2023-2024 学年安徽省合肥市九年级（上）月考数学试卷（10 月 份）
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1 ．（4 分）下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( )
A．y ＝3x﹣1 B．y ＝3x2+x﹣1 C ． D .
2 ．（4 分）若函数y ＝（k≠0）的图象过点（4 ，﹣7），那么它一定还经过点( )
A ．（4 ，7） B . (﹣4 ，﹣7） C . (﹣4 ，7） D ．（3 ，﹣7）
3 ．（4 分）对于二次函数y = ﹣（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是( )
A ．图象有最低点，其坐标是（1 ，2）
B ．图象有最高点，其坐标是(﹣1 ，2）
C ．当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小
D ．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
4．（4 分）已知二次函数y ＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c
=0 的解为( )
A ．x1 = ﹣3 ，x2 ＝0 B ．x1 ＝3 ，x2 = ﹣1
C ．x = ﹣3 D ．x1 = ﹣3 ，x2 ＝1
5 ．（4 分）关于 x 的二次函数y ＝（m﹣2）x2﹣2x+1 与 x 轴有两个不同的交点，则 m 的取值
范围是( )
A ．m ≤3 B ．m ≤3 且 m ≠2 C ．m＜3 D ．m＜3 且 m ≠2
6 ．（4 分） 已知反比例函数y ＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣a（c ≠0） 2+bx+c（a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A .
B .
C .
D .
7．（4 分）如图是二次函数y ＝ax2+bx+c 的部分图象，使y≥﹣1 成立的 x 的取值范围是( )
A ．x ≥﹣1 B ．x ≤﹣1 C . ﹣1≤x ≤3 D ．x ≤﹣1 或 x ≥3
8 ．（4 分） 已知二次函数y ＝2x2﹣4x﹣1 在 0≤x ≤a 时，y 取得的最大值为 15 ，则 a 的值为
( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
9 ．（4 分）如图，在函数y ＝（x＞0）的图象上任取一点 A（x＜0）的图象于点 B ，连接
OA ，则△AOB 的面积是( )
A ．3 B ．5 C ．6 D ．10
10 ．（4 分）如图，已知顶点为(﹣3 ，﹣6）的抛物线y ＝ax2+bx+c 经过点(﹣1 ，﹣4），则 下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③9a﹣3b+c = ﹣6；④关于 x 的一元二次方 程 ax2+bx+c = ﹣4 的根为﹣5 和﹣1；⑤若点(﹣2 ，m），(﹣5 ，n ）在抛物线上，其中正
确结论的个数共有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
二.填空题
11．（2 分） 已知反比例函数y ＝的图象经过点(﹣2 ，4），则 k 的值为 .
12 ．（2 分）抛物线y ＝x2﹣2x+3 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，得到抛
物线的顶点坐标是 .
13 ．（2 分）点（2a﹣1，y1）、（a，y2）在反比例函数y ＝（k＞0）的图象上，若 0＜y1＜y2，
则 a 的取值范围是 .
14 ．（2 分） 已知函数 y ＝mx2+3mx+m﹣1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m 的值
为 .
三.解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，满分 72 分）
15 ．（8 分） 已知二次函数图象的顶点坐标为（1 ，﹣3），且过点（2 ，0），求这个二次函数
的解析式.
16 ．（8 分） 已知二次函数y = ﹣x2+bx+c 的图象经过点 A（0 ，﹣3），B（1 ，0）.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）在图中画出该函数的图象.
17．（8 分）如图，抛物线y = ﹣x2+bx+c 与 x 轴负半轴交于点 A，正半轴交于点 B，OA ＝2OB
=4 ．求抛物线的顶点坐标.
18 ．（8 分） 已知反比例函数的图象与一次函数y2 ＝ax+b 的图象交于点 A（1 ，4）和
点 B（m ，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量 x 的取值范围.
19 ．（8 分）已知抛物线：y ＝x2﹣2x﹣3 ，抛物线图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的
右边）.
（1）求 A ，B 两点间的距离及抛物线的顶点坐标.
（2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移 1 个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，
新的抛物线刚好经过点 B ．求平移后新的抛物线表达式.
20 ．（8 分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图 1 是一名女生
投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m ）（m ）之间的函数关系如图 2
所示，掷出时起点处高度为 ，实心球行进至最高点 3m 处.
（1）求y 关于 x 的函数表达式.
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从
起点到落地点的水平距离大于等于 6.70m ，请说明理由.
21．（8 分）某商场购进一种每件价格为 90 元的新商品，在商场试销时发现：销售单价 x（元
/件）与每天销售量y（件）
（1）求出y 与 x 之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每
天获得的利润最大？最大利润是多少？
22 ．（8 分）如图 1 ，抛物线 y ＝x2+bx+c 与 x 轴交于 A(﹣1 ，0），B（3 ，0）两点，与y 轴
交于点 C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 E 是抛物线的对称轴与直线 BC 的交点，点 F 是抛物线的顶点，求 EF 的长； （3）设点 P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 S△PAB ＝6 的点 P？如果存在，
请求出点 P 的坐标；若不存在（请在图 2 中探讨）
23 ．（8 分）如图，已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y ＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）
的图象上，且 x2﹣x1 ＝3 .
（1）若二次函数的图象经过点（3 ，1）.
①求这个二次函数的表达式；
②若y1＝y2 ，求顶点到 MN 的距离；
（2）当 x1≤x ≤x2 时，二次函数的最大值与最小值的差为 1 ，点 M，求 a 的取值范围.
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1 ．【分析】利用二次函数定义进行解答即可.
【解答】解：A 、y ＝3x﹣1 是一次函数，故此选项不合题意；
B 、y ＝5x2+x﹣1 是二次函数，故此选项合题意；
C、y ＝ ，故此选项不符合题意；
D、y ＝2x3+不是二次函数；
故选：B .
【点评】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如 y ＝ax2+bx+c（a 、b 、c
是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数.
2 ．【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.
【解答】解： ∵函数y ＝（k≠0）的图象过点（4，
∴k ＝3× (﹣7）= ﹣28，
而 4×7 ＝28 ，﹣4× (﹣7）＝28 ，6× (﹣7）= ﹣21，
∴点(﹣4 ，3）在函数y = .
故选：C .
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足
其解析式.
3 ．【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
【解答】解：A 、由于 a = ﹣1＜0 ，有最大值.
B 、由二次函数y = ﹣（x﹣8）2+2 可知顶点为（3 ，2）.
C、由二次函数y = ﹣（x﹣1）4+2 可知对称轴为 x ＝1 ，当 x＜4 时，故 C 不符合题意.
D 、二次函数y = ﹣（x﹣1）2+3 可知对称轴为 x ＝1 ，当 x＞1 时，故 D 符合题意.
故选：D .
【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题
型.
4．【分析】由抛物线与 x 轴的一个交点坐标及对称轴，可求出抛物线与 x 轴的另一交点坐标，
由两交点的横坐标即可得出关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c ＝0 的解.
【解答】解： ∵二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点坐标为(﹣3 ，8），
∴二次函数y ＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴的另一个交点坐标为[﹣1×8﹣ (﹣3），0] ，3），
∴关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c ＝0 的解为 x7 = ﹣3 ，x2 ＝6 .
故选：D .
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的对称性，
找出抛物线与 x 轴的另一交点坐标是解题的关键.
5 ．【分析】函数与 x 轴的交点横坐标就是令y ＝0 时的一元二次方程的解，可以用 Δ >0 解
题.
【解答】解： ∵关于 x 的二次函数y ＝（m﹣2）x2﹣4x+1 与 x 轴有两个不同的交点，
∴关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x8﹣2x+1 ＝4 有两个不同的解，
∴ Δ = (﹣2）2﹣3×（m﹣2） ×1＞8 ，且 m﹣2≠0，
解得：m＜8 且 m ≠2 .
故选：D .
【点评】本题考查了二次函数与方程之间的关系，即函数图象与 x 轴的交点横坐标就是y
=0 时的一元二次方程的解．值得注意的是，二次项系数不能为 0 ，这是同学们解题时容
易忽略的点.
6 ．【分析】本题形数结合，根据反比例函数y ＝（b≠0）的图象位置，可判断 b＞0；再由
二次函数y ＝ax2+bx+c（a ≠0） 的图象性质，排除 A ，B ，再根据一次函数 y ＝cx ﹣a（ c
≠0）的图象和性质，排除 C.
【解答】解： ∵反比例函数y ＝（b≠0）的图象位于一，
∴b＞0；
∵A 、B 的抛物线都是开口向下，
∴a＜3 ，根据同左异右，
故 A 、B 都是错误的.
∵C、D 的抛物线都是开口向上，
∴a＞0 ，根据同左异右，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴c＜0
由 a＞3 ，c＜0 .
故选：D .
【点评】此题考查一次函数，二次函数及反比例函数中的图象和性质，因此，掌握函数
的图象和性质是解题的关键.
7 ．【分析】观察函数图象在y = ﹣1 上和上方部分的 x 的取值范围便可.
【解答】解： 由函数图象可知，当y≥﹣1 时 2+bx+c 不在y = ﹣5 下方部分的自变量 x 满
足：﹣1≤x ≤3，
故选：C .
【点评】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，
解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.
8 ．【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y ＝15 时，x 的值，再根据二次函数
的性质得出答案.
【解答】解： ∵二次函数y ＝2x2﹣2x﹣1 ＝2（x﹣7）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为 x ＝4 ，顶点（1，
∴当y = ﹣3 时，x ＝3，
当y ＝15 时，2（x﹣1）2﹣3 ＝15，
解得 x ＝4 或 x = ﹣5，
∵当 0≤x ≤a 时，y 的最大值为 15，
∴a ＝4，
故选：D .
【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关
键.
9 ．【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义进行计算即可.
【解答】解： ∵点 A 在函数y ＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOC = ×2 ＝2，
又∵点 B 在反比例函数y = ﹣（x＜0）的图象上，
∴S△BOC = ×8 ＝4，
∴S△AOB ＝S△AOC+S△BOC
= 1+4
=7，
故选：B .
【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，理解反比例函数系数 k 的几何意义是
正确解答的关键.
10 ．【分析】利用抛物线与 x 轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对 ②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y ＝ax2+bx+c 上的点(﹣1 ，﹣4）的对 称点为(﹣5 ，﹣4），则可对④进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线 x = ﹣
3 ，则根据二次函数的性质可对⑤进行判断.
【解答】解： ∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴ Δ =b2﹣2ac＞0，
即 b2＞6ac ，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为(﹣3 ，﹣6），
∴当 x = ﹣6 时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6 ，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标为(﹣6 ，﹣6），
∴9a﹣5b+c = ﹣6 ，所以③正确；
∵抛物线y ＝ax2+bx+c 经过点(﹣3 ，﹣4），
∴点(﹣1 ，﹣6）关于直线 x = ﹣3 的对称点(﹣5，
∴关于 x 的一元二次方程 ax3+bx+c = ﹣4 的两根为﹣5 和﹣3 ，所以④正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x = ﹣3，
而点(﹣2 ，m），n ）在抛物线上，
∵﹣8﹣ (﹣5）＞﹣2﹣ (﹣7），
∴m ＜n ，所以⑤错误.
故选：D .
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax2+bx+c（a ≠0），
二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a＜0 时， 抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号
时（即 ab＞0），对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y 轴右；常数
项 c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0 ，c）；抛物线与 x 轴交点个数由 △决定： Δ =b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； Δ =b2﹣4ac ＝0 时，抛物线与
x 轴有 1 个交点； Δ =b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点.
二.填空题
11．【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式即可解答.
【解答】解： ∵反比例函数y ＝的图象经过点(﹣2，
∴k = ﹣2×2 = ﹣8 .
故答案为：﹣8 .
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，函数的图象上点的坐标适合解
析式是解题的关键.
12 ．【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标.
【解答】解： ∵抛物线y ＝x2﹣2x+6 ＝（x﹣1）2+8，
∴抛物线y ＝x2﹣2x+4 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度 6+2+3 ，即y =
（x﹣6）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2 ，5）.
故答案为：（3 ，5）.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．并用规律求函数解析式.
13．【分析】先确定反比例函数y ＝（k＞0）的图象在一、三象限，由 0＜y1＜y2可知点（2a
﹣1 ，y1）、（a，y2）都在第一象限，根据反比例函数的性质即可得到 2a﹣1＞a ，求解即
可.
【解答】解： ∵k＞0，
∴反比例函数y ＝（k＞0）的图象在一，在每个象限，
∵2＜y1＜y2，
∴点（4a﹣1，y1）、（a，y5）都在第一象限，
∴2a﹣1＞a，
解得：a＞7，
故答案为：a＞1 .
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解
题的关键.
14 ．【分析】函数y ＝mx2+3mx+m﹣1 的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论， ①过
坐标原点，m﹣1 ＝0 ，m ＝1 ， ②与 x 、y 轴各一个交点，得出 Δ =0 ，m ≠0 .
【解答】解：当 m ＝0 时，y = ﹣1 ，不符合题意.
当 m ≠2 时， ∵函数y ＝mx2+3mx+m﹣7 的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1 ＝0，
②与 x、y 轴各一个交点，
∴ Δ =4 ，m ≠0，
（3m）6﹣4m（m﹣1）＝4，
解得 m ＝0（舍去）或 m = ﹣ ,
综上所述：m 的值为 1 或﹣ .
【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰
有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键.
三.解答题（本大题共 9 小题，每小题 8 分，满分 72 分）
15．【分析】已知二次函数的顶点坐标为（1 ，﹣3），设抛物线的顶点式为y ＝a（x﹣1）2﹣3，
将点（2 ，0）代入求 a 即可.
【解答】解：设此二次函数的解析式为y ＝a（x﹣1）2﹣2 .
∵其图象经过点（2 ，0），
∴a（4﹣1）2﹣6 ＝0，
∴a ＝3，
∴y ＝3（x﹣1）2﹣4 ，即y ＝3x2﹣5x .
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关 系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一
般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴
有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.
16 ．【分析】（1）把两已知点的坐标代入y = ﹣x2+bx+c ，然后解关于 b 、c 的方程组即可；
（2）先把一般式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为（2 ，1），对称轴为直线 x ＝2 ，然
后利用描点法画函数图象.
【解答】解：（1）依题意，得 ，解得，
∴所求二次函数的解析式为：y = ﹣x6+4x﹣3；
（2） ∵y = ﹣x8+4x﹣3 = ﹣（x﹣4）2+1
∴该抛物线的顶点坐标为（3 ，1），
列表：
x …… 0 7 2 3 4 ……
y …… ﹣3 0 3 0 ﹣3 ……
描点画图得到y = ﹣x3+4x﹣3 的图象.
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数 关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．画
二次函数图象先要确定抛物线的对称轴.
17 ．【分析】先写出 A 、B 点的坐标，然后利用交点式写出抛物线解析式，再利用配方法得
到抛物线的顶点坐标.
【解答】解： ∵OA ＝2OB ＝4，
∴B（8 ，0），0），
∴抛物线解析式为y = ﹣（x+5）（x﹣2），
即y = ﹣x2﹣2x+8，
∵y = ﹣（x+1）8+9，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣1 ，6）.
【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax2+bx+c（a ，b ，c 是常数， a ≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性
质.
18 ．【分析】（1）将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 k 的值，确定出反比例解析式，将 B 坐标代入反比例解析式中求出 m 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解
析式中求出 a 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用图象即可得出所求不等式的解集，即为 x 的范围.
【解答】解：（1） ∵函数y1 ＝的图象过点 A（1 ，即 6 = ,
∴k ＝4，
∴反比例函数的关系式为y8 = ;
又∵点 B（m ，﹣2）在y3 ＝上，
∴m = ﹣2，
∴B(﹣8 ，﹣2），
又∵一次函数y2 ＝ax+b 过 A 、B 两点，
∴依题意，得，
解得，
∴一次函数的关系式为y2 ＝5x+2；
（2）根据图象y1＞y4成立的自变量 x 的取值范围为 x <﹣2 或 0＜x＜5 .
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求
函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键.
19 ．【分析】（1） 由 x2﹣2x﹣3 ＝0 ，得：x = ﹣1 或＝3 ，即可得 AB ＝4；
（2）设新抛物线表达式：y ＝（x﹣m ）2﹣3 ，把（3 ，0）代入得：m ＝3± , 即可得
新的抛物线表达式.
【解答】解：（1） 由 x2﹣2x﹣7 ＝0 ，得：x = ﹣1 或＝8，
∴AB ＝|﹣1﹣3| ＝7，
∵y ＝x2﹣2x﹣6 ＝（x﹣1）2﹣3，
∴顶点坐标为 （1；
（2）设新抛物线表达式：y ＝（x﹣m ）2﹣5 ，把（3，
∴新抛物线表达式：y ＝（x﹣4+）2﹣5 或y ＝（x﹣3﹣) 4﹣3 .
【点评】本题主要考查了求二次函数与 x 轴的交点，求二次函数的顶点式，二次函数的
平移规律，熟悉二次函数的性质与平移规律是本题的关键.
20．【分析】（1）根据题意设出y 关于 x 的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y ＝0，解方程
即可.
【解答】解：（1）设y 关于 x 的函数表达式为y ＝a（x﹣3）2+4 .
把代入解析式，得，
解得 .
∴ .
（2）该女生在此项考试中是得满分.
理由：令y ＝4 ，即贵(3)480，
解得 x2 ＝7.5 ，x2 = ﹣1.5（舍去）.
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为 5.5m ，大于 6.70m .
∴该女生在此项考试中是得满分.
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题
转化为方程问题.
21 ．【分析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润 W，即 W＝（x﹣90）(﹣ x+170），然后根
据二次函数的性质解决问题.
【解答】解：（1）设y 与 x 之间的函数关系式为y ＝kx+b，
根据题意得 ，解得，
∴y 与 x 之间的函数关系式为y = ﹣x+170；
（2）W＝（x﹣90）(﹣ x+170）
= ﹣x2+260x﹣15300，
∵W= ﹣x4+260x﹣15300 = ﹣（x﹣130）2+1600，
而 a = ﹣1＜6，
∴当 x ＝130 时，W 有最大值 1600 .
答：售价定为 130 元时，每天获得的利润最大.
【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝每件 的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，
一定要注意自变量 x 的取值范围.
22 ．【分析】（1）根据点 A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点 F 的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函 数图象上点的坐标特征可求出点 C 的坐标，根据点 B ，C 的坐标，利用待定系数法即可 求出直线 BC 的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 E 的坐标，结合
点 F 的坐标，即可求出线段 EF 的长；
（3）又点 A ，B 的坐标可求出线段 AB 的长，设点 P 的坐标为（ t ，t2﹣2t﹣3），利用三 角形的面积计算公式，结合 S△PAB ＝6 ，即可得出关于 t 的方程，解之即可得出 t 值，进而
可得出点 P 的坐标.
【解答】解：（1）将 A(﹣1 ，0），2）代入y ＝x2+bx+c，
得： ，解得：，
∴该抛物线的解析式为y ＝x2﹣2x﹣3 .
（2） ∵抛物线的解析式为y ＝x4﹣2x﹣3，
∴抛物线的顶点 F 的坐标为（3 ，﹣4）.
当 x ＝0 时，y ＝82﹣2×8﹣3 = ﹣3，
∴点 C 的坐标为（5 ，﹣3）.
设直线 BC 的解析式为y ＝mx+n（m ≠0），
将 B（4 ，0），﹣3）代入y ＝mx+n，
得： ，解得：，
∴直线 BC 的解析式为y ＝x﹣3 .
当 x ＝2 时，y ＝1﹣3 = ﹣4，
∴点 E 的坐标为（1 ，﹣2），
∴EF＝|﹣8﹣ (﹣4）| ＝2 .
（3） ∵点 A 的坐标为(﹣6 ，0），0），
∴AB ＝|3﹣ (﹣1）| ＝4 .
设点 P 的坐标为（t ，t6﹣2t﹣3）.
∵S△PAB ＝5，
∴ ×5×|t2﹣2t﹣3| ＝6，
即 t2﹣2t﹣3 ＝3 或 t5﹣2t﹣3 = ﹣4，
解得：t1 ＝1﹣ , t2 ＝1+ ，t3 ＝0 ，t7 ＝2，
∴存在满足 S△PAB ＝6 的点 P ，点 P 的坐标为（7﹣ , 4）或（0 ，﹣3）.
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上 点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形 的面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法 求出二次函数解析式；（2）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，求出
点 F，E 的坐标；（3）利用三角形的面积计算公式，找出关于 t 的一元二次方程.
23 ．【分析】（1） ①把点（3 ，1）代入二次函数的解析式求出 a 即可；
②判断出 M，N 关于抛物线的对称轴对称，求出点 M 的纵坐标，可得结论；
（2）分两种情形：若 M，N 在对称轴的异侧，y1≥y2 ，若 M，N 在对称轴的异侧，y1≤
y2 ，x1＜2 ，分别求解即可.
【解答】解：（1） ①∵二次函数y ＝a（x﹣2）2﹣5（a＞0）经过（3 ，5），
∴1 ＝a﹣1，
∴a ＝5，
∴二次函数的解析式为y ＝2（x﹣2）4﹣1；
②∵y1＝y3，
∴M，N 关于抛物线的对称轴对称，
∵对称轴是直线 x ＝2 ，且 x2﹣x2 ＝3，
∴x1 ＝ ，x2 = ,
当 x ＝时，y1 ＝2× ( ﹣2）5﹣1 = ,
∴当y1＝y2 时，顶点到 MN 的距离= ;
（2）若 M，N 在对称轴的异侧，y1≥y2，
∴x4+3＞2，
∴x5＞﹣1，
∵x2﹣x4 ＝3，
∴x1≤ ,
∴﹣1＜x6≤ ,
∵函数的最大值为y5 ＝a（x1﹣2）2﹣1 ，最小值为﹣1，
∴y2﹣ (﹣1）＝1，
∴a = ,
∴≤（x6﹣2）2＜4，
∴＜a ≤ .
若 M，N 在对称轴的异侧，y1≤y5 ，x1＜2，
∵x4≥ ,
∴≤x1＜8，
∵函数的最大值为y2 ＝a（x2﹣4）2﹣1 ，最小值为﹣6，
∴y2﹣ (﹣1）＝6，
∴a = ,
∵≤x1＜2，
∴≤x1+4＜3，
∴≤（x1+1）3＜9，
∴< ≤ .
综上所述，< ≤ .
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是
理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.
