第28章 锐角三角函数 素养评估卷
时间：90分钟 满分:120分
题 号 一 二 三 总 分
得 分
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 2sin45°的值等于( )
A.1 B. C. D.2
2.在 Rt△ABC 中, 则 BC 的长为( )
A.6 B.7.5 C.8 D.12.5
3.如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB走到山顶B点.已知坡角为 20°，山高 BC=2千米.用科学计算器计算小路AB 的长度，下列按键顺序正确的是( )
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若 ,则AC的长为( )
A. C.3
5.如图所示，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上,则 tanA 的值为( )
C.2
6.如图,已知点 A 的坐标为(5,0),直线 y=x+b(b>0)与y轴交于点B,连接AB,α=75°,则b的值为( )
A.3 C.4
7.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 D在AC上,∠DBC=∠A.若 则BD的长为( )
A. B. C. D.4
8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC:BC=1:2,连接AC,过点O作OP∥AB 交AC 的延长线于 P.若P(1,1),则 tan∠OAP 的值是( )
B. / C. D.3
9.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面 CD 的坡度i=1:0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面 CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB 的高度约为( )(参考数据: 1.60)
A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米
10.规定:sin(-x)=-sinx, cos(-x)=cosx, cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny.给出以下四个结论:①sin(-30°)=- ;②cos2x=cos x-sin x;③cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny;( 其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则cosA 的值是 .
12.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:1:2,则其各角所对边长之比等于 .
13.如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为 m.(参考数据：
14.如图为两个边长为 1的正方形组成的2×1格点图，点A，B，C,D 都在格点上,AB,CD 交于点 P,则 tan∠BPD= .
15.如图,在△ABC 中, 则AC 的长为 .
16.如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部D处的俯角是 已知甲楼的高 AB 是120m,则乙楼的高 CD是 m.(结果保留根号)
17.如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，宽为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡 BC的坡度i=1:5,则AC 的长度是 cm.
18.四边形 ABCD 中,BD 是对角线,∠ABC= 则 CD= .
三、解答题(共66分)
19.(8分)计算:
20.(10分)如图,定义:在 中，锐角α的邻边与对边的比叫作角α的余切，记作 cotα，即根据上述角的余切定义，解答下列问题.
(2)已知 其中∠A 为锐角,试求 cotA 的值.
21.(12分)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救信息，已知此时救助船 B在A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船A 的北偏西 方向上，在救助船 B 的西南方向(南偏西 上，且事故渔船 P 与救助船A 相距120海里.
(1)求收到求救信息时，事故渔船P 与救助船B之间的距离.
(2)若救助船A，B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.
22.(10分)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A 处驶来，已知 ，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童 (结果保留整数，参考数据:
23.(12分)为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅 GF.如图，已知楼顶到地面的距离GE 为18.5米，当小亮站在楼前点 B 处，在点 B 正上方点A 处测得条幅顶端G 的仰角为 然后向教学楼方向前行 15 米到达点 D 处(楼底部点 E 与点B，D在一条直线上)，在点 D 正上方点C处测得条幅底端F 的仰角为 ,若AB,CD均为 1.7米(即四边形 ABDC为矩形)，请你帮助小亮计算：
(1)当小亮站在 B 处时离教学楼的距离BE.
(2)条幅GF 的长度.
(结果精确到 0.1m，参考数据：
24.(14分)如图,在坡度 的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小聪在坡脚 C 测得塔顶 A 的仰角为 然后他沿坡面CB行走 13米到达 D处，在D 处测得塔顶A 的仰角为 点A,B,C,D均在同一平面内.
(1)求D处的竖直高度.
(2)求基站塔AB 的高.
(结果保留整数，参考数据：
第二十八章素养评估卷
1. B 2. A 3. A 4. C 5. A 6. B
7. C [解析]∵ ∴BC=√AB -AC =3.∵∠DBC=∠A,∴cos∠DBC=
8. C [解析]如图,过点 P 作PQ⊥x 轴于点Q,∵OP∥AB,∴∠CAB=∠CPO,∠ABC=∠COP,∴△OCP∽△BCA,∴CP:AC=OC: BC=1 : 2.∵∠AOC=∠AQP=90°,∴CO∥PQ,∴OQ∶AO=CP∶AC=1∶2.∵P(1,1),∴PQ =2 = 故选C.=OQ=1,∴AO=2,∴tan∠OAP=P .
9. B
10. C [解析] 故此结论正确； 故此结论正确;③cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)—sinxsin(—y)=cosxcosy+sinxsiny,故此结论正确;④cos15° 故此结论错误.所以正确的结论有3个.
11. 12.2:1: 13.8.1
14.3 [解析]如图,连接 BE 交CD于点O,∵四边形 BCED 是边长为1的正方形,∴BE⊥CD,OB=OC=OD=OE= ×1= ,∵BC∥AD,∴△BCP∽△ADP,∴≌=BC= , 在Rt△BOP 中 故答案为 3.
15.2 16.40 17.210
18.17或 [解析]当∠ADB 为锐角时,作 AH⊥BD于点H,CG⊥BD于点(G. 设 AH=3x,则BH=4x,由勾股定理,得 解得x=4,则 AH = 12,BH = 16. 在 Rt△AHD 中,HD =√AD -AH =5,∴BD=BH+HD=21.∵∠ABD+∠CBD=90°,∠BCG+∠CBD=90°,∴∠ABD=∠BCG, 又∵BC=10,∴BG=6,CG=8,∴DG=BD- 同理，当∠ADB 为钝角时,BD=BH-HD=11,DG=BD-BG=5, 综上所述，CD的长为 17 或
19.0
20.解:(1) (2)在 Rt△ABC 中, 设
21.解:(1)作 PC⊥AB 于点C,则∠PCA=∠PCB=90°,由题意,得 PA=120海里,∠A=30°,∠B=45°,∴PC= PA=60海里,△BCP 是等腰直角三角形,∴BC=PC=60 海里, 海里.答：收到求救信息时，事故渔船P与救助船 B之间的距离为 60 海里. (2)∵PA=120海里, 海里，救助船A，B分别以40海里/时、30海里/时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为 (小时)，救助船B所用的时间为 小时). 救助船B先到达.
22.解: 在 Rt△COM 中,CM = 3 m,CO = 5 m, ∴OM =√CO -CM =4m . ∵∠CMO=∠BDO=90°,∠COM=∠BOD,∴△COM∽△BOD,∴CMD=0ND,即 ∴BD= =2.25(m), ∴tan∠AOD=tan70°=40 ,即 解得 AB≈6m,∴汽车从 A处前行约6米才能发现C处的儿童.
23.解:(1)延长AC交 EG 于H,则AB=CD=EH=1.7米,AC=BD,AH=BE,∵GE=18.5米,∴HG=EG-HE=18.5-1.7=16.8(米),在 Rt△AGH 中, GH= +. H≈0.75,∴CH≈7.4,∴BE=AH=15+7.4=22.4(米),答:小亮站在 B处时离教学楼的距离BE 为22.4米.
(2)由(1)知 CH≈7.4米,在 Rt△FCH 中,∵∠FCH=42°, FH=16.8—6.66≈10.1(米),答:条幅GF 的长度约为10.1米.
24.解:(1)如图,过点C,D分别作AB 的垂线,分别交 AB 的延长线于点F,E,过点 D作DM⊥CF 于点M.∵斜坡CB 的坡度为 设 DM=5k米,则CM=12k米.在 Rt△CDM中,CD=13米,由勾股定理,得 即 解得 k=1(负值舍去),∴DM=5米,CM=12米,∴D处的竖直高度为5米.
(2)∵CF⊥AB,DE⊥AB,DM⊥CF,∴四边形 DEFM 是矩形,∴EF=DM=5米,DE=MF.∵斜坡 CB 的坡度为i=1:2.4,设 DE = 12a 米,则 BE = 5a 米,MF = 12a 米. 是等腰直角三角形,∴AF=CF=CM+MF=(12+12a)米,∴AE=AF-EF=12+12a-5=(7+12a)米.在 Rt△ADE 中,DE=12a米,AE=(7+12α)米, 解得 ∴DE=12a=21米,AE=7+12a=28米, 米,∴AB=AE 米),∴基站塔AB 的高约为 19米.
