2023-2024 学年度九年级上册数学期中考试卷
总分 120 分 考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题（每小题 3 分，共 30 分）
1．将一元二次方程5x2 1 4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．5、 4 B． 1、 4 C．5、 1 D．5x2、 4x
2．若点 ( 2, 12)在二次函数 y ax2的图象上，则 a的值为（ ）
A． 6 B．6 C． 3 D．3
3．用配方法解方程 x2 2x 5 0 时，原方程应变形为（ ）
A x 1 2． 6 B x 2 2． 9 C 2 2． x 1 6 D． x 2 9
2
4．若函数 y m 1 xm 1 2x 1是二次函数，则 m的值为（ ）
A．1 B． 1 C． 1 D． 2
5．根据下列表格的对应值：判断方程 x2 x 1 0一个解的取值范围是（ ）
x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63
x2 x 1 ﹣0.061 ﹣0.04 ﹣0.018 0.0044 0.027
A．0.59 x 0.60 B．0.60 x 0.61
C．0.61 x 0.62 D． 0.62 x 0.63
6 2．已知二次函数 y1 ax bx c与一次函数 y2 kx m的图象相交于点 A 2,4 ，B 8,2 （如
图所示），则能使 y1 y2 成立的 x的取值范围是（ ）
（第 6 题） （第 10 题）
A． x< 2 B． x 2 或 x 8 C． x< 2或 x 8 D． 2 x 8
7．在平面直角坐标系中，将点 P 4，3 绕着原点 O 顺时针旋转90 到P ， 则点P 的坐标
为（ ）
答案第 1页，共 20页
{#{QQABIYAAogiIQAAAAAhCQw2QCACQkAACCAoOgBAEMAIBwQFABAA=}#}
A． 3，4 B． 4，3 C． 3，4 D． 4，3
8 2．已知 a为正实数，x ，x 是方程 x 2 ax a 0 的两个根，则 x1 1 x22 11 2 ( )
A．2a 1 B．2a 1 C． 2a 1 D． 2a 1
9 2．对于二次函数 y kx k k 0 ，下列说法不一定正确的是（ ）
A．函数的图象经过点 1,0 B．当 x 0 时， y随 x的增大而减小
C．函数图象的对称轴是 y轴 D．函数图象的顶点坐标是 0, k
10．二次函数 y ax2 bx c图象的称轴为直线 x 1，共图象如图所示，现有下列结论：
①abc 0；②b 2a 0；③ 4a 2b c 0 ；④a b m am b ；⑤ 2c 3b．其中正确的结
论有（ ）个
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 4 分，共 28 分）
11．已知抛物线 y a 1 x2 1的开口方向向下，则 a的取值范围为 ．
12．已知 m是方程 x2 2x 2023 0的一个根，则代数式m2 2m的值等于 ．
13．如图，在 ABC中， BAC 60 ，将 ABC绕着点A 顺时针旋转40 后得到VADE，则
DAC等于 ．
（第 13 题） （第 17 题）
14．关于 x的方程 kx2 3x 1 0有两个实数根，则 k的取值范围是 ．
15．二次函数 y x2 4x 7 ，当 1 x 4时，y的取值范围为 ．
16．已知抛物线 y ax 2 2ax 3（ a 0）， A 1, y1 ，B 2, y2 ，C 4, y3 是抛物线上三点，
则 y1， y2， y3 由小到大序排列是 ．
17．如图，二次函数 y ax2 bx c的图象过点 1,0 ，对称轴直线 x 1．有以下结论：
答案第 2页，共 20页
{#{QQABIYAAogiIQAAAAAhCQw2QCACQkAACCAoOgBAEMAIBwQFABAA=}#}
①abc 0；②9a 3b c 0；③点 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，在抛物线上，当 x1 x2 时，有 y1 y2 ，
则 x1 x2 2；④若有且只有 3 个小于 0 的整数 t，使得方程 ax2 bx c t有实数根，则
3
a 1，其中正确的是 （填序号）．
4
三、解答题（6+6+6+8+8+8+10+10）
18．解方程：
(1) x2 3x 1 0； (2)3x x 1 2 x 1
19．已知二次函数 y x2 bx c的图象经过点 A 0，1 和点 B 2， 1 ．求 b，c的值．
20．如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y x2 2x 3与 x轴交于点 A，B，与 y轴交
于点 C．
(1)求顶点 D的坐标；(2)求 ABC的面积．
21．致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长 25 米），另外三边用长
40 米的木栏围成．
(1)设垂直于墙的边长为 x米，则平行于墙的边长为_______米；
(2)怎样围才能使得养猪场的面积为 150 平方米？
22．已知关于 x的二次函数 y mx2 (m 2)x 2(m 0) ．
(1)求证：此抛物线与 x轴总有交点；
(2)若此抛物线与 x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求 m的值．
答案第 3页，共 20页
{#{QQABIYAAogiIQAAAAAhCQw2QCACQkAACCAoOgBAEMAIBwQFABAA=}#}
23．已知一条抛物线上部分点的横坐标 x与纵坐标 y的对应值如下表：
x … 1 0 1 2 3 …
y … 0 3 k 3 0 …
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求 k的值；
(3)这个抛物线经过两点 2,n 和 m,n ，求 m的值．
24．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60元/件，在大规模上市前，为了摸清
款式受欢迎状况以及日销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，
部分信息如表：
销售价格 x元/件 80 90 100 110
日销售量 y（件） 240 220 200 180
(1)若 y与 x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式________ _（不用写
自变量 x的取值范围）；
(2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应
该如何定价，才能使每天获利最大？最大利润是多少？（利润用W表示）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ax2 bx c(a 0)经过 A( 1,0)，B(3,0) ，C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式
(2)若 N是抛物线对称轴上一动点，请写出使 NCA周长最小的 N点的坐标为__________．
(3)点 N在抛物线的对称轴上，点M 在 x轴上，请求出能使得以M ，N，C，B为顶点的四
边形是平行四边形的点M 的坐标．
答案第 4页，共 20页
{#{QQABIYAAogiIQAAAAAhCQw2QCACQkAACCAoOgBAEMAIBwQFABAA=}#}2023-2024学年度九年级上册数学期中考试卷
总分120分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．5、 B． C．5、 D．
2．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
3．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ）
x 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63
﹣0.061 ﹣0.04 ﹣0.018 0.0044 0.027
A． B．
C． D．
4．抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A．B． C．D．
5．若函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，（如图所示），则能使成立的x的取值范围是（ ）
（第10题）
A． B．或 C．或 D．
7．在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知为正实数，，是方程的两个根，则( )
A． B． C． D．
9．对于二次函数，下列说法不一定正确的是（ ）
A．函数的图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．函数图象的对称轴是轴 D．函数图象的顶点坐标是
10．二次函数图象的称轴为直线，共图象如图所示，现有下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．已知抛物线的开口方向向下，则a的取值范围为．
12．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于．
13．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则等于．
（第17题）
14．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是．
15．二次函数，当时，y的取值范围为．
16．已知抛物线（），，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是．
17．如图，二次函数的图象过点，对称轴直线．有以下结论：①；②；③点，，在抛物线上，当时，有，则；④若有且只有3个小于0的整数，使得方程有实数根，则，其中正确的是（填序号）．
三、解答题（6+6+6+8+8+8+10+10）
18．解方程：
(1)；(2)
19．已知二次函数的图象经过点和点．求b，c的值．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．
(1)求顶点D的坐标；(2)求的面积．
21．致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成．
(1)设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为_______米；
(2)怎样围才能使得养猪场的面积为150平方米？
22．已知关于x的二次函数．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值．
23．已知一条抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 k 0 …
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)求k的值；
(3)这个抛物线经过两点和，求m的值．
24．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为元/件，在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量（件）与销售价格（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：
销售价格元/件
日销售量（件）
(1)若与之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式_________（不用写自变量的取值范围）；
(2)若该公司想每天获利元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
(3)为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？最大利润是多少？（利润用表示）
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若是抛物线对称轴上一动点，请写出使周长最小的点的坐标为__________．
(3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，请求出能使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】化为一般形式，二次项系数、一次项系数为．
【详解】解：原方程变形，得，二次项系数、一次项系数分别为；
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的一般式；理解一元二次方程的一般式是解题的关键．
2．C
【分析】根据配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：由原方程移项，得
，
方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
．
故选：C．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
3．C
【分析】根据表格中的数据可得：在0.61和0.62之间有一个值能使的值为0，于是可判断方程一个解x的取值范围为；
【详解】解：由题意得：
当 时，，
当 时， ，
∴方程一个解x的取值范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据找到最接近0时x的取值范围是解题的关键
4．C
【分析】根据抛物线的平移规则，左加右减，上加下减，即可．
【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握抛物线的平移规则，左加右减，上加下减．
5．B
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴且，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数．
6．C
【分析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵二次函数与一次函数的图象相交于点，，
∴能使成立的x的取值范围是或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图象法解不等式，数形结合是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图所示，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为，
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确根据题意画出旋转后对应点的位置是解题的关键．
8．C
【详解】先根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，
∴
．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
9．B
【分析】根据二次函数图象与性质进行逐一判断即可求解．
【详解】解：A、当时，，结论正确，故不符合题意；
B、无法判断的符号，所以当时，随的增大而减小也可能增大，结论不一定成立，故符合题意；
C、对称轴为直线，即轴，结论正确，故不符合题意；
D、由选项C得，当时，，所以顶点坐标是，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．B
【分析】由开口方向，对称轴及抛物线与y轴的交点先判断a、b、c的符号，由此可判断①；由抛物线的对称轴可得a与b的关系，由此可判断②；由抛物线的对称性可知时，，由此可判断③；由时，y的值最大，可判断④；由时，，可判断⑤．
【详解】∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
由对称轴为，可得，
∴，
，
故①错误．
∵，且，
∴，
故②错误．
由对称轴为，可知时和时的y值相同，
∵时，，
∴时，，
故③错误．
由图知时，y的值最大，
时，
，
，
故④正确．
由图知时，，
，
又，
，
，
，
，
故⑤正确．
综上，正确的有2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对于二次函数，a决定抛物线的开口方向和大小，a、b共同决定抛物线的对称轴，a、b同号时，对称轴在y轴左侧，a、b异号时，对称轴在y轴右侧．c决定抛物线与y轴的交点位置．由抛物线开口方向可判断抛物线有最大值或最小值．熟练掌握二次函数的图像与系数之间的关系是解题的关键．
11．/
【分析】由抛物线的开口方向向下，可得，再解不等式可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴，
解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，熟记抛物线的开口向下，则二次项系数是解本题的关键．
12．2023
【分析】把代入方程，即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴把代入得，，
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把代入方程得出是解题的关键．
13．/度
【分析】根据旋转角可得，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出．
14．且
【分析】根据根的判别式及二次项系数不为零进行判断即可．
【详解】∵方程有两个不等实数根，
∴且，即，解得，
∴实数的取值范围且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，一元二次方程无实数根．
15．/
【分析】先把函数化成顶点式 ，求出二次函数的最小值，再求出当和对应的y值，确定端点值，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，
∴当时，y有最小值，
当时，；
当时，；
∴当时，y的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当和对应的y值是解此题的关键．
16．
【分析】根据抛物线，可以得到该抛物线的对称轴和开口方向，再根据，，是抛物线上三点，即可得到，，的大小关系．
【详解】解：抛物线，，
该抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
，，是抛物线上三点，是抛物线上三点，，，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
17．①②④
【分析】根据抛物线的特征确定、、的范围可判断①，根据对称轴及抛物线与轴的一个交点确定抛物线与轴的另一个交点可判断②，根据对称轴、抛物线的开口方向可得当点、同在抛物线右侧时不成立可判断③，求出抛物线的顶点坐标为，可得，再根据有且只有3个小于0的整数，得到可判断④．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
对称轴在轴右侧，
，
抛物线与轴交于负半轴，
，
，故①正确，
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
代入抛物线得：，故②正确，
当时有，且抛物线开口向上，对称轴为直线，
若点和点同在对称轴的右侧，则定有，故③错误，
，
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为，
，
有且只有3个小于0的整数，
、、，
，
，故④正确，
故选：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用公式法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：原方程可化为：
【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
19．，
【分析】把点和点分别代入，即可作答
【详解】解：由题意知，把点和点分别代入，
得，
解得，
所以b，c的值分别为和．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的b，c的值，难度较小．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，再根据顶点式可得顶点坐标；
（2）先求解A，B，C的坐标，再求解三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点D坐标为；
（2）令，则，
∴，
令，则，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查的是把抛物线化为顶点式，抛物线与纵坐标的交点坐标，坐标与图形面积，掌握以上基础知识是解本题的关键．
21．(1)
(2)垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米．
【分析】（1）根据木栏长求解即可；
（2）结合（1）可求出养猪场的面积为，从而得出方程，解之，再求出x的取值范围，即可得出答案．
【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为x米，即米，
∴平行于墙的边长为米．
故答案为：；
（2）解：由（1）可得养猪场的面积为，
又∵养猪场的面积为150平方米，
∴，
解得：，．
∵，
∴，
∴．
∴垂直于墙的边长为15米，平行于墙的边长为10米．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，列出方程是解题关键．
22．(1)见解析
(2)1
【分析】（1）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后求出方程中判别式的值，即可证明结论；
（2）令，使得二次函数变为一元二次方程，然后对方程分解因式，又因此二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标都是整数，从而可以求得符合要求的正整数m的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∴此抛物线与x轴总有交点；
（2）解：令，则，
所以或，
解得，，
因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数
所以m为1．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点和解一元一次方程，解决本题的关键是设出两交点的坐标．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，将代入求出a，即可得到解析式；
（2）把代入解析式即可；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性得到，即可求出m的值．
【详解】（1）解：设，将代入，
得，解得，
∴抛物线解析式为，
即；
（2）把代入，得，
∴；
（3）∵图象经过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵二次函数的图象经过点和两点，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，已知自变量的值求函数值，正确掌握待定系数法是解题的关键．
24．(1)
(2)元
(3)当一件衣服定为元时，才能使每天获利最大
【分析】（1）设与函数关系式为，根据信息表将、和、分别代入解析式，得到关于与二元一次方程组，求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据总利润＝一件衣服的纯利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最值．
【详解】（1）解：设与函数关系式为，
则，
解得，
∴与之间的函数关系式为，
故答案为：；
（2）根据题意得：，
解得：，，
∵公司尽可能多让利给顾客，
∴应定价元；
（3）根据题意得：
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当一件衣服定为元时，才能使每天获利最大．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法确定函数解析式，一元二次方程的应用．解题的关键是根据等量关系列出函数解析式．
25．(1)
(2)
(3)或或
(4)当时，点到直线距离最大
【分析】（1）利用待定系数法解抛物线解析式即可；
（2）首先确定该抛物线对称轴为，因为点，关于直线对称，故有，结合的周长，可得当点共线时，的周长最小；利用待定系数法解得直线的解析式，令，求解即可获得答案；
（3）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则可分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可；
（4）连接，过点作轴交于点，设点到的距离为，易知，故当面积最大时，的值最大，设点坐标为，点坐标为，易得，可求得，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．
【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为，
将点，，代入，
可得，解得，
∴该抛物线的解析式为．
故答案为：；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，
∴其对称轴为，
如下图，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴的周长，
∴当点共线时，的周长最小，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴线的解析式为，
令，则有，
∴点．
故答案为：；
（3）设点，
若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
①当为对角线时，如下图，
此时，
∴点的纵坐标，即点，
∴，
则，即，
解得，
∴；
②当为对角线时，如下图，
此时，即，
解得，
∴；
③当为对角线时，如下图，
此时可有，即，
解得，
∴．
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或；
（4）如下图，连接，过点作轴交于点，
设点到的距离为，
则，
∴当面积最大时，的值最大，
由（1）可知，直线的函数解析式为，
设点坐标为，点坐标为，
∴，
∴，
∴当时，最大，
即当时，点到直线距离最大．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数和一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．
