2023-2024学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步测试题（附答案）
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosB的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1+，AC＝2，则∠C＝（ ）
A．45° B．75° C．90° D．105°
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝6，点D在AB上，连接CD，若tan∠DCB＝，则BD＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2
4．如图，在△ABC中，，，，则△ABC的面积为（ ）
A．7 B． C．12 D．14
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，若AB＝8，AD＝5，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共9小题，满分36分）
8．已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sinB＝，那么∠C＝ 度．
9．如图，正方形网格中，每个正方形边长都相等，A、O、B在如图的格点上，则sin∠AOB＝ ．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，作∠CAD＝∠B交边BC于点D．若tanB＝，则cos∠ADC的值为 ．
11．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝12，S△BCE＝24，则tanC＝ ．
12．如图，四边形ABCD中，点E是CD上一点（不与C，D重合），∠EBC+∠AED＝∠BEC，，，BC＝13，则线段BE的长为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，连接BD和DC，，则线段BC的长为 ．
14．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值为 ．
15．如图，在△ABD中，∠A＝90°，若BE＝mAC，CD＝mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为 ．
16．如图，在边长为7的等边△ABC中，D、E分别在边AC、BC上，AD＝2CD，CE＝2BE，连结AE、BD交于点P，则CP的长为 ．
三．解答题（共5小题，满分56分）
17．如图．已知△ABC中，．
（1）求AC的长；
（2）设AC边上的高线BD，交边AC于点D，求BD的长．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE为△ACD边上的中线．
（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度数；
（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求点A到BC的距离．
19．如图1，是护眼灯的实物图，图2是它的侧面示意图，其中CD长为，BC长为12cm．∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）点D到BC的距离为 ；
（2）求点D到AB的距离．
20．如图，在△ABC中，，边长为3的正方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，当点E与点C重合时运动停止．设点B运动时间为t（t＞0），正方形DEFG与△ABC的重叠面积为S．
（1）求AB的长；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝，点D、E分别在边AB、BC上，满足∠CDE＝∠B．点F是DE延长线上一点，且∠ECF＝∠ACD．
（1）当点D是AB的中点时，求tan∠BCD的值；
（2）如果AD＝3，求的值；
（3）如果△BDE是等腰三角形，求CF的长．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分28分）
1．解：A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴cosB＝，
故A不符合题意；
B．在Rt△DBC中，cosB＝，故B不符合题意；
C．在Rt△DBC中，cos∠BCD＝，
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，
∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠，
故C符合题意；
D．在Rt△ABC中，cosB＝，故D不符合题意；
故选：C．
2．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°．
∵sinA＝，cosA＝，
∴CD＝sin60°×2＝，
AD＝cos60°×2＝1．
∴BD＝AB﹣AD＝1+﹣1＝．
在Rt△BCD中，
∵CD＝BD，
∴∠BCD＝45°．
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°．
故选：B．
3．解：∵∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝AC＝3，
在Rt△BCD中，tan∠DCB＝，
∴BD＝BC tan∠DCB＝3×＝2，
故选：A．
4．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
∵，
∴，
∴设CD＝x，则AD＝2x，
∵AD2+CD2＝AC2，
∴，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴AD＝4，CD＝2，
在Rt△BCD中，
∵，
∴BD＝3，
∴AB＝AD+BD＝7，
∴，故A正确．
故选：A．
5．解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴BC＝2AD＝10．
∵AB＝8，
∴AC＝＝6．
∴sinB＝＝＝．
故选：C．
6．解：如图，取格点K，连接AK，BK．
观察图形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，
∴∠AED＝∠ABK，
∴tan∠AED＝tan∠ABK＝＝，
故选：B．
7．解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
二．填空题（共9小题，满分36分）
8．解：过A作AD⊥BC，则∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AD＝4，
由勾股定理得：BD＝＝＝3，
∵BC＝7，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD＝45°，
故答案为：45．
9．解：如图，过点B作BC⊥OA，垂足为C，
∵S△AOB＝S正方形XYBZ﹣S△AOX﹣S△ABY﹣S△BOZ，
∴OA BC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3，
即 BC＝9﹣1﹣﹣3，
∴BC＝，
在Rt△BOZ中，OB＝＝，
在Rt△BOC中，
sin∠AOB＝＝×＝，
故答案为：．
10．解：∵，
∴，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，
∴，
∵∠C＝90°，
∴，
故答案为：．
11．解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BD＝DC＝6，
∵S△EBC＝×BC×DE＝24，
∴DE＝4，
∴tanC＝＝＝，
故答案为．
12．解：延长AE与BC的延长线交于F，过C作CG⊥EF于G，过E作∠CEH＝∠CEF，CH交BC于H，过C作CK⊥EH于K，过E作ETLBC于T，如图所示：
∵∠AED＝∠CEF，
∵tan∠AED＝，
∴tan∠CEF＝，
在Rt△CEG中，tan∠CEF＝＝，
∴设CG＝4x，EG＝7x（x＞0），
在Rt△CEG中，CG＝4x，EG＝7x，CE＝√65，
由勾股定理得：CE2＝CG2+EG2，
即：（）2＝（4x）2+（7x）2，
解得：x＝1，舍去负值，
∴CG＝4x＝4，EG＝7x＝7，
∵∠CEH＝∠CEF，CG⊥EF，CK⊥EH，
∴CK＝CG＝4，EG＝EK＝7，
∵∠EBC+∠AED＝∠BEC，∠BEC＝∠BEH+∠CEH，
∴∠EBC+∠AED＝∠BEH+∠CEH，
又∵∠AED＝∠CEF＝∠CEH，
∴∠EBC＝∠BEH，
∴BH＝EH，
设HK＝a，则EH＝EK+HK＝7+a，
∴BH＝EH＝7+a，
∵BC＝13，
∴HC＝BC﹣BH＝13﹣（7+a）＝6﹣a，
在Rt△CHK中，由勾股定理得：CH2＝CK2+HK2，
即：（6﹣a）2＝42+a2，
解得：a＝，即：HK＝，
∴HC＝6﹣a＝，EH＝7+a＝，
由三角形的面积公式得：S△CEH＝CH ET＝EH CK，
∴CH ET＝EH CK，
即：×ET＝×4，
∴ET＝8，
在Rt△CEF中，ET＝8，CE＝√65，
由勾股定理得：TC＝＝1，
∴BT＝BC﹣TC＝13﹣1＝12，
在Rt△ABT中，BT＝12，ET＝8，
由勾股定理得：BE＝＝．
故答案为：．
13．解：过A点作AF⊥BC 于，延长FA至G，使AG＝CD＝1，连接BG，
∵AB＝AC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，BF＝CF，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，∠BAG+∠BAF＝180°，
∴∠BDC＝∠BAG，
在△BCD和△BGA中，
∴△BCD≌△BGA（SAS），
∴BC＝BG，
在Rt△ABF中，tan∠ABC＝，
∴设BF＝x，则AF＝2x，BG＝BC＝2x，
在Rt△BFG中，BG2＝BF2+FG2，
∴（2x）2＝（x）2+（2x+1）2，
解得，x＝1，或x＝﹣0.2（舍去），
∴BC＝2，
故答案为：2．
14．解：连接BD，CD，
∵tan∠ACK＝tan∠DCM＝，
∴∠ACK＝∠DCM，
∵∠DCM+∠DCK＝180°，
∴∠ACK+∠DCK＝180°，
∴A、C、D共线，
∵CD2＝BD2＝22+12，BC2＝32+12，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
∵BD＝，AB＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
15．解：过点D作DK⊥AD，使得DK＝mAC．
∵CD＝mAB，DK＝mAC，
∴＝＝m，
∵∠A＝∠CDK＝90°，
∴△CDK∽△BAC，
∴＝＝m，
∵BE＝mAC，DK＝mAC，
∴BE＝DK，
∵BE＝DK，
∴四边形BEDK是平行四边形，
∴DE∥BK，
∴∠EFB＝∠CBK，
设BC＝k则CK＝mk，BK＝ k，
∴cos∠BFE＝cos∠CBK＝＝＝＝．
故答案为：．
16．解：如图，连接DE．取EC的中点J，连接DJ．
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，
∵AD＝2CD，CE＝2BE，
∴EC＝2CD，
∵EJ＝JC，
∴CD＝CJ，
∵∠DCJ＝60°，
∴△DCJ是等边三角形，
∴DJ＝JE＝JC，
∴∠CDE＝90°，
∴DE＝CD＝，
∴AE＝＝＝，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BAE＝∠CBD，
∴∠APD＝∠BAE+∠ABP＝∠CBD+∠ABP＝60°，
∴∠APD＝∠ACE＝60°，
∵∠PAD＝∠CAE，
∴△PAD∽△CAE，
∴＝，
∴＝，
∴△ADE∽△APC，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分56分）
17．解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，
∵，
设AE＝3k，则BE＝4k，
∴AB＝5k，
∵AB＝BC＝5，
∴k＝1，
∴AE＝3，BE＝4，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△AEC中，；
（2）如图所示，
∵BD是AC边上的高，AE是BC边上的高，
∴
∴．
18．解：（1）∵AD⊥BC，DE为AC边上的中线，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴AE＝DE＝CE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EDA＝3∠BAD，
∴∠EAD＝3∠BAD，
∵∠BAC＝90°，
∴3∠BAD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝22.5°，
∴∠C＝22.5°；
（2）由（1）可知：∠EAD＝∠EDA，
∴，
设AD＝x，则CD＝4x，
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴，即，
∴AC＝20，
∴，
∴，
即点A到BC的距离为．
19．解：（1）如图1：过点D作DF⊥BC，垂足为F，
在Rt△CDF中，CD＝4cm，∠C＝45°，
∴DF＝CDsin45°＝4×＝4cm，
∴点D到BC的距离为4cm，
故答案为：4cm；
（2）如图2：过点D作DG⊥AB，垂足为G，连接BD，过点F作FM⊥AB，垂足为M，过点D作DN⊥FM，垂足为N，
∵∠CFD＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝DF＝4cm，
∵BC＝12cm，
∴BF＝BC﹣CF＝12﹣4＝8cm，
Rt△CDF中，CD＝4cm，
在Rt△FMB中，FM＝BFsin60°＝8×＝4cm，
∵∠FMB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BFM＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴∠DFM＝∠DFB﹣∠BFM＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△FDN中，FN＝FDcos60°＝4×＝2cm，
∴MN＝FM﹣FN＝（4﹣2）cm，
∵∠DGB＝∠FMG＝∠DNM＝90°，
∴四边形DNMG是矩形，
∴DG＝MN＝（4﹣2）cm，
∴点D到AB的距离为（4﹣2）cm．
20．解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵，
设AH＝3x，CH＝4x，
在Rt△ACH中，根据勾股定理得（3x）2+（4x）2＝25，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AH＝3，CH＝4，
∴BH＝BC﹣CH＝1，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得AB＝＝；
（2）在正方形DEFG中，∠EFG＝∠G＝90°，GB＝DG＝DE＝EF＝3，
∵方形DEFG从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，
∴BF＝t，
当0＜t≤1时，如图所示：
∵∠IFB＝∠AHB，∠IBF＝∠ABH，
∴△IFB∽△AHB，
∴BF：BH＝IF：AH，
∴IF＝3t，
∴S＝＝；
当1＜t≤3时，如图所示：
∵BF＝t，
∴CF＝5﹣t，
∵tanC＝，
∴IF＝，
∴S＝S△ABC﹣S△IFC
＝
＝；
当3＜t≤4时，如图所示：
∵BE＝t﹣3，CF＝5﹣t，
∴IE＝3（t﹣3），FK＝（5﹣t），
∴S＝S△ABC﹣S△BEI﹣S△KFC
＝
＝；
当4＜t≤5时，如图所示：
∵BF＝t，
∴CF＝5﹣t，CE＝8﹣t，
∵tanC＝，
∴FK＝，IE＝，
∴S＝×3×[+]
＝；
当5＜t≤8时，如图所示：
∵CE＝8﹣t，
∴IE＝（8﹣t），
∴S＝＝，
综上所述，当0＜t≤1时，S＝；
当1＜t≤3时，S＝；
当3＜t≤4时，S＝；
当4＜t≤5时，S＝；
当5＜t≤8时，S＝．
21．解：（1）过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，如图，
∵AB＝AC＝10，
∴BG＝GC，
∵sinB＝，sinB＝，
∴AG＝6．
∴BG＝＝＝8．
∴CG＝BG＝8．
∵AG⊥BC，DH⊥BC，
∴AG∥DH，
∵D是AB的中点，
∴DH是△ABG的中位线，
∴DH＝HG＝BG＝4，DH＝AG＝3，
∴CH＝CG+GH＝12．
在Rt△CDH中，
tan∠BCD＝；
（2）∵∠ECF＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠DCF．
∵∠B＝∠CDE，
∴△ABC∽△FCD，
∴∠BAC＝∠F．
∵AB＝AC，
∴FD＝FC．
∵∠BAC＝∠F，∠ACD＝∠FCE，
∴△ACD∽△FCE，
∴．
∵AB＝10，AD＝3，
∴，
∵DE+EF＝FC，
∴；
（3）如果△BDE是等腰三角形，
①当BD＝DE时，
则∠B＝∠DEB．
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠DEB，
∴CD∥BC，这与已知条件不符，
∴此种情况不存在；
②当ED＝BE时，
则∠B＝∠EDB，
∵∠CDE＝∠B，
∴∠CDB＝2∠B，
∴∠CDA＝180°﹣2∠B，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣2∠B，
∴∠A＝∠CDA，
∵∠A为钝角，
∴此种情况不存在；
③当BD＝BE时，
过点E作EK⊥AB于点K，如图，
由题意得：sinB＝，
∴，
∴EK＝BE＝BD，
∴BK＝BD，
∴DK＝BD．
∴DE＝＝BD．
∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
∴，
∴CD＝．
由（1）知：△ABC∽△FCD，
∴，
∴．
∴CF＝2．
