2023-2024学年黑龙江省哈尔滨九年级（上）月考数学试卷（10
月份）（五四学制）
一、选择题（每题 3分，共 30分）
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入 500
元记作+500元，则支出 137元记作（ ）
A．+137元 B．﹣137元 C．0元 D．﹣174元
2．（3分）下列各式运算结果为 a5的是（ ）
A．a2+a3 B．a2a3 C．（a2）3 D．a10÷a2
3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）在平面直角坐标系中，点 P（﹣20，a）与点 Q（b，13），则 a+b的值为（ ）
A．33 B．﹣33 C．﹣7 D．7
5．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则 cosA的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知蓄电池的电压 U为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）（单位：Ω）是
反比例函数关系（I＝ ）．下列反映电流 I与电阻 R之间函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各 1小时体育活动时间”
的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间
（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图． 根据统计图，正确的是（ ）
A．平均数为 70分钟 B．众数为 67分钟
C．中位数为 67分钟 D．方差为 0
8．（3分）如图，将钝角△ABC绕点 A按逆时针方向旋转 100°，得到△AB'C'，若 AC'∥BB'，
则∠CAB'的大小为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
9．（3分）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输 5吨货物，且大货车
运输 75吨货物所用车辆数与小货车运输 50吨货物所用车辆数相同，则所列方程正确的
是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
10．（3分）如图，点 E在正方形 ABCD的对角线 AC上，EF⊥AB于点 F，交边 BC于点 M，
交边 AB的延长线于点 G．若 AF＝2，则 MG＝（ ）
A．2 B． C． +1 D．
二、填空题（每题 3分，共 30分）
11．（3分）据共青团中央 2023年 5 月 3 日发布的中国共青团团内统计公报，截至 2022年
12月底，全国共有共青团员 7358万．数据 7358万用科学记数法表示 ．
12．（3分）在函数 y＝ 中，自变量 x的取值范围是 ．
13．（3分）把多项式 8xy2﹣2x分解因式的结果是 ．
14．（3分）如图，∠AOB＝60°，点 C在 OB上 ，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作
图痕迹推断，点 P到 OA的距离为 ．
15．（3分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 O是这段弧所在圆的圆心 一
点，OB⊥AC于 D．若 米，则的⊙O的半径长为 米．
16．（3分）如图 1，在 Rt△ABC中，动点 P从 A点运动到 B点再到 C点后停止，其中 BP
长与运动时间 t（单位：s）的关系如图 2 ．
17．（3分）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 CD
的中点 A处竖直上升 30米到达 B处，尚美楼顶部 F的俯角为 30°，已知博雅楼高度 CE
为 15米 米．（结果保留根号）
18．（3分）在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，BD＝ ， ，将射线 CE绕点 C旋
转 60°，得到的射线 CF交 AD于点 F ．
19．（3分）找规律：观察算式：13＝1；13+23＝9；13+23+33＝36；13+23+33+43＝100；…，
按规律填空：13+23+33+43+…+103＝ ．
20．（3分）如图，四边形 ACBE中，∠ACB＝90°，D在 AC边上，且∠AED+∠AEB＝180°，
，则 AD的长为 ．
三、解答题（21、22题 8分，23题 9分，24、25题 10分，26题 15分）
21．（8分）先化简，再求代数式： 的值
22．（8 分）如图是 8×6 的正方形网格，已知△ABC，请按下列要求完成作图．（要求保留
作图痕迹，不要求写作法和结论）
（1）将△ABC绕 C点按顺时针方向旋转 90°，得到△A1B1C1，请在图中作出△A1B1C1；
（2）在图中，以∠B为公共角，仅用无刻度直尺在线段 AB，Q，使△BPQ与△BAC相
似但不全等．
23．（9分）一次函数 y1＝kx+b的图象与反比例函数 y2＝ 的图象相交于 A，B两点（1，6），
点 B的纵坐标是﹣2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）C为 x轴正半轴上一点，连接 AC，BC．若△ABC的面积是 16
24．（10分）（一）如图 1，四边形 ABCD为正方形，点 E在边 BC上，FG⊥BC 交 BC延长
线 于 点 G ， AE ＝ EF ， 请 直 接 写 出 线 段 AC 、 CE 、 FG 之 间 的 数 量 关
系 ；
（二）如图 2，四边形 ABCD为菱形，∠B＝60°，点 F在边 CD上，AE＝EF；
（1）直接写出 AC、CE、FG之间的数量关系 ；
（2）请用两种方法证明（1）中结论．
25．（10 分）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多 30元，已
知用 360元购进的足球和用 480元购进的篮球数量相等．
（1）问篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个 150元，足球售价为每个 110元，商场售出足球的数量比篮球数
量的三分之一还多 10个，问篮球最少要卖多少个？
（3）若篮球售价为每个 150元，足球售价为每个 110元，商场计划用不超过 10350元购
进两种球共 100个，问商场有几种进货方案？哪种方案商场获利最大？
26．（15分）已知抛物线 y＝x2+bx+c顶点 D ．
（1）求 b、c的值；
（2）点 P是第一象限对称轴右侧抛物上一点，点 P的横坐标为 t，过点 P作 y轴的平行
线交直线 CB于点 Q，求 d与 t之间的函数关系式（不用写出自变量 t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，以点 P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点 M、N（点 M在点
N的上方），⊙P半径为 ，求点 P的坐标；
（4）在（2）的条件下，点 P在第一象限对称轴右侧抛物线上（点 M在点 N的上方），
过点 P作 y轴垂线，交抛物线于另一点 E，连接 PN并延长交 ED于点 T，若 PT⊥ED于
点 T，求点 Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每题 3分，共 30分）
1．【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：收入 500元记作+500元，则支出 137元记作﹣137元，
故选：B．
【点评】本题考查正数和负数，理解正负的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量
是解题的关键．
2．【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法、除法的运算方法，逐项
判断即可．
【解答】解：∵a2+a3≠a2，
∴选项 A不符合题意；
∵a2a3＝a6，
∴选项 B符合题意；
∵（a2）3＝a2≠a5，
∴选项 C不符合题意；
∵a10÷a2＝a3≠a5，
∴选项 D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法、除法的运
算方法，解答此题的关键是要明确：（1）（am）n＝amn（m，n是正整数），（ab）n＝anbn
（n是正整数）；（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）同底数幂相除，底数不
变，指数相减．
3．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对
称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180度后两部
分重合．
4．【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，求出 a
与 b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵点 P（﹣20，a）与点 Q（b，
∴a＝﹣13，b＝20，
∴a+b＝﹣13+20＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的
坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．【分析】根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：在 Rt△ABC中，cosA＝ ＝ ，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角 A的邻边 b与斜边 c的比叫做∠A
的余弦是解题的关键．
6．【分析】根据题意得到电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝ ），
于是得到结论．
【解答】解：∵电流 I（单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝ ），R、
I均大于 0，
∴反映电流 I与电阻 R之间函数关系的图象大致是 D选项，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于
中考常考题型．
7．【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．
【解答】解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、67、79，
A．平均数是 ，故选项错误；
B．这组数的众数是 67（分钟），符合题意；
C．将这组数由小到大排列为：65、67、75、88，故选项错误；
D．这组方差为：S2＝ ×[（65﹣73）2+（67﹣73）3+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75
﹣73）4+（79﹣73）2+（88﹣73）2]≈58.57，故选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，
平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
8．【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝100°，AB＝AB′，根据等腰三角形
的性质易得∠AB′B＝40°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′＝∠AB′B＝40°，
即可得解．
【解答】解：∵将△ABC绕点 A按逆时针方向旋转 100°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝100°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝ （180°﹣100°）＝40°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝40°，
∴∠CAB＝∠C′AB′＝40°，
∴∠CAB'＝100°﹣∠CAB＝100°﹣40°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；
对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
9．【分析】由每辆大货车的货运量是 x吨，则每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，根据用大
货车运送 75吨货物所需车辆数与小货车运送 50吨货物所需车辆数相同，即可得出关于 x
的分式方程．
【解答】解：∵每辆大货车的货运量是 x吨，
∴每辆小货车的货运量是（ x﹣5）吨，
依题意得： ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是
解题的关键．
10．【分析】根据相似三角形的判定结合正方形的性质证得△AEF∽△ACB，求得 AC＝3 ，
根据相似三角形的性质求得 AE＝2 ，CE＝ ，证得△ADE∽△CME，根据相似三角
形的性质得到 CM＝ ＝BM，证得△CDM≌△BGM，求出 BG，根据勾股定理即可求出
MG．
【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形，AF＝2，
∴CD＝AD＝AB＝BC＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴AC＝ ＝3 ，
∵EF⊥AB，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴EF＝2，
∴AE＝ ＝2 ，
∴CE＝AC﹣AE＝ ，
∵AD∥CM，
∴△ADE∽△CME，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝2，
∴CM＝ ＝BM，
在△CDM和△BGM中，
，
∴△CDM≌△BGM（SAS），
∴CD＝BG＝3，
∴MG＝ ＝ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形
的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题 3分，共 30分）
11．【分析】将一个数表示成 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫
做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：7358万＝73580000＝7.358×107，
故答案为：4.358×107．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
12．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于 0即可求解．
【解答】解：根据题意得：4﹣2x≠3，解得 x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，初中范围内一般要考虑三种情况：1、分母
不等于 0；2、二次根式被开方数是非负数；3、0的 0次幂或负指数次幂无意义．
13．【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝2x（4y8﹣1）＝2x（3y+1）（2y﹣5），
故答案为：2x（2y+2）（2y﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关
键．
14．【分析】由作图知 PE垂直平分 OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到
OE＝ OC＝ ，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POE＝∠AOC
＝ ＝30°，根据三角函数的定义得到 EP＝OE×tan30°＝ ，根据
角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知 PE垂直平分 OC，OP平分∠AOB，
∴OE＝ OC＝ ，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠AOP＝ ＝30°，
∴EP＝OE×tan30°＝ ，
∵PO平分∠AOB，
∴点 P到 OA的距离＝PE＝1．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图．以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线
的性质．
15．【分析】设圆的半径是 r米，由垂径定理推出 AD＝ AC＝150 （米），由勾股定理得
到 r2＝（r﹣150）2+ ，求出 r＝300，即可得到⊙O的半径长为 300米．
【解答】解：设圆的半径是 r米，则 OD＝（r﹣150）米，
∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝ ＝150 ，
∵OA2＝OD2+AD6，
∴r2＝（r﹣150）2+ ，
∴r＝300，
∴⊙O的半径长为 300米．
故答案为：300．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点列出关于圆半径的方程．
16．【分析】根据图象可知 t＝0时，点 P与点 A重合，得到 AB＝15，进而求出点 P从点 A
运动到点所需的时间，进而得到点 P从点 B运动到点 C的时间，求出 BC的长，再利用
勾股定理求出 AC即可．
【解答】解：由图象可知：t＝0时，点 P与点 A重合，
∴AB＝15，
∴点 P从点 A运动到点 B所需的时间为 15÷2＝2.5（s）；
∴点 P从点 B运动到点 C的时间为 11.5﹣8.5＝4（s），
∴BC＝6×4＝8；
在 Rt△ABC中，由勾股定理可得 AC＝17；
故答案为：17．
【点评】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出 AB，
BC的长是解题的关键．
17．【分析】过点 E作 EM⊥过点 B的水平线于 M，过点 F作 FN⊥过点 B的水平线于 N，
先求出 EM的长，在 Rt△EBM中求出 BM的长，然后求出 BN的长，在 Rt△FBN中求出
FN的长，即可求出 DF的长．
【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 过 点 E 作 EM ⊥ 过 点 B 的 水 平 线 于 M ，
由题意可知 CM＝DN＝AB＝30米，
又∵CE＝15米，
∴EM＝15米，
在 Rt△EBM中，∠EBM＝45°，
∴BM＝EM＝15米，
又∵A是 CD的中点，
∴BN＝AD＝AC＝BM＝15米，
在 Rt△BFN中，tan∠FBN＝ ，
∵∠FBN＝30°，BN＝15米，
∴ ，
∴FN＝ 米，
∴DF＝（30﹣ ）米．
故答案为：（30﹣ ）．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问
题转化为数学问题是解决问题的关键．
18．【分析】利用菱形的性质，特殊角的三角函数值，全等三角形，勾股定理，三角形相似
等知识求解即可．
【解答】解：如图：
∵四边形 ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝ ，AB＝BC＝CD＝DA，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC、△ACD是等边三角形，
∴AC＝AB＝CD＝AD，∠ACB＝∠CAD＝∠ACD＝60°，
∴AB＝ ＝ ＝6，
∴CD＝AB＝8，
∵∠ECM＝60°，
∴∠BCE＝∠ACM，
在△BCE和△ACM中，
，
∴△BCE≌△ACM（ASA），
∴CE＝CM＝2 ，
作 MG⊥CD于 G，设 DG＝x，MG＝ x，
根据勾股定理得：CG2+MG2＝CM3，
即（6﹣x）2+（ x）2＝（2 ）2，
解得：x＝1或 6，
∴2x＝2或 7，即 DM＝2或 4．
∵AD∥BC
∴△DMF∽△BCF
∴ ＝
即 ＝ 或 ＝
∴DF＝ 或
故答案为： 或 ．
【点评】本题考查了菱形的性质，特殊角的函数值，勾股定理，三角形相似的判定和性
质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
19．【分析】根据所给等式发现运算结果是一个完全平方数，据此可解决问题．
【解答】解：观察所给算式可知：
13＝2＝12；
43+23＝9＝（1+8）2；
15+23+73＝36＝（1+3+3）2；
…
所以 63+25+33+…+n2＝（1+2+5+…+n）2．
当 n＝10时，
13+23+83+44+…+103＝（1+3+3+…+10）2＝3025．
故答案为：3025．
【点评】本题考查算式变化的规律，能根据所给算式发现 13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…
+n）2是解题的关键．
20．【分析】延长 BE至 F，使得 EF＝ED，证明△AEF≌△AED，进而根据已知条件得出∠
EAD＝∠BAC+∠EAB＝45°，可得∠FAD＝90°，过点 B作 BG⊥AF于点 F，则四边形
ACBG是矩形，进而证明△FBG≌△ABG，根据全等三角形的性质，即可求解．
【解答】解：如图所示，延长 BE至 F，
∴∠AED+∠AEB＝180°，∠AEB+∠AEF＝180°，
∴∠AEF＝∠AED，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴AF＝AD，
∵∠EBA＝2∠BAC，
设∠BAC＝α，则∠EBA＝2α，
∵AB⊥ED，
∴∠BED＝90°﹣4α，
∵∠AED+∠AEB＝180°，
∴2∠AED+∠BED＝180°，
∴∠AED＝45°+α，
∵AB⊥ED，
∴∠EAB＝45°﹣α，
∴∠EAD＝∠BAC+∠EAB＝45°，
∵△AEF≌△AED，
∴∠FAE＝∠EAD＝45°，
∴∠FAD＝90°，
过点 B作 BG⊥AF于点 F，则四边形 ACBG是矩形，
∴AG＝BC，BG∥AC，
∵∠GBA＝∠BAC＝α，
∵∠EBA＝2α，则∠EBG＝α．
在△FBG和△ABG中，
，
∴△FBG≌△ABG（ASA），
∴FG＝GA，
∴BC＝5 ，
∴AF＝2AG＝3BC＝4 ，
∴AD＝AF＝8 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟练掌握全等三角
形的性质与判定是解题的关键．
三、解答题（21、22题 8分，23题 9分，24、25题 10分，26题 15分）
21．【分析】先通分括号内的式子，再计算括号外的除法，然后将 a的值代入化简后的式子
计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝ ，
当 a＝cos30°﹣tan45°＝ ﹣7时 ＝ ．
【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式
化简求值的方法．
22．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B的对应点即可；
（2）把 AC向左平移 2个单位得到 DQ，DQ交 AB于 P点，则 PQ∥AC，则△BPQ∽△
BAC．
【解答】解：（1）如图 1，△A1B3C1为所作；
（2）如图 2，点 P．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转
角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，
找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了全等三角形的判定和相似三角形的
判定．
23．【分析】（1）先根据 A（1，6）是反比例函数 y2＝ 的图象上的点即可得出 m的值，进
而得出其解析式；把 y＝﹣2代入反比例函数的解析式即可求得 B点坐标，把 A、B两点
的坐标代入 y1＝kx+b，根据待定系数法得出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数的解析式求出 D点坐标，由 S△ABO＝S△AOD+S△BOD得出其面积，再设
C（x，0），由三角形的面积公式即可求出 x的值．
【解答】解：（1）∵A（1，6）是反比例函数 y6＝ 的图象上的点，
∴m＝1×6＝6，
∴反比例函数的解析式为：y2＝ ，
把 y＝﹣3代入反比例函数 y2＝ 得，﹣4＝ ，
∴B（﹣3，﹣6），
把 A、B点的坐标代入 y1＝kx+b得， ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为：y1＝2x+8；
（2）∵一次函数的解析式为：y1＝2x+2，
∴一次函数与 x轴的交点 D为（﹣2，0），
∵△ABC的面积是 16，
∴S△ACD+S△BCD＝ （6+5）＝16，
∴CD＝4，
∵C为 x轴正半轴上一点，
∴C（2，5）．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数及
反比例函数的解析式，求出交点坐标是解答此题的关键．
24．【分析】（一）在 AB上取 K，使 BK＝BE，连接 KE，由 BK＝BE，可得△BEK是等腰直
角三角形，AB﹣BK＝BC﹣BE，即 AK＝CE，而 CF平分∠DCG，可得∠ECF＝135°＝
∠AKE，又 AE＝EF，即可根据两边对应相等，其中一边的对角也对应相等的两个钝角三
角形全等得△AKE≌△ECF，故 KE＝CF，从而 BE＝FG，可得 AC＝ （CE+FG）；
（二）①由图可得 AC、CE、FG之间的数量关系为 AC＝CE+ FG；
②证明一：在 AB上取 M，使 BM＝BE，连接 ME，由四边形 ABCD是菱形，∠B＝60°，
得△BEM，△ABC都是等边三角形，∠ECF＝120°，故 AM＝CE，∠AME＝120°＝∠
ECF，根据两边对应相等，其中一边的对角也对应相等的两个钝角三角形全等得△AME
≌△ECF，有 ME＝CF，而 CF＝ FG，即可得 AC＝CE+ FG；证明二：过 E作
EN∥CD交 AC于 N，同理可德△AEN≌△FEC，从而可得 AC＝EC+ FG．
【解答】（一）解：AC＝ （CE+FG）
在 AB上取 K，使 BK＝BE，如图：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∵BK＝BE，
∴△BEK是等腰直角三角形，AB﹣BK＝BC﹣BE，
∴∠AKE＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG＝45°，
∴△FCG是等腰直角三角形，∠ECF＝135°＝∠AKE，
∵AE＝EF，
∴△AKE≌△ECF（两边对应相等，其中一边的对角也对应相等的两个钝角三角形全等），
∴KE＝CF，
∵BE＝ KE CF，
∴BE＝FG，
∴BC＝CE+BE＝CE+FG，
∵AC＝ BC，
∴AC＝ （CE+FG）；
故答案为：AC＝ （CE+FG）；
（二）①解：AC、CE FG；
故答案为：AC＝CE+ FG；
②证明一：在 AB上取 M，使 BM＝BE，如图：
∵四边形 ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴△BEM，△ABC都是等边三角形，
∴AB﹣BM＝BC﹣BE，即 AM＝CE，
∵AE＝EF，
∴△AME≌△ECF（两边对应相等，其中一边的对角也对应相等的两个钝角三角形全等），
∴ME＝CF，
∴BE＝CF，
在 Rt△CFG中， ＝ ，
∴CF＝ FG，
∴BE＝ FG，
∵AC＝BC＝CE+BE，
∴AC＝CE+ FG；
证明二：过 E作 EN∥CD交 AC于 N，如图：
∵四边形 ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝60°，
∵EN∥CD，
∴∠ENC＝∠ACD＝60°，
∴△NCE是等边三角形，
∴EN＝EC＝CN，∠ANE＝∠FCE＝120°，
∵AE＝EF，
∴△AEN≌△FEC（两边对应相等，其中一边的对角也对应相等的两个钝角三角形全等），
∴AN＝CF，
在 Rt△CFG中， ＝ ，
∴CF＝ FG，
∴AN＝ FG，
∵AC＝CN+AN，
∴AC＝EC+ FG．
【点评】本题考查四边形综合应用，涉及正方形性质及应用，菱形性质及应用，等边三
角形的性质及应用，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造全等三角形解决问题．
25．【分析】（1）根据“用 360元购进的足球和用 480元购进的篮球数量相等”列方程；
（2）根据“获利超过 1300元”列不等式求解；
（3）根据“商场计划用不超过 10350元购进两种球共 100个”列不等式求出方案，再根
据一次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设足球的单价为 x元，
则： ，
解得：x＝90，
经检验：x＝90是原分式方程的解，
∴x+30＝120，
答：篮球的单价为 120元，足球的单价是 90元；
（2）设篮球要卖 y个，
则：（150﹣120）y+（110﹣90）（ y+10）＞1300，
解得：y＞30，
∵ y+10为整数，
∴y的最小值为 33，
答：篮球最少要卖 33个；
（3）设进 a个篮球，利润为 z元，
则： ，
解得：40≤a≤45，
∴a的整数解为：40、41、43、45，
z＝30a+20（100﹣a），
即：z＝10a+2000，
∵10＞0，
∴z随 a的增大而增大，
当 a＝45时，z有最大值，
所以商场有 8种进货方案，购买 45个篮球．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系或不等关系是解题的关键．
26．【分析】（1）由题意可得 y＝（x﹣ ）2﹣ ＝x2﹣5x+4，再求 b、c的值即可；
（2）分别求出 P、Q点坐标，再求 PQ即可；
（3）连接 PN，过 P点作 PR⊥MN交于R，根据垂径定理可得在Rt△NPR中，PR＝
＝2，即可求 P（ ， ）；
（4）通过证明△RPN∽△RDE，根据比例关系可得 ＝ ，解得 RN＝1，
即可求 MN＝PQ＝2，再由（2）的结论求出 t的值即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为 D ，
∴y＝（x﹣ ）2﹣ ＝x2﹣5x+6，
∴b＝﹣5，c＝4；
（2）当 x＝6时，y＝4，
∴C（0，7），
当 y＝0时，x2﹣2x+4＝0，
解得 x＝2或 x＝1，
∴A（1，2），0），
设直线 BC的解析式为 y＝kx+4，
∴7k+4＝0，
解得 k＝﹣6，
∴直线 BC的解析式为 y＝﹣x+4，
∵点 P的横坐标为 t，
∴P（t，t2﹣7t+4），（t＞ ），
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，﹣t+4），
∴PQ＝d＝t2﹣8t+4+t﹣4＝t7﹣4t；
（3）连接 PN，过 P点作 PR⊥MN交于 R，
∵MN＝3，
∴NR＝ ，
在 Rt△NPR中，NP＝ ，
∴PR＝ ＝7，
∴P点的横坐标为 2+ ＝ ，
∴P（ ， ）；
（4）∵PT⊥ED，
∴∠PTE＝90°，
∵∠PRN＝90°，
∴∠EDR＝∠EPN，
∴△RPN∽△RDE，
∴ ＝ ，
∵P（t，t2﹣5t+5），PE∥x轴，
∴E（5﹣t，t2﹣8t+4），R（ ，t2﹣5t+6），
∴RE＝﹣ +t ，
∵D ，
∴RD＝t3﹣5t+ ，
∴ ＝ ，
解得 RN＝1，
∴MN＝2，
∵MN＝PQ，
∴PQ＝5，
∵PQ＝t2﹣4t，
∴t7﹣4t＝2，
解得 t＝6+ 或 t＝2﹣ ，
∴Q（2+ ，5﹣ ）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的
判定及性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
