2023-2024 学年江苏省徐州市铜山区黄集中心中学九年级（上）
第一次学情调研数学试卷
一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1．（3分）如图，点 A、B、C在⊙O上，∠ACB＝30°（ ）
A．30° B．40° C．60° D．65°
2．（3分）用配方法将方程 x2+6x﹣11＝0变形，正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝20 B．（x﹣3）2＝2 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝20
3．（3分）已知关于 x的方程 x2﹣4x+c+1＝0有两个相等的实数根，则常数 c的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．3
4．（3分）已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm2
5．（3分）已知扇形半径为 6，弧长为 4π，则扇形面积为（ ）
A．10π B．12π C．16π D．24π
6．（3 分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来
大小一样的圆形镜子（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
7．（3分）如图，已知半径 OD与弦 AB互相垂直，垂足为点 C，CD＝3cm，则圆 O的半
径为（ ）
A． cm B．5cm C．4cm D． cm
8．（3 分）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为 P、C、D．若 AB＝5，则 AC
的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．2
9．（3分）在平面直角坐标系 xOy中，点 M的坐标为（2，0），⊙M的半径为 4（﹣2，3）
与⊙M的位置关系是（ ）
A．点 P在⊙M内 B．点 P在⊙M上 C．点 P在⊙M外 D．不能确定
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是弧 BE上的三等分点（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
11．（3分）已知⊙O的直径是 10，圆心 O到直线 l的距离是 5，则直线 l和⊙O的位置关
系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
12．（3分）如图，点 A、B分别在 x轴、y轴上（OA＞OB），以 AB为直径的圆经过原点
O，C 是 的中点，连结 AC；下列结论：①∠ACB=90°；②AC＝BC；③若 OA＝4，
则△ABC的面积等于 5；④若 OA﹣OB＝4，则点 C 的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结
论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
13．（4分）如果一个正多边形的中心角等于 30°，那么这个正多边形的边数是 ．
14．（ 4 分）若一个扇形的圆心角为 45°，弧长为 ，则这个扇形的半径
为 ．
15．（4分）用圆心角为 120°，半径为 9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面直
径为 ．
16．（4分）如图，正六边形 ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长为 12π，则该正六边形的
边长是 ．
17．（4分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，D是 上的点，则∠D的度数为 ．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8．则△ABC的内切圆半径 r＝ ．
19．（4分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，以顶点 D为圆心作半径为 r的圆，若要求另
外三个顶点 A、B、C中至少有一个点在圆内，则 r的取值范围是 ．
20．（4分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，AD，AB，F，G三点，过点 D作⊙O的切线
交 BC于点 M，则 DM的长为 ．
三、解答题
21．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）4（x﹣3）2＝25
（2）x2+6x﹣10＝0．
22．（6 分）如图所示，点 A、B、C表示三个村庄，现要建一座深井水泵站，为使三条输
水管长度相同，水泵站应建在何处？请画示意图
23．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°
①作∠BAC的平分线，交 BC于点 O；②以 O为圆心，在图中标明相应的字母．（保
留作图痕迹，不写作法）
24．（8分）关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为 1，求 m的值．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦 AD平分∠BAC
26．（8分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为 D、E、F，∠C＝70°，求∠EDF
的度数．
27．（8分）【问题背景】
如图 1，在四边形 ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，探究线段 AC，BC
小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点 D，逆时针旋转 90°到△AED处，点 B，
E处（如图 2），易证点 C，A，并且△CDE是等腰直角三角形，所以 CE＝ ，从而得
出结论：AC+BC＝ CD
【简单应用】
（1）在图 1中，若 AC＝ ，BC＝2 ．
（2）如图 3，AB是⊙O的直径，点 C、D在⊙O上， ＝ ，BC＝12，求 CD的长．
【拓展规律】
（3）如图 4，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，BC＝n（m＜n），求 CD的长（用含 m，
n的代数式表示）
2023-2024 学年江苏省徐州市铜山区黄集中心中学九年级（上）
第一次学情调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题 3 分，共 36 分）
1．【分析】利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形面积和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定
理，属于中考常考题型．
2．【分析】在本题中，把常数项﹣11移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 6的一
半的平方．
【解答】解：把方程 x2+6x﹣11＝2的常数项移到等号的右边，得到 x2+6x＝11，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x8+6x+9＝11+2，
配方得（x+3）2＝20．
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为 1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2
的倍数．
3．【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于 c的一元一次方程，解之
即可得出结论．
【解答】解：∵方程 x2﹣4x+c+8＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）5﹣4（c+1）＝12﹣4c＝0，
解得：c＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题
的关键．
4．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×8÷2＝15π（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是
圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
5．【分析】直接代入扇形面积公式计算即可．
【解答】解： ，
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，熟记扇形面积计算公式是关键．扇
形面积公式是： （l是扇形的弧长，R是扇形的半径）或 （n
是弧所对的圆心角的度数，R表示扇形的半径）．
6．【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，两条垂直平分线的
交点就是圆心．
故选：A．
【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分
线的交点即为该圆的圆心．
7．【分析】连接 AO，根据垂径定理可知 AC＝ AB＝4cm，设半径为 x，则 OC＝x﹣3，根
据勾股定理即可求得 x的值．
【解答】解：连接 AO，
∵半径 OD与弦 AB互相垂直，
∴AC＝ AB＝8cm，
设半径为 xcm，则 OC＝（x﹣3）cm，
在 Rt△ACO中，AO2＝AC4+OC2，
即 x2＝42+（x﹣3）7，
解得：x＝ ，
故半径为 cm．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、
勾股定理的内容，难度一般．
8．【分析】根据 AB、AC、BD是⊙O的切线，则 AC＝AP，BP＝BD，求出 AP的长即可求
出 AC的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴AC＝AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．【分析】求得线段 MP的长后与圆 M的半径比较即可确定正确的选项．
【解答】解：∵M（2，0），7），
∴MP＝ ＝5，
∵圆 M的半径为 4，5＞4，
∴点 P在圆外，
故选：C．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距
离和半径的大小关系．
10．【分析】先求出∠BOE＝120°，再运用“等弧对等角”即可得解．
【解答】解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴ 的度数是 120°，
∵C、D是 ，
∴ ，
∴∠EOC＝∠COD＝∠BOD＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了邻补角的概念和圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆
心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
11．【分析】求出⊙O的半径，和圆心 O到直线 l的距离 5比较即可．
【解答】解：∵⊙O的直径是 10，
∴⊙O的半径 r＝5，
∵圆心 O到直线 l的距离 d是 5，
∴r＝d，
∴直线 l和⊙O的位置关系是相切，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：当圆心到直线的距离等于圆的
半径时，直线与圆相切．
12．【分析】通过构造全等三角形，利用圆的有关性质，可以解决问题．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，故①符合题意；
∵C是 中点，
∴AC＝BC，故②符合题意；
∵AB2＝OB2+OA3＝22+52，
∴AB＝2 ，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝ AB＝ ，
∴△ACB 的面积为 ＝5；
作 CD⊥x轴于 D，CE⊥y轴于 E，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵AC＝BC，
∴△ACD≈△BCE，
∴CD＝CE，AD＝BE，
∴OECD是正方形，
设正方形的边长为 a，
∴OA﹣a＝OB+a，
∴5a＝OA﹣OB＝4，
∴a＝2，
∴点 C坐标为：（3，﹣2），
故④符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查圆的有关知识及三角形全等，关键是综合运用几何知识点．
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
13．【分析】根据正 n边形的中心角的度数为 360°÷n进行计算即可得到答案．
【解答】解：360°÷30°＝12．
故这个正多边形的边数为 12．
故答案为：12
【点评】本题考查的是正多边形内角、外角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是
解题的关键．
14．【分析】根据弧长公式求解即可．
【解答】解：设半径为 r，
∵ ＝ π，
∴r＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径 r的方程，
通过解方程即可求得 r的值．
15．【分析】设这个圆锥的底面半径为 r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2πr＝
，然后解方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为 r，
根据题意得 2πr＝ ，解得 r＝5，
所以这个圆锥的底面直径为 6．
故答案为 6．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆
锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16．【分析】由正六边形 ABCDEF内接于⊙O，由⊙O的直径得出⊙O的半径，再根据正六
边形的半径等于边长即可得出结果．
【解答】解：连接 OA，OB，
∵正六边形 ABCDEF内接于⊙O，⊙O的周长为 12π，
∴⊙O的半径为 6，
∵∠AOB＝ ＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝7，
∴正六边形 ABCDEF的边长为 6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质，熟知正六边形的边长等于半径是
解答此题的关键．
17．【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∴∠D＝ ×（360°﹣140°）＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据互补得出∠AOC的度数．
18．【分析】设 AB、BC、AC与⊙O的切点分别为 D、E、F；易证得四边形 OECF是正方
形；那么根据切线长定理可得：CE＝CF＝ （AC+BC﹣AB），由此可求出 r的长．
【解答】解：如图，
在 Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝8；
根据勾股定理 AB＝ ＝10；
四边形 OECF中，OE＝OF；
∴四边形 OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD＝AF，CE＝CF；
∴CE＝CF＝ （AC+BC﹣AB）；
即：r＝ （6+5﹣10）＝2．
【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．
19．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行
判断．当 d＞r时，点在圆外；当 d＝r时，点在圆上；当 d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，
则 BD＝ ＝8．
由图可知 3＜r＜5．
故答案为：8＜r＜5．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟
悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
20．【分析】连接 OE，OF，ON，OG，在矩形 ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB
＝4，由于 AD，AB，BC分别与⊙O相切于 E，F，G三点，得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB
＝∠BGO＝90°，推出四边形 AFOE，FBGO是正方形，得到 AF＝BF＝AE＝BG＝2，由
勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接 OE，OF，OG，
在矩形 ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形 AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝7，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣8﹣MN＝3﹣MN，
在 Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）6＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝ ，
∴DM＝3+ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题
的关键．
三、解答题
21．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝
x﹣3＝±
∴x＝ 或 x＝
（2）△＝36+40＝76＞0，
∴x＝ ＝﹣3±
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，
本题属于基础题型．
22．【分析】因为向三个村庄分别送水，三条输水管长度相同，所以水泵站应在 AB、BC的
中垂线的交点处．
【解答】解：连接 AB、BC、BC的中垂线，点 O就是所求．
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用中垂线的性质即可解决问题．
23．【分析】利用基本作图作∠BAC的平分线得到点 O，然后作⊙O．
【解答】解：如图，AO和⊙O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24．【分析】（1）求出Δ＝（m﹣3）2≥0，再根据根的判别式得出答案即可；
（2）把 x＝1代入方程得出 1﹣m+2m﹣4＝0，再求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：x2﹣mx+2m﹣8＝0，
Δ＝（﹣m）2﹣2×1×（2m﹣5）＝m2﹣8m+16＝（m﹣5）2，
∵不论 m为何值，（m﹣4）3≥0，
∴Δ≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）把 x＝7代入关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+2m﹣5＝0，得 1﹣m+2m﹣4＝0．
解得 m＝7．
【点评】本题考查了根的判别式：已知一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a
≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，
方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
25．【分析】连接 OD，根据切线的性质得到 OD⊥DE，证明 OD∥AC，根据平行线的性质
证明即可．
【解答】解：DE⊥AC，
理由如下：连接 OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC．
【点评】本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半
径是解题的关键．
26．【分析】连接 OE，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝50°，由切线的性质可知：
∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，从而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°
由圆周角定理可求得∠EDF＝65°．
【解答】解：如图所示；连接 OE．
∵∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°．
∵AB是圆 O的切线，
∴∠OFA＝90°．
同理∠OEA＝90°．
∴∠A+∠EOF＝180°．
∴∠EOF＝130°．
∴∠EDF＝65°．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得
∠EOF的度数是解题的关键．
27．【分析】（1）代入结论：AC+BC＝ CD，直接计算即可；
（2）如图 3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB＝∠ACB＝90°，由
弧相等可知所对的弦相等，得到满足图 1的条件，所以 AC+BC＝ CD，代入可得 CD
的长；
（3）介绍两种解法：
解法一：作辅助线，构建如图 3所示的图形，由 AC+BC＝ D1C，得 D1C＝ ，
在直角△CDD1，利用勾股定理可得 CD的长；
解法二：如图 5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将△BCD绕点 D，
顺时针旋转 90°到△AED处，点 B，C分别落在点 A，E处，得△BCD≌△AED，证明
△CDE是等腰直角三角形，所以 CE＝ CD，从而得出结论．
【解答】解：（1）由题意知：AC+BC＝ CD，
∴ +3 ＝ ，
∴CD＝5；
故答案为：3；
（2）如图 3，连接 AC、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵ ＝ ，
∴AD＝BD，
∵AB＝13，BC＝12，
∴由勾股定理得：AC＝5，
由图 1得：AC+BC＝ CD，
5+12＝ CD，
∴CD＝ ；
（3）解法一：以 AB为直径作⊙O，连接 DO并延长交⊙O于点 D1，
连接 D1A、D7B、D1C、CD，
由（2）得：AC+BC＝ D7C，
∴D1C＝ ，
∵D1D是⊙O的直径，
∴∠D1CD＝90°，
∵AC＝m，BC＝n，
∴由勾股定理可求得：AB5＝m2+n2，
∴D7D2＝AB2＝m8+n2，
∵D1C5+DC2＝D1D5，
∴CD2＝m2+n6﹣ ＝ ，
∵m＜n，
∴CD＝ ；
解法二：如图 5，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴A、B、C、D在以 AB为直径的圆上，
∴∠DAC＝∠DBC，
将△BCD绕点 D，顺时针旋转 90°到△AED处，C分别落在点 A，
∴△BCD≌△AED，
∴CD＝ED，∠ADC＝∠ADE，
∴∠ADC﹣∠ADC＝∠ADE﹣∠ADC，
即∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，所以 CE＝ ，
∵AC＝m，BC＝n＝AE，
∴CE＝n﹣m，
∴CD＝ ．
【点评】本题是圆和四边形的综合题，考查了圆周角定理、弦和弧的关系、勾股定理、旋转
的性质、等腰直角三角形的性质，运用了类比的思想，依次解决问题，是一道不错的圆和四
边形的综合题．
