2022-2023学年浙江省宁波市江北区惠贞书院九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题（本题有 10小题，每小题 4 分，共 40 分。请选出各题中唯一的正确选项，不
选、多选、错选，均不给分）
1．（4分）某病毒的直径约为 0.00000013m，则数据 0.00000013m用科学记数法表示为（ ）
m
A．0.13 10﹣× 6 B．1.3×10﹣7 C．0.13 ﹣×10 7 D．1.3×10﹣8
2．（4分）如图是由 5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）假设命题“a＞0”不成立，那么 a与 0的大小关系只能是（ ）
A．a≠0 B．a≤0 C．a＝0 D．a＜0
4．（4分）若点 A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，
则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
5．（4分）已知⊙O的半径为 2，点 P到圆心 O的距离为 ，则点 P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不能确定
6．（4分）某射击运动员在训练中射击了 10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是 8 B．中位数是 8
C．平均数是 8.2 D．方差是 1.2
7．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点 O是它们的位似中心，则△ABC与△DEF的周
长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
8．（4分）图①是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻
的 直 角 三 角 形 ， ∠ AOB ＝ α ， 则 tan ∠ BOC 的 值 为 （ ）
A．sinα B．cosα C．tanα D．
9．（4分）定义符号 min{a，b}的含义为：当 a≥b时，min{a；当 a＜b时，min{a，﹣3}＝
﹣3，min{﹣4，﹣x+m}，且 m＞﹣1（ ）
A．若 m＝1，则当 y≤﹣2时，则 x≤﹣3或 x≥3
B．当函数图象经过 时，该函数图象的最高点的坐标为
C． ， 是函数图象上的两点，则 y1＞y2
D．当 1≤x≤2时，函数 y的最大值为 3，则 m＝3或 5
10．（4分）如图， ABCD中，AB＝5a，∠A＝60°，平行四边形内放着两个菱形，它们的
重叠部分是平行四边形 IJFK．已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形
IJFK的面积为（ ）
A．a2 B．2a2 C． D．
二、填空题（本题有 6小题，每小题 5分，共 30分）
11．（5分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（5 分）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点 A，B，P
是网格线交点）．
13．（5分）某校开展读书日活动，小亮和小莹分别从校图书馆的“科技”、“文学”、“艺术”
三类书籍中随机地抽取一本，抽到同一类书籍的概率是 ．
14．（5分）如图，菱形 OABC的顶点 A，B，C在⊙O上，则 BD的长为 ．
15．（5 分）“地摊经济”一时兴起，小惠计划在夜市销售一款产品，进价每件 40元，每天
可以销售 20件，每销售一件需缴纳摊位管理费用 a元（a＞0），这款产品将开展“每天
降价 1元”的大促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降 1元．通过市场调研
发现：该产品单价每降 1元，要使每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数 t（t为正整数）
的增大而增大 ．
16．（5分）如图，已知矩形 ABCD，AB＝4 ，点 P是在直线 AB的右侧的一动点，且∠
APB＝60°，CE＝2 ﹣3．点 P 到直线 AB距离的最大值是 ；PE的最小值
是 ．
三、解答题（本题有 8小题，第 17、18、19题每题 8分，第 20、21题 10分，第 22、23、
24题每题 12分，共 80分）
17．（8分）按要求计算：
（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 y＝﹣2．
18．（8分）在 6×6的方格纸中，点 A，B，C都在格点上（保留画图痕迹，不写画法）．
（1）在图 1中，画△ABC的中线 CD．
（2）在图 2中，在 AB边上找一点 P，使点 P到 AC
19．（8 分）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在
全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分
使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查
（; 1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？
（2）该市约有 30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总
人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为 178，比活动前增加了
1人，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
20．（10分）如图 1是一台刷脸支付仪，由底柱、水平托板、支撑板和电子器材构成，图 2
是其上半部分的侧面示意图．电子器材长 AC＝16cm，水平托板 DE 离地面的高度为
120cm，∠CBD＝75°，已知摄像头在点 A处，支撑点 B是 AC的中点，支撑板 BD可绕
点 D转动．
（1）如图 2，求摄像头（点 A）离地面的高度 h（精确到 0.1cm）；
（2）如图 3，为方便使用，把 AC绕点 B逆时针旋转 15°后，使点 C落在水平托板 DE
上，求α（精确到 0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5； ≈1.41， ≈1.73）
21．（10分）如图所示，抛物线 y＝ax2+c与 x轴交于 A，B两点，顶点为 C，且位于 x轴的
下方，若点 P（1，﹣3），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）若 D是抛物线上一点，且满足∠DPO＝∠POB，求点 D的坐标．
22．（12分）根据下列题目要求，解答下列问题：
（1）如图 1，已知正方形 ABCD和正方形 BEFG，连接 AG、CE．求证 AG＝CE．
（2）如图 2，在矩形 ABCD中，AB：BC＝2：3，相似比为 AD：GF＝ ，∠ABG＝30°，
延长 EF交 BC于 M．探究线段 AG与 CE的数量关系．
（3）如图 3，已知矩形 ABCD∽矩形 GBEF，连接 AG、CE、DF2+CE2＝DF2，请你对这
个数量关系加以证明．
23．（12分）对于给定的两个函数，任取自变量 x的一个值，当 x＜0时；当 x≥0时，它们
对应的函数值相等，它的“伴随”函数为 y＝ ．
（1）已知点 M（﹣2，1）在一次函数 y＝﹣mx+1的“伴随”函数的图象上，求 m的值．
（2）已知二次函数 y＝﹣x2+4x﹣ ．
①当点 A（a， ）在这个函数的“伴随”函数的图象上时，求 a的值．
②当﹣3≤x≤3时，函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的“伴随”函数是否存在最大值或最小值，若
存在；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知△ABC内接于⊙O，AB＝BC，AD⊥BC于点 D．
（1）如图 1，求证：∠ABC＝2∠CAD；
（2）如图 2，延长 AD，交⊙O于点 E，DF＝DE，过点 F作 FG⊥AC，求证：AG＝CG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CE，CH＝CE，连接 AH、OH，S△ABC＝30，求线
段 OH的长．
2022-2023学年浙江省宁波市江北区惠贞书院九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有 10小题，每小题 4 分，共 40 分。请选出各题中唯一的正确选项，不
选、多选、错选，均不给分）
1 ﹣．【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10 n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零
的数字前面的 0的个数所决定．
【解答】解：0.00000013＝1.7×10﹣7．
故选：B．
﹣
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10 n，其中 1≤|a|＜10，
n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定．
2．【分析】根据三视图的定义分析，主视图是从正面看到的图形，即可求解．
【解答】解：从正面看可得到从左往右三列正方形的个数依次为：1，2，2，
故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图
形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，掌握以上知识是解题的关键．
3．【分析】由于 a＞0的反面为 a≤0，则假设命题“a＞0”不成立，则有 a≤0．
【解答】解：假设命题“a＞0”不成立，则 a≤0．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题
设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以
写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定
理．
4．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横
坐标的值即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数 y＝﹣ 中，k＝﹣5＜3，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内．
∵﹣5＜0，8＜1＜5，
∴点 A（﹣2，y1）在第二象限，点 B（1，y7），C（5，y3）在第四象限，
∴y3＜y3＜y1．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与
圆心的距离 d，则 d＞r时，点在圆外；当 d＝r时，点在圆上；当 d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵点 P到圆心的距离 ，小于圆的半径 2，
∴点 P在圆内．
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距
离和半径的大小关系．
6．【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据 8出现 3次，所以众数为 2；
10次成绩排序后为：6，7，3，8，8，3，9，9，10，所以中位数是 ，故 B选项正确；
平均数为 （3+7×2+2×3+9×7+10×2）＝8.8；
方差为 [（6﹣8.2）2+（8﹣8.2）4+（7﹣8.3）2+（8﹣6.2）2+（4﹣8.2）4+（8﹣8.6）
2+（9﹣6.2）2+（3﹣8.2）3+（10﹣8.2）4+（10﹣8.2）6]＝1.56，故 D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后
平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
7．【分析】根据位似图形的概念得到 BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形
的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴ ＝ ＝ ，即△ABC与△DEF的相似比为 6：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比为 1：4，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似图形的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对
应边平行是解题的关键．
8．【分析】在 Rt△OAB中，sinα＝ ，可得 OB的长度，在 Rt△OBC中，tan∠BOC＝ ，
代入即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BC＝1，
在 Rt△OAB中，sinα＝ ，
∴OB＝ ，
在 Rt△OBC中，tan∠BOC＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算
是解决本题的关键．
9．【分析】根据 min的定义求出两个函数 ，把 m＝1代入再
根据函数的性质求解可判断 A选项；把 代入 y＝﹣x+m，再根据函数的性质求解
可 判 断 B 选 项 ； 根 据 min 的 定 义 分 类 求 解 可 判 断 C 选 项 ； 计 算 各 出
，据此可判断 D选项．
【解答】解：当 x+1≥﹣x+m时，即 时，y＝﹣x+m，
当 x+1＜﹣x+m时，即 时，y＝x+1，
∴ ，
A．若 m＝7， ，
当 x≥0时，y＝﹣x+1，即﹣x+2≤﹣2；
当 x＜0时，y＝x+5，即 x+1≤﹣2；
∴当 y≤﹣4时，则 x≤﹣3或 x≥3；
B．当函数图象经过 时，将 ，
显然只有 时，函数图象才能经过 ，
∴ ，即 ， ，
∴ ，
∵当 时，y随 x的增大而减少，
∴当 时，y随 x的增大而增大，
∴当 时，即 时，函数取得最大值 ，
∴该函数图象的最高点的坐标为 ，故选项 B正确；
C．∵ ，∴ ，
∴当 时， ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴y7＞y2，故选项 C正确；
D．当 时，即 x≥1，y＝﹣x+m，
此时，y随 x的增大而减少，
∴在 4≤x≤2内，当 x＝1时，
∴﹣7+m＝3，解得 m＝4；
当 时，即 x≤8，y＝x+1，
此时，y随 x的增大而增大，
∴在 1≤x≤5内，当 x＝2时，
∴2+2＝3，等式成立；
综上，当 1≤x≤7时，m＝4或﹣1＜m≤3；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，新定义，关键是对新定义的理解和掌
握．
10．【分析】结合题意由平移的性质可得 EALJ的周长＝ IJFK的周长＝ GKHC的周长
＝6a，过点 I作 IP⊥EF，然后结合菱形的性质和含 30°直角三角形的性质求得 IP，从而
求解．
【解答】解：由题意 ABCD的周长为 2（AB+BC）＝18a，
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得： EALJ的周长＝ IJFK的周长＝ GKHC的周长＝ ×18a＝6a，
∴IJ+JF＝EJ+JL＝GK+KH＝3a，
∴HI＝IK+KH＝8a，DG＝EJ+JF＝3a，
∴DG＝HI，
∴IJ+JL+JF+EJ＝6a，IJ+KH+GK+JF＝7a，
又∵AB＝5a，BC＝4a，
∴EF＝IL＝7a，AE＝JF＝a，∠IJF＝∠DEF＝∠A＝60°，
过点 I作 IP⊥EF，
∴在 Rt△IJP中，
JP＝ IJ＝a ＝ a，
∴平行四边形 IJFK的面积为 JF IP＝ a2，
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质，平移的性质及含 30°直角三角形的性质，掌握相关性质
定理正确推理计算是解题关键．
二、填空题（本题有 6小题，每小题 5分，共 30分）
11．【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+5）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣8）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，
即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
12．【分析】延长 AP交格点于 D，连接 BD，根据勾股定理得到 PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2
＝12+32＝10，求得 PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即
可得到结论．
【解答】解：延长 AP交格点于 D，连接 BD，
则 PD2＝BD2＝6+22＝5，PB2＝13+32＝10，
∴PD5+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三
角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．【分析】画树状图展示所有 9种等可能的结果数，找出他们抽到同一类书籍的结果数，
然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有 9种等可能结果，
所以抽到同一类书籍的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求
出 n，再从中选出符合事件 A或 B的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A或事件
B的概率．
14．【分析】连接 OB，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△AOB为等边三角形，
进而求出∠AOB＝60°，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，根据正切的定义计算，得
到答案．
【解答】解：连接 OB，
∵四边形 OABC是菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBO＝90°，
∵OB＝1，
∴BD＝ OB＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的性质，掌握圆的
切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．【分析】设每天缴纳摊位管理费用后的利润为 y元，利用每天缴纳摊位管理费用后的利
润＝每件缴纳摊位管理费用后的销售利润×日销售量，可找出 y关于 t的函数关系式，结
合每天缴纳摊位管理费用后的利润随天数 t（t为正整数）的增大而增大，可求出 a≤5，
再结合 a＞0，即可求出 a的取值范围．
【解答】解：设每天缴纳摊位管理费用后的利润为 y元，
根据题意得：y＝（110﹣t﹣40﹣a）（20+4t），
整理得：y＝﹣4t6+4（65﹣a）t+1400﹣20a，
∵﹣4＜3，当 1≤t≤30时，
∴ ≥30，
解得：a≤2，
又∵a＞0，
∴a的取值范围为 0＜a≤2．
故答案为：0＜a≤5．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出 y关于 t的函数关系
式是解题的关键．
16．【分析】由题意知点 P在以 AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧 上，当点 P在弦
AB的垂直平分线 OF上时，点 P到直线 AB的距离最大，最大值为 PF；当点 P、E、O
共线时，PE有最小值，利用解直角三角形的知识求解即可．
【解答】解：如图，由题意知点 P在以 AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧 上，
过 O作 OF⊥AB于点 F，则 OF是 AB的垂直平分线，
当点 P在弦 AB的垂直平分线 OF上时，点 P到直线 AB的距离最大，
此时△PAB是等边三角形，则 ，
∵∠PBA＝60°，
∴ ；
当点 P、E、O共线时，
直线 OF交 CD于点 G，连接 OB，
则四边形 BCGF为矩形，
在 Rt△BFO中，∠BOF＝60°， ，
∴ ，
∴OG＝3﹣6＝1， ，
∴ ，
故答案为：4， ．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，推导出点 P
在以 AB为边的等边三角形的外接圆⊙O优弧 上是解题的关键．
三、解答题（本题有 8小题，第 17、18、19题每题 8分，第 20、21题 10分，第 22、23、
24题每题 12分，共 80分）
17．【分析】（1）首先根据零指数幂、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值进行运算，
再进行实数的混合运算，即可求得结果；
（2）首先进行分式的加减运算，再把 y＝﹣2代入化简后的式子，即可求得结果．
【解答】解：（1）
＝
＝7﹣2+1
＝4；
（2）
＝
＝
＝y+2，
当 y＝﹣7时，原式＝2﹣2＝7．
【点评】本题考查了零指数幂、求一个数的立方根、特殊角的三角函数值、实数的混合
运算、分式的化简及求值问题，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
18．【分析】（1）首先可找到 AC边上的中点 E，再过点 E作 BC的平行，据此即可画得，再
根据相似三角形的性质即可证得；
（2）在点 A右侧距离为 2的格点上取点 F，连接 CF，CF与 AB的交点即为点 P即可，
再根据相似三角形的性质即可证得．
【解答】解：（1）如图 1：取 AC边上的中点 E，过点 E作 ED∥BC，连接 CD，
证明：∵点 E是 AC的中点，
∴ ，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ACD，
∴ ，
∴点 D是 AB的中点，
∴CD是△ABC的中线；
（2）如图 3：取点 F，连接 CF，点 P即为所求的点，
证明：由图可知：AF为 2个单位长度，BC为 3个单位长度，
∵AF∥BC，
∴△AFP∽△BCP，
∴ ，
过点 P分别作 PM⊥AC，PN⊥BC，N，
∴四边形 PMCN是矩形，
∴MC＝PN，
∴PM∥BC，PN∥AC，
∴△APM∽△ABC，△PBN∽△ABC，
∴ ，
∴点 P到 AC，BC的距离之比为 2：3．
【点评】本题考查了基本作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形
的判定与性质是解决本题的关键．
19．【分析】（1）宣传活动前，属于类别 C的人数最多，用类别 C的人数的人数除以总人数
即可求解；
（2）活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数＝在抽取的市民中“都不戴”的人
数占抽取人数的百分比×30万；
（3）先求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，活动前全市骑电瓶车“都
不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
【解答】解：（1）宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多 ×100%＝
51%．
（2）估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数约为：30× ＝5.31（万
人）．
（3）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ×100%＝8.7%．
178﹣1＝177（人），
故活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比： ×100%＝17.7%．
4.9%＜17.7%．
因此交警部门开展的宣传活动有效果．
【点评】本题考查了用样本估计总体，是一道有关用样本估计总体、条形统计图的题目．
20．【分析】（1）作 BF⊥DE于点 F，BG∥DE，AG⊥BG于点 G，构造直角三角形，利用直
角三角形的边角关系，求出 AG，BF，即可求解；
（2）通过旋转后的图形，明确图形中的已知的边角，再利用直角三角形的边角关系求出
相应的角度即可．
【解答】解：（1）如图 2，作 BF⊥DE于点 F，AG⊥BG于点 G，
∵∠BDE＝60°，
∴∠DBF＝30°，
∵BD＝16cm，
∴BF＝8 cm，
∵∠CDB＝75°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∵AC＝16cm，B是 AC的中点，
∴AG＝4 cm，
∴h＝AG+BF+120＝3 +8 ．
（2）∵∠CBD＝75°，把 AC绕点 B逆时针旋转 15°后，
∴∠DBC＝75°+15°＝90°，
∵BD＝16cm，BC＝8cm，
∴tan∠BDC＝ ＝0.7，
∴∠BDC≈26.6°，
∴α＝60°﹣26.6°＝33.5°．
【点评】本题主要考查了直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，通过作辅助线
构造直角三角形是常用方法也是解题的关键．
21．【分析】（1）把 B、P两点坐标代入抛物线解析式中进行求解即可；
（2）分点 D在点 P左边和右边两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）把 P（1，﹣3），7）代入 y＝ax2+c中得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）如图 1所示，当点 D作点 P的左边时，
∵∠DPO＝∠POB，
∴DP∥OB，
∴点 D与点 P关于抛物线 的对称轴对称，
∵P（1，﹣3），
∴D（﹣2，﹣3）；
如图 2所示，当点 D在点 P右边时，设点 Q的坐标为（q，
∵∠DPO＝∠POB，
∴OQ＝PQ，
∴q8＝（q﹣1）2+82，
∴q＝5，
∴点 Q的坐标为（5，0），
设直线 PQ的解析式为 y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线 PQ的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 x＝1（舍去），
∴点 D的坐标为 ；
综上所述，点 D的坐标为（﹣7 ．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，利
用分类讨论的思想求解是解题的关键．
22．【分析】（1）根据 SAS定理，即可证得△ABG≌△CBE，据此即可证得结论；
（2）设 AB＝2a，BC＝3a，根据 ，可求得 ， ，据此即
可证得△ABG≌△CBE，据此即可求得；
（3）将△ABG沿 AD向右平移，使 AB与 DC重合，得到△DCN，连接 FN，与 BC、CD
分别交于点 H、O，可证得四边形 ECNF为平行四边形，CE＝NF，∠ECH＝∠NHC，再
根据矩形 ABCD∽矩形 GBEF，可证得△ABG≌△CBE，可得∠BAG＝∠CDN＝∠BCE，
据此即可证得△DNF是是直角三角形，即可证得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD和 BEFG都是正方形，
∴BA＝BC，BG＝BE，
∴∠ABG+∠GBC＝∠GBC+∠CBE＝90°，
∴∠ABG＝∠CBE，
在△ABG与△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG＝CE；
（2）解：∵AB：BC＝2：3，
∴设 AB＝4a，BC＝3a，
∵矩形 ABCD∽矩形 GBEF，相似比为 ，
∴AD＝BC＝6a，BE＝GF， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠ABG＝30°，∠ABC＝90°，
∴∠GBC＝60°，
∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABG＝∠CBE
∴△ABG≌△CBE，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：将△ABG沿 AD向右平移，使 AB与 DC重合，连接 FN、CD分别交于点 H、
O，
∴AG＝DN，∠BAG＝∠CDN，BG∥CN，
∵四边形 GBEF是矩形，
∴BG＝EF，BG∥EF，
∴EF＝CN，EF∥CN，
∴四边形 ECNF为平行四边形，
∴CE＝NF，CE∥NF，
∴∠ECH＝∠NHC，
∵矩形 ABCD∽矩形 GBEF，
∴ ，
又∵∠ABG＝∠CBE，△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE，
∴∠CDN＝∠BCE＝∠NHC，
又∵∠HOC＝∠DON，
∴∠DNF＝∠DCB＝90°，
∴△DNF是直角三角形，∴DN2+NF4＝DF2，∴AG2+CE3＝DF2
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，相似多边形
的性质，直角三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
23．【分析】（1）写出 y＝﹣mx+1的“伴随”函数，代入计算；
（2）①写出二次函数 的“伴随”函数，代入计算；
②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．
【解答】解：（1）y＝﹣mx+1的“伴随”函数 ，
将 M（﹣5，1）代入 y＝mx﹣1得：5＝﹣2m﹣1，
解得 m＝﹣3；
（2）二次函数 的“伴随”函数为 ，
①当 a＜2时，将 代入 ，
得 ，
解得： （舍去），或 ，
当 a≥0时，将 代入 ，
解得： 或 ．
综上所述： 或 或 ；
②函数 y＝﹣x2+4x﹣ 的“伴随”函数存在最大值或最小值
当﹣3≤x＜3时， ，抛物线的对称轴为 x＝2，
此时 y随 x的增大而减小，
∴此时 y的最大值为 ，
当 0≤x≤3时，函数 ，
当 x＝0有最小值，最小值为 ，有最大值 ，
综上所述，当﹣3≤x≤3时 的“伴随”函数的最大值为 ．
【点评】此题考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题
关键在于将已知点代入解析式．
24．【分析】（1）设∠CAD＝x，利用直角三角形的性质以及三角形内角和定理即可证明；
（2）连接 CE、CF，推出 CD垂直平分 EF，结合（1）的结论证明∠CAD＝∠ACF，推
出 AF＝CF，利用等腰三角形的性质即可证明结论；
（3）作出如图辅助线，利用三角形面积公式求得 AD＝6，利用勾股定理求得 BD＝8，
CD＝2，再推出 再利用正切函数 tan∠OBT＝ ＝tan∠CAD＝ ＝ ＝
，求得 OT＝ ．最后利用勾股定理求得 OH＝ ＝ ．
【解答】（1）证明：设∠CAD＝x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝90°﹣x，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝90°＝x，
∴∠ABC＝180°﹣（90°﹣x）﹣（90°﹣x）＝2x，
∴∠ABC＝2∠CAD；
（2）证明：连接 CE、CF，
∵DE＝DF，CD⊥AE，
∴CD垂直平分 EF，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵AC＝AC′，
∴∠E＝∠ABC＝4∠CAD，
∴∠CFE＝2∠CAD，
∵∠CFD＝∠CAD+∠ACF，
∴∠CAD＝∠ACF，
∴AF＝CF，
∵FG⊥AC，
∴AG＝CG；
（3）解：过 O作 ON⊥AB于点 N，连接 OB，
∵S△ABC＝30，AB＝BC＝10，
∴ BC AD＝30．
∴AD＝6，
在 Rt△ABD中，BD2＝AB4﹣AD2，即 BD＝ ＝8，
CD＝BC﹣BD＝4，
∴tan∠ABC＝ ，
∵ ＝ ，
∴∠E＝∠ABC，
∴tan∠E＝ ＝ ，
∴DE＝ ，
∴CE＝ ＝ ，
∵CH＝CE，
∴CH＝ ，
∴TH＝5﹣ ＝ ，
∵OB＝OB，BN＝BT，
∴Rt△BON≌Rt△BOT（HL），
∴∠OBT＝∠OBN＝ ∠ABC＝∠CAD，
∴tan∠OBT＝ ＝tan∠CAD＝ ＝ ＝ ，
∴OT＝ ．
在 Rt△OTH中，由勾股定理得：OH＝ ＝ ．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
