2023-2024学年重庆市九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案
所对应的方框涂黑.
1．（4分）﹣3的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
2．（4分）下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）我国年水资源总量约为 27500亿立方米，27500用科学记数法表示为（ ）
A．0.275×105 B．2.75×104 C．2.75×105 D．27.5×103
4．（4分）抛物线 y＝3（x﹣7）2+6的顶点坐标为（ ）
A．（﹣7，6） B．（7，6） C．（3，﹣7） D．（3，6）
5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点 O是它们的位似中心，则△DEF与△ABC的面
积之比是（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
6．（4分）如图，已知 AE∥BC，∠BAC＝100°，则∠C＝（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．（4分）估计（2 ）× 的值应在（ ）
A．4和 5之间 B．5和 6之间 C．6和 7之间 D．7和 8之间
8．（4分）下列图案都是由若干个棋子按一定规律摆放而成，第 1个图案中有 8颗棋子，第
2个图案中有 14颗棋子，…，依此规律，第 7个图中棋子的个数为（ ）
A．44 B．50 C．56 D．57
9．（4分）如图，正方形 ABCD中，点 M、N、P分别在 AB、CD、BD上，MN经过对角线
BD的中点 O，若∠PMN＝α（ ）
A．2α B．45°+α C．90﹣ D．135°﹣α
10．（4分）在多项式 a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小
括号后仍只有减法运算，称此为“有效操作”，例如：a﹣（b﹣c），（a﹣b）﹣c﹣（d﹣e）
﹣f＝a﹣b﹣c﹣d+e﹣f，…
①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为 0；
③所有的“有效操作”共有 8种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡对应的横线上.
11．（4分）计算：20230+ ﹣（﹣ ） 1＝ ．
12．（4分）若正多边形的一个外角是 40°，则这个正多边形的边数是 ．
13．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，则 sinA的值为 ．
14．（4分）已知抛物线 y＝x2+（m﹣2）x﹣（m+3）的对称轴是 y轴 ．
15．（4 分）某种商品原来每件售价为 200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为
128元，根据题意，可列方程为 ．
16．（4 分）如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，AH⊥BD 于点 H，若
．
17．（ 4 分）若关于 x 的方程 有正整数解，且关于 x 的不等式组
，则符合条件的所有整数 a的和为 ．
18．（4分）对于一个四位自然数 N，若它的千位数字比个位数字多 2，百位数字与十位数字
的和为 9，∵7﹣5＝2，3+6＝9；四位数 8476，4+≠9，则最小的“长久数”为 ；
一个“长久数”N的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，记 F（N）＝3（a﹣c+7）
+（b+d），K（N），G（N）＝ ，若 G（N）能被 6整除（N）取最大值时，“长久数”
N为 ．
三、解答题：（本大题 8 个小题，第 19题 8 分，其余每题各 10 分，共 78 分）解答时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书
写在答题卡中对应的位置上.
19．（8分）计算：
（1）（m+n）2﹣m（m﹣2n）；
（2）（ ） ．
20．（10分）如图，四边形 ABCD为矩形．
（1）用尺规完成以下基本作图：在 BC边上取点 E，使得 AE＝AD，连接 AE，垂足为点
F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）
（2）小林判断 DF＝CD．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明平行线和角相等，
从而可证全等，得到 DF＝CD．请根据小林的思路完成下面的填空：
已知：如图，四边形 ABCD为矩形，AE＝AD
求证：DF＝CD．
证明：∵四边形 ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°，AD∥BC．
∴ ，
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
∴ ，
∵ ，
由①、②、③，∴△ABE≌△DFA．
∴AB＝DF．
∵ ，
∴DF＝CD．
21．（10 分）每年的 4 月 15日是我国全民国家安全教育日．某校组织了“国家安全法”知
识问答活动，问答活动共 10道题．现从该校七、八年级中各随机抽取 10名学生的答题
正确数（道）进行整理、描述和分析如下：
七年级：1，2，3，5，5，5，7，7，9，10．
八年级的 10名学生答题正确数在“5～6道”中的数据是：5，6，6，6．
七、八年级抽取学生答题正确数统计表
班级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 5.4 5 a 7.64
八年级 5.4 b 6 5.04
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中 a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中，哪个年级的学生掌握“国家安全法”知
识较好？请说明理
由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有 900名学生参加了此次知识问答活动，八年级有 800名学生参加了此
次知识问答活动，估计七、八两个年级答题正确数不少于 7道的学生一共有多少人？
22．（10 分）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进 A、B两款文创纪念品，已知 A、B
两款纪念品的进价分别为 30元/个、25元/个．
（1）网店第一次用 1400元购进 A、B两款纪念品共 50个，求 A款纪念品购进的个数；
（2）大运会临近结束时，网店打算把 A款纪念品降价 20%销售，则降价后销售 A款纪
念品要获得销售额 800元，求 A款纪念品降价以前的售价．
23．（10分）如图 1，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．动点 E以每秒 1 个单位长度的速度
从点 C出发向点 B运动．到达点 B后，又以每秒 2个单位长度的速度返回点 C．点 E回
到点 C时停止运动．连接 AE，△ACE的面积为 y．
（1）请直接写出 y关于 t的函数表达式并注明自变量 t的取值范围；
（2）在给定的如图 2平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，写出△ACE的面积为 3时 t的值．
24．（10分）湖中小岛上码头 C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面 B点处的快艇和
湖岸 A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C接该游客，
再沿 CA方向行驶，A在 C的北偏西 60°方向，B在 A的南偏东 45°方向 1800米处．
（1）求湖岸 A与码头 C的距离（结果可含根号）；
（2）救援船的平均速度为 180米/分，快艇的平均速度为 420米/分，在接到通知后（接
送游客上下船的时间忽略不计）
（参考数据： ， ≈1.73，
25．（10分）如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过点 A（4，0），B（0，4），点 P是直线 AB上
的动点，过点 P作 y轴的垂线交抛物线于点 Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 P在第一象限，连接 AQ、BQ．当线段 PQ最长时，求△ABQ的面积；
（3）已知点 R（3，r）在直线 AB上，点 M在抛物线上，在满足（2）的条件下，使以
点 Q、R、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点 M的
坐标；若不存在，请说明理由．
26．（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，△AEF中，∠EAF＝90°，连接 BE．
（1）如图 1，当 AE平分∠BAC时，EF与 AB交于点 D，若 ；
（2）如图 2，当 AE⊥BE时，连接 CF，并证明你的猜想；
（3）如图 3，AN⊥BC于点 N，取 BE的中点 M ，在旋转过程中，当线段 CM最
大时
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）在每个小题的下面，都给出了代
号为 A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案
所对应的方框涂黑.
1．【分析】根据相反数的概念解答求解．
【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键．
2．【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重
合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
3．【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
【解答】解：27500＝2.75×104．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n，1≤|a|＜10，
n为整数是解题的关键．
4．【分析】根据顶点式解析式即可解答．
【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣7）5+6的顶点坐标是（7，6）．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的性质，关键掌握顶点式解析式的组成特点：y＝a（x﹣h）
2+k中顶点坐标为（h，k）．
5．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根
据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ＝ ＝1：2，
∴△DEF与△ABC的面积之比是 4：1，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比
等于相似比的平方是解题的关键．
6．【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行
线的性质即可得解．
【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，
∴∠DAC＝80°，
∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，
∴∠CAE＝30°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠CAE＝30°，
故选：C．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
7．【分析】先将原式计算后再进行估算即可．
【解答】解：原式＝2+ ，
∵5＜7＜9，
∴4＜ ＜3，
∴6＜2+ ＜2，
即原式的值在 4和 5之间，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的运算是解题的关
键．
8．【分析】观察发现：每增加一个图案增加 7颗棋子，用这一规律写出答案即可．
【解答】解：观察发现：
第 1个图形有 1+8×1＝8颗棋子；
第 6个图形有 1+7×7＝15颗棋子；
第 3个图形有 1+3×3＝22颗棋子；
第 4个图形有 8+7×4＝29颗棋子；
，
第 7个图形有 1+7×3＝50颗棋子；
故选：B．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现
规律，难度不大．
9．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠MPO
＝α，利用三角形的外角即可求得．
【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠ABD＝45°，
在 Rt△PMN中，∠MPN＝90°，
∵O为 MN的中点，
∴OP＝ MN＝OM，
∵∠PMN＝α，
∴∠MPO＝α，
∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝α+45°，
故选：B．
【点评】本题以正方形为背景，考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再进
行导角转化，发现 OP＝OM是解题的关键．
10．【分析】根据题意，理解新概念的意思，逐一分析判断即可解答．
【解答】解：根据题意，有（a﹣b）﹣c﹣d﹣e﹣f＝a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f，使其运算果与原
多项式相等；
根据题意，无法通过有效操作得到﹣a和 b与原式中的 a和﹣b 抵消；
第一种：结果与原式相同；
第二种：a﹣（b﹣c）﹣d﹣e﹣f＝a﹣b+c﹣d﹣e﹣f；
第三种：a﹣（b﹣c）﹣（d﹣e）﹣f＝a﹣b+c﹣d+e﹣f：
第四种：a﹣b﹣（c﹣d）﹣e﹣f＝a﹣b﹣c+d﹣e﹣f；
第五种：a﹣b﹣（c﹣d）﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c+d﹣e+f；
第六种：a﹣b﹣c﹣（d﹣e）﹣f＝a﹣b﹣c﹣d+e﹣f；
第七种：a﹣b﹣c﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c﹣d﹣e+f；
第八种：a﹣（b﹣c）﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b+c﹣d﹣e+f；
第九种：（a﹣b）﹣（c﹣d）﹣e﹣f＝a﹣b﹣c+d﹣e﹣f；
第十种：（a﹣b）﹣c﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c﹣d﹣e+f．
超过 8种，故③错误．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，理解新概念的定
义．
二、填空题：（本大题 8个小题，每小题 4分，共 32 分）请将每小题的答案直接填在答题
卡对应的横线上.
11．【分析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．
【解答】解：20230+ ﹣（﹣ ） 1
＝1+（﹣2）
＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为 360°，正多边形的每个外角相等即可求出答
案．
【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为 360°，
据此可得 ＝40，
解得 n＝9．
故答案为 9．
【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为
360°，比较简单．
13．【分析】先根据勾股定理求出 BC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，
∴BC＝ ＝ ＝2，
∴sinA＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解
题的关键．
14．【分析】抛物线的对称轴是 y轴，即对称轴是直线 x＝0，由对称轴公式列出方程即可求
出 m．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2+（m﹣2）x﹣（m+6）的对称轴为 y轴，
∴﹣ ＝5，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴公式及及对称轴特点是解
题的关键．
15．【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）
＝100，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 200×（1﹣x）元，
第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为 200（1﹣x）×（8﹣x）
元，
所以可列方程为 200（1﹣x）2＝128．
故答案为：200（5﹣x）2＝128．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
16．【分析】设 AB＝x，则 BC＝3x，利用勾股定理可求出 AC和 OB的长，又 AH⊥OB，利
用锐角三角函数即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵AB⊥AC， ＝ ，
设 AB＝x，则 BC＝5x，
∴AC＝ ＝8 x，
在 ABCD中，OA＝OC，
∴OA＝OC＝ x，
在 Rt△OAB中，根据勾股定理得：
OB＝ ＝ ＝ x，
∵AH⊥BD，
∴∠OAH＝90°﹣∠BAH＝∠ABH，
∴tan∠CAH＝tan∠ABO＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟知锐角三角函
数是解题关键．
17．【分析】分别解方程和不等式，根据题意确定 a的取值范围，列出所有符合条件的 a的
值，求它们的和即可．
【解答】解：方程 的解为 x＝ ，
根据题意，得 ，解得 a＜1．
∵不等式 的解集为﹣5≤x＜ ，
∴﹣8＜ ≤﹣2．
综上：﹣2＜a＜1，a为奇数且 a≠﹣5，
∴a＝﹣4，﹣1．
∵﹣3﹣3＝﹣4，
∴符合条件的所有整数 a的和为﹣4
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，正确求出它们的解是本题的关键．
18．【分析】根据题中“长久数”可求得最小的“长久数”；
根据题意得出 a﹣2＝d，b+c＝9，2≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤7，F（N）＝4（a
﹣c+7），K（N）＝a﹣5，得出 ＝4+ ，当 a＝6，c＝1时，G（N）能被 6整
除，且最大，求出 N值即可．
【解答】解：根据题意可得：最小的“长久数”为 2180，
∵一个“长久数”N的千位数字为 a，百位数字为 b，个位数字为 d，
∴a﹣2＝d，b+c＝9，2≤h≤9，0≤d≤6．
∵F（N）＝3（a﹣c+7）+（b+d）
＝2a﹣3c+21+9﹣c+a﹣6
＝4a﹣4c+28
＝2（a﹣c+7），
K（N）＝d﹣3＝a﹣5﹣3＝a﹣5，
∴G（N）＝ ＝ ＝ ＝4+ ，
∵2≤a≤9，2≤c≤9，
∴当 a＝6，c＝2时，能被 6整除，
此时长久数 N为 6814
故答案为：2180；6814．
【点评】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理
解新定义是解答的关键
三、解答题：（本大题 8 个小题，第 19题 8 分，其余每题各 10 分，共 78 分）解答时每小
题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书
写在答题卡中对应的位置上.
19．【分析】（1）利用乘法法则和乘法公式先算乘法和乘方，再合并同类项；
（2）先计算括号里面，再把除法转化为乘法，最后按分式的乘法法则计算．
【解答】解：（1）（m+n）2﹣m（m﹣2n）
＝m5+2mn+n2﹣m7+2mn
＝4mn+n7；
（2）（ ）
＝ ÷
＝
＝ ．
【点评】本题考查了整式、分式的运算，掌握整式的乘法法则和乘法公式、分式的加减
法、乘除法法则是解决本题的关键．
20．【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△ABE≌△DFA（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵四边形 ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝90°．
∴①∠DAF＝∠AEB，
又∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
∴②∠B＝∠AFD＝90°，
∵③AE＝AD，
由①、②、③，
∴△ABE≌△DFA（AAS）．
∴AB＝DF．
∵AB＝CD，
∴DF＝CD．
故答案为：∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，AB＝CD．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解
题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）根据众数，中位数，百分比的定义判断即可；
（2）利用方差比较即可；
（3）分别求出七年级，八年级不少于 7道的学生的人数，可得结论．
【解答】解：（1）七年级的众数是 5，故 a＝5，
八年级的中位数＝ ＝3.5，
c＝100﹣10﹣30﹣40﹣10＝10．
故答案为：5，5.5；
（2）八年级的学生掌握“国家安全法”知识较好．
理由是：八年级的方差比较小．
（3）900× ＝360（人）．
360+160＝520（人）．
答：估计七、八两个年级答题正确数不少于 3道的学生一共有 520人．
【点评】本题考查方差，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
22．【分析】（1）设网店第一次购进 x个 A款纪念品，则购进（50﹣x）个 B款纪念品，利
用总价＝单价×数量，可列出关于 x的一元一次方程，解之即可求出结论；
（2）设 A款纪念品降价以前的售价为 y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y元，利用数
量＝总价÷单价，结合“降价后销售 A款纪念品要获得销售额 800元，比按照原价销售
要多卖 4个才能获得同样多的销售额”，可列出关于 y的分式方程，解之经检验后，即可
得出结论．
【解答】解：（1）设网店第一次购进 x个 A款纪念品，则购进（50﹣x）个 B款纪念品，
根据题意得：30x+25（50﹣x）＝1400，
解得：x＝30．
答：网店第一次购进 30个 A款纪念品；
（2）设 A款纪念品降价以前的售价为 y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y元，
根据题意得： ﹣ ＝8，
解得：y＝50，
经检验，y＝50是所列方程的解．
答：A款纪念品降价以前的售价为 50元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找
准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
23．【分析】（1）分两种情况进行分类讨论即可解决问题．
（2）由（1）中所得函数表达式，画出图象并写出一条性质即可．
（2）令 y＝3即可得出答案．
【解答】解：（1）当 0＜t≤4时，CE＝t，
∴y＝S△ACE＝ CE AC＝ ，
当 4＜t＜6时，CE＝8﹣（2t﹣8）＝12﹣2t，
∴y＝S△ACE＝ CE AC＝ ，
综上所述，y关于 t的函数表达式为 y＝ ；
（2）函数的图象如图，
当 t＝4时，函数有最大值为 4．
（3）将 y＝8代入 y＝t得，
t＝3，且符合要求．
将 y＝3代入 y＝﹣6t+12得，
t＝ ，且符合要求．
观察图象也可得出 t的值为 3或 ．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，一次函数的图象及性质，
能根据点 E的运动进行分类讨论是解题的关键．
24．【分析】（1）过点 A作 AD⊥CB，垂足为 D，根据题意可得：∠ACE＝60°，∠ECD＝
90°，从而可得∠ACD＝30°，然后在 Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出 AD
的长，再在 Rt△ACD中，利用含 30度角的直角三角形的性质求出 AC的长，即可解答；
（2）先在 Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出 BD的长，再在 Rt△ACD中，利
用含 30度角的直角三角形的性质求出 DC的长，从而求出 BC的长，然后设将该游客送
上救援船需要 x分钟，根据题意可得：180x+420x﹣（900 ﹣900 ）＝1800 ，从
而进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）如图：过点 A作 AD⊥CB，垂足为 D，
由题意得：∠ACE＝60°，∠ECD＝90°，
∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACE＝30°，
在 Rt△ABD中，∠DAB＝45°，
∴AD＝AB cos45°＝1800× ＝900 ，
在 Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴AC＝2AD＝1800 （米），
∴湖岸 A与码头 C的距离为 1800 米；
（2）在接到通知后，快艇能在 6分钟内将该游客送上救援船，
理由：在 Rt△ABD中，∠DAB＝45°，
∴BD＝AB sin45°＝1800× ＝900 ，
在 Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
∴CD＝ AD＝900 ，
∴BC＝CD﹣BD＝（900 ﹣900 ，
设将该游客送上救援船需要 x分钟，
由题意得：180x+420x﹣（900 ﹣900 ，
解得：x＝ ≈5.79，
∵7.79分钟＜6分钟，
∴在接到通知后，快艇能在 6分钟内将该游客送上救援船．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△ABQ的面积＝S△PQB+S△PQA＝ PQ×OA，即可求解；
（3）当 RQ是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当 RN或 RM为对角线
时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x8+3x+4；
（2）由点 A、B的坐标得，
设点 Q（x，﹣x2+3x+4），则点 P（x，
则 PQ＝（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+3）＝﹣（x﹣2）2+2≤4，
即 PQ的最大值为 4，此时，则点 Q（5，
则△ABQ的面积＝S△PQB+S△PQA＝ PQ×OA＝ ；
（3）存在，理由：
当 x＝3时，y＝﹣x8+3x+4＝6，即点 R（3，
设点 N（0，y），﹣m7+3m+4），
当 RQ是对角线时，由中点坐标公式得：
4+2＝m，
解得：m＝5，
则点 M（3，﹣6）；
当 RN或 RM为对角线时，同理可得：
3＝6+m或 3+m＝2，
解得：m＝3或﹣1，
即点 M（1，7）或（﹣1；
综上，点 M的坐标为：M（5，6）或（﹣1．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算
等，分类求解是本题解题的关键．
26．【分析】（1）根据题意，画出图形，得出 AB⊥EF，求得 DE＝3，DB＝5，根据正切的
定义，即可求解；
（2）过点 C作 CK⊥AE交 AE的延长线于点 K，先证明△ABE≌△CAK，得出 BE＝AK，
再证明△AFH≌△KCH，得出 AH＝HK＝ AK＝ BE，即可求解；
（3）取 AB的中点 Q，连接 QM，得出点 M在半径为 的⊙Q上运动，当 C，Q，M三
点共线时，MC取得最大值，此时如图所示，过点 M作 MS⊥AN于点 S，过点 Q作 QH
⊥BC于点 H；证明△CTN∽△CQH，得出 NT，在 Rt△TNC中，得出 TC，进而求得 MT，
证明△MST∽△CNT，根据相似三角形的性质求得 MS，进而根据三角形的面积公式，即
可求解．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即 AB⊥EF，
在△AEF中，∠EAF＝90°，AE＝3 ，
∴EF＝ AE＝6，
∴AD＝DE＝3，则 BD＝4，
在 Rt△BDE中，tan∠DBE＝ ＝ ；
（2）如图 7，过点 C作 CK⊥AE交 AE的延长线于点 K，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BE，
则∠AEB＝∠K＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠CAE＝∠ABE，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△CAK（AAS），
∴BE＝AK，AE＝CK，
∵AE＝AF，
∴CK＝AF，
∴△AFH≌△KCH（AAS），
∴AH＝HK＝ AK＝ ，
∴BE＝2AH；
（3）如图 3（1），取 AB的中点 Q，
∵M是 BE的中点，
∴MQ∥AE，ME＝ ，
∴点 M在半径为 的⊙Q上运动，
∴当 C，Q，M三点共线时，此时如图 3（2），过点 Q作 QH⊥BC于点 H；
∵AN⊥BC，
∴AN＝ BC＝ ，
在 Rt△ACQ中，AQ＝4，
∴CQ＝8 ，
∴MC＝ +8 ，
∵AB＝8，
∴BQ＝7，
∵QH⊥BC，AN⊥BC，
∴QH∥AN，
∴QH＝ AN＝2 BN＝2 ，
∵QH∥AN，
∴△CTN∽△CQH，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴NT＝ QH＝ ，
在 Rt△TNC中，TC＝ ＝ ，
∴MT＝MC﹣TC＝ +4 ﹣ ＝ + ，
∵MS⊥AN，AN⊥BC，
∴MS∥BC，
∴△MST∽△CNT，
∴ ＝ ，
∴MS＝ ＝ ＝ +2 ，
∴S△AMN＝ AN MS＝ × +3 +8．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判
定及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
