的面积是 m2；
（2）在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，试探究AB长为多少时，窗框ABCD的面积最大，最大为多少？
（3）经过不断的试验，他们发现：总长度一定时，竖档越多，窗框的最大面积越小，试验证：当总长还是6m时，对于图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．
参考答案
一、选择题（共30分）
1．解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是分式方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程整理得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．解：A．图形不是中心对称图形，不符合题意；
B．图形是中心对称图形，符合题意；
C．图形不是中心对称图形，不符合题意；
D．图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
3．解：A、直径是弦，选项说法正确，符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，选项说法错误，不符合题意；
C、圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，选项说法错误，不符合题意；
D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，选项说法错误，不符合题意；
故选A．
4．解：A：∵a＝﹣1，∴函数的开口向下，对称轴是直线x＝1，故此选项错误，
B：当x＝0，y＝1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，
C：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
∴D：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
故选：D．
5．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：B．
6．解：∵点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，
∴∠AOD＝3∠BOC＝3×46°＝138°，
∴∠AED＝∠AOD＝×138°＝69°，
故选：C．
7．解：如图：
∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°，
∴，
∴．
故选：D．
8．解：A、y＝x2﹣1，先向上平移1个单位得到y＝x2，再向上平移1个单位可以得到y＝x2+1，故A符合题意；
B、y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，右移3个单位，再上移5得到y＝x2+1，故B不符合题意；
C、y＝x2+4x+4＝（x+2）2，先向右平移2个单位得到y＝（x+2﹣2）2＝x2，再向上平移1个单位得到y＝x2+1，故C符合题意；
D、y＝x2+8x+17＝（x+4）2+1，先向右平移2个单位得到y＝（x+4﹣2）2+1，再向右平移2个单位得到y＝（x+4﹣2﹣2）2+1＝x2+1，故D符合题意．
故选：B．
9．解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
即﹣＝2，解得b＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+c
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴△＝（﹣4）2﹣4c＝0，解得c＝4，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4，
把A（1，n）代入得n＝1﹣4+4＝1．
故选：C．
10．解：∵OC＝OF，
∴△OCF是等腰三角形，
∴∠OCF＝∠OFC，
∵BF∥OC，
∴∠OCF＝∠BFC，
如图所示，延长CE交⊙O于点G，连接BG，
∵AB是直径，CE⊥AB，
∴GE⊥AB，即∠GEB＝∠CEB＝90°，
∴AB⊥CG，
∴根据垂径定理可得，GE＝CE，＝，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵∠BFC与∠BGC所对弧相同，
∴∠BFC＝∠BGC＝∠BCG，
∴∠BCE＝∠OCF；
综上所示，与∠OCF相等的角有∠OFC，∠BFC，∠BCE，共3个，
故选：C．
二、填空题（共20分）
11．解：∵二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，
∴m+1＞0且m2﹣9＝0，
∴m＝3．
故答案为3．
12．解：用反证法证明：第一步是：假设∠B≥90°．
故答案为：∠B≥90°．
13．解：∵∠A＝66°，
∴∠ABC+∠ACB＝114°，
∵点I是内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB＝57°，
∴∠BIC＝180°﹣57°＝123°，
故答案为：123°
14．解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴图象C1与x轴的交点为（﹣3，0）和 （1，0），
∵y＝kx+3k＝k（x+3），
∴图象C2经过定点（﹣3，0），
∴定点P的坐标为（﹣3，0）；
故答案为：（﹣3，0）；
（2）∵C1和C2有两个不同的交点，
∴x2+2x﹣3＝kx+3k整理得x2+（2﹣k）x﹣3﹣3k＝0中，Δ＞0，
∴（2﹣k）2﹣4（﹣3﹣3k）＞0，即（k+4）2＞0，
∴k≠﹣4，
∵C1和C2有两个不同的交点，设其横坐标分别为x1和x2，且x1＜x2＜1，
∴一个交点是（﹣3，0），另一个在x轴的下方，
∴一次函数y＝kx+3k的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0且k≠﹣4，
故答案为：k＜0且k≠﹣4．
三、解答题（共70分）
15．解：（1）（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1．
（2）x2﹣4x+4＝4+4，
（x﹣2）2＝8，
，
，．
16．解：如图，连接BC，
∵AD＝DC＝CB，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC，
又AB为半径为3的⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，AB＝6，
∴∠A＝30°
∴，
∴．
17．解：（1）如图所示；
（2）利用网格分别作BC，AB的垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心．
18．解：设第一年下降率为x，则第二年的年下降率是2x，根据题意，得
5000（1﹣x）（1﹣2x）＝2400，
解得：x1＝0.2，x2＝1.3（不符合题意，舍去），
∴x＝20%，
∴5000（1﹣x）＝5000（1﹣20%）＝4000，
即一年前生产1吨该种药品的成本为4000元．
19．解：（1）△AEF是等腰直角三角形，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
故答案为等腰直角；
（2）∵△ADE≌△ABF，
∴S△ADE＝S△ABF，
∴四边形AECF＝S△ABF+S四边形ABCE＝S△ADE+S四边形ABCE＝S正方形ABCD＝25，
∴AD＝5，
∴AE＝＝＝．
20．（1）证明：如图所示，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAO
∴∠EAD＝∠ODA，
∴AE∥OD，
∵ED⊥AE，
∴ED⊥OD
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：连接BC交OD于G，如图所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥AE，
∴∠OGB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴G为BC的中点，即BG＝CG，
又∵AC＝6，AB＝10，
根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴DG＝OD﹣OG＝2，
∵OD⊥ED，ED⊥AE，OD⊥BC，
∴四边形CEDG为矩形，
∴CE＝DG＝2，
∴AE＝AC+CE＝8．
21．解：（1）由图中数据可得，点A坐标为（0，2），B点坐标为（4，3），
故答案为：（0，2），（4，3）；
（2）依题意，设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
解得a＝﹣，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+3；
（3）解：令y＝0，得﹣（x﹣4）2+3＝0，
解得x1＝4+4，x2＝4﹣4（C在x轴正半轴，故舍去），
∴点C的坐标为（4+4，0）．
∴OC＝4+4，
由＞，可得OC＞4+4×＝10．
∴小磊此次试投的成绩达到优秀．
22．（1）解：如图1，连接AM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠CAB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∵，
∴3×4＝5AM，
∴AM＝2.4，
即A点到直线BC的距离为2.4．
（2）证明：如图2，连接AM，
∵PC、PM是⊙O的切线，
∴PA＝PM，
∴∠PAM＝∠PMA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴∠PAM+∠C＝∠PMA+∠PMC＝90°，
∴∠C＝∠PMC，
∴PM＝PC，
∴PA＝PC．
（3）解：CA2＝CB CM，理由如下：
如图3，连接AM，
由（1）可知∠CAB＝∠AMC＝90°，
∵∠C＝∠C，
，
∴CA2＝CB CM．
23．解：（1）当AB＝1m时，则，
∴窗框ABCD的面积＝．
故答案为：；
（2）设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为ym2，则
y＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，y有最大值1，
即当AB长为1m时，窗框ABCD的面积最大，最大为1m2．
（3）设AB长为xm时，窗框ABCD的面积为ym2，则
＝，
∵，
∴当时，y有最大值，
令，
整理得：20x2﹣24x+9＝0，
∵Δ＝242﹣4×20×9＜0，
∴此方程无解，
∴图案③的最大面积，图案④不能达到这个面积．
